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13.1.3 线段垂直平分线的有关作图 分层作业
基础训练
1．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图——作线段的垂直平分线．由和可得，点D在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点D．
【详解】∵，而，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
即点D为线段的垂直平分线与的交点．
观察四个选项，D选项符合题意，
故选：D．
2．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．甲和乙
【答案】B
【分析】本题考查了垂线，角的平分线，线段的垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【详解】根据题意，甲作的是的垂线，乙作的是的平分线，丙作的是线段的垂直平分线，
而点P一定是在的角平分线与的交点处，
故选B．
3．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点D，连接，若的周长为12，，则的周长为（ ）
A．7 B．12 C．17 D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．由题意知，垂直平分，则，由的周长可求，即可求解．
【详解】解∶由作图知：垂直平分，
∴，
∵的周长为12，
∴，
又，
∴的周长为．
故选：C．
4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，以点为圆心、长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连结交于点，若的周长为，，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】此题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，首先根据尺规作图得到，是的垂直平分线，进而得到，然后根据的周长为求解即可．
【详解】由题意得，，
是的垂直平分线
∴
∵的周长为，
∴
∴，即，
∴．
故选：．
5．（23-24八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图及相关性质，熟记相关作图方法是解题关键．
【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，是线段的垂直平分线，平分，
∴，，，
故A正确；
∵，
∴，
故C正确；
∵，
∴，
∴，
故D正确；
B不一定正确
故选：B
6．（22-23八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在中，分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点，作直线分别交边于点，连接．若的面积为7，的面积为2，则的面积为( )
A．7 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据作图方法可知点D为的中点，再根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
点是的中点，
，
∵的面积为2，
，
的面积为5，
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
【答案】40
【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案．
【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
8．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知，根据几何作图的痕迹，解决下列问题：
（1） ；
（2）若，则 °．
【答案】 44
【分析】（1）由作图痕迹可知是线段的垂直平分线，由此可得；
（2）由作图痕迹可知是的角平分线，由此得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可得的度数．
本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，以及三角形内角和定理．熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图法是解题的关键．
【详解】（1）由作图痕迹可知是线段的垂直平分线，
，
故答案为：．
（2）由作图痕迹可知是的角平分线，
，
中，，，
，
，
故答案为：44．
9．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 ．（填序号）
①为直线的垂线；②；③；④．
【答案】③
【分析】此题主要考查了作图基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
直接利用线段垂直平分线的性质以及其基本作图，进而分析得出答案．
【详解】解：由作图方法可得出是线段的垂直平分线，
则为直线的垂线，故①正确，不合题意；
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故②正确，不合题意；
无法得出，故③错误，符合题意；
可得，，则，故④正确，不合题意；
故答案为：③．
10．（2022·广东深圳·二模）如图，在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若的周长为17，则BD的长为 ．
【答案】6
【分析】由作图方法可知，PQ和MN分别是AB、AC的垂直平分线，则BD=AD，AE=CE，再根据△ADE的周长为17进行求解即可．
【详解】解：由作图方法可知，PQ和MN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴BD=AD，AE=CE，
∵△ADE的周长为17，
∴AD+AE+DE=17，
∴BD+DE+CE=17，
又∵CD=11，
∴BD=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11．（2020·陕西西安·三模）如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图——复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求．
12．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，利用尺规在内部求作一点，使到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、垂直平分线，先作图的角平分线，再作出的垂直平分线，交点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所作，
．
13．（23-24八年级下·陕西西安·期末）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：
(1)如图，在的边上求作一点，使得；
(2)如图，在的边上求作一点，使得点到，的距离相等．
【答案】(1)见解析图；
(2)见解析图．
【分析】（）作线段的垂直平分线，垂足为即为所求；
（）作平分，交于点，点即为所求；
本题考查尺规作图—垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）解：如图中，
∴点即为所求；
（2）如图，
∴点即为所求．
14．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，的周长为．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（）的条件下，连接，若，求的周长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（）根据作线段垂直平分线的作法作图即可；
（）由线段垂直平分线的性质可得，，进而由三角形的周长可得，即可得的周长；
本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，三角形的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：为线段的垂直平分线，
，，
，
的周长为，
，
∴，
的周长．
能力提升
1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②；
步骤3：连接，交延长线于点；
下列叙述错误的是（ ）
A．垂直平分线段 B．平分
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知作法可知、，则点B、C在的垂直平分线上，据此判断即可．
【详解】解：如图：连接，，
∵以C为圆心，为半径画弧①，
∴，
∵以B为圆心，为半径画弧②
∴，
∴点B、C在的垂直平分线上，是边上的高，
∴垂直平分线段，，，A、C、D结论正确，
无法证明平分，故B结论错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，常见的尺规作图有①作一条线段等于已知线段，②作一个角等于已知角，③作已知线段的垂直平分线，④作已知角的角平分线，⑤过一点作已知直线的垂线．
2．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图所示的三个图是三个基本作图的作图痕迹，关于三条弧 ①、 ②、 ③有以下三种说法：
（1）弧 ①是以点O为圆心，任意长为半径所作的弧；
（2）弧 ②是以点A为圆心，任意长为半径所作的弧；
（3）弧 ③是以点O为圆心，大于的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据作图痕迹，逐项判断即可．
【详解】解：（1）弧 ①是以点O为圆心，任意长为半径所作的弧，故原说法正确；
（2）弧 ②是以点A为圆心，大于的长为半径所作的弧，故原说法错误；
（3）弧 ③是以点O为圆心，大于的长为半径所作的弧，故原说法错误；
所以正确说法的个数为1．
故选：C
【点睛】本题考查尺规作图——基本作图，解题的关键是熟练掌握几种基本尺规作图的方法，属于中考常考题型．
3．（2022·山东东营·一模）如图，在Rt△ABC中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠BAM=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ+∠BAM=90°，即可求出α．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠B=20°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-20°=70°，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM=∠BAC=35°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ+∠BAM=90°，
∴∠AMQ=90°-∠BAM=90°-35°=55°，
∴α=∠AMQ=55°．
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
4．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知，平分，垂直平分，
，，
，
，
故选：C．
5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤：
（1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M；
（2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线；
（3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接；
（4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接．
根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是 ．
①；②；③； ④的周长等于线段的长．
【答案】①②③④
【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
利用线段的垂直平分线的性质，直角三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
，故①正确，
由作图可知垂直平分线段，
，故②正确，
由作图可知，
，故③正确，
，，
∴的周长，故④正确．
故答案为：①②③④．
6．（23-24八年级下·福建漳州·期中）在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于M点，作射线交于K点．以K为圆心，为半径画弧交射线于H点，分别以C，H为圆心，大于为半径画弧交于N，L，作直线交于G，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的意义和线段垂直平分线的判定与性质，利用基本作图得到平分，是线段的垂直平分线，得到与不垂直，故选项A错误；由于，得，故可判断选项B错误；根据直角三角形两锐角互余可判断C正确；无法判断，故可判断D错误
【详解】解：由作图得到平分，是线段的垂直平分线，
∴与不垂直，
∴，故选项A错误，不符合题意；
∵无法得到，
∴故选项B错误，不符合题意；
∵
∴
又
∴
∵
∴，故选项C正确，符合题意；
∵无法得到
∴故选项D错误，不符合题意；
故选：C
7．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图所示的长方形中，依据尺规作图的痕迹，计算 ．
【答案】/57度
【分析】
根据平行线性质、线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可.
【详解】
∵四边形是长方形,
∴,
∴
如图， 由作图可知，垂直平分线段，平分,
∴,，
∴,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，平行线的性质、线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，得到垂直平分线段，平分是解题的关键.
8．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，，，则 ．
【答案】7
【分析】设交于D，连接，利用基本作图得到是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出，然后根据等边对等角及角的和差得出得出，最后根据勾股定理及线段的和即可得出答案．
【详解】设交于D，连接
由作图可知：是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
9．（22-23九年级下·海南海口·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接，若的面积为，的面积为，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】先利用基本作图得到垂直平分，则，在根据三角形面积公式得到，接着计算出，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图中垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（21-22七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，，的面积为2.5①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H，再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D；②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AD于点F，则的面积为 ．
【答案】/0.75
【分析】如图，过点D作DK⊥AC于点K，DJ⊥AB于点J．首先证明，求出△ABD的面积，可得结论．
【详解】解：如图，过点D作DK⊥AC于点K，DJ⊥AB于点J．
由作图可知DA平分∠BAC，
∴DK=DJ，
∴
∴
∴
由作图可知MN垂直平分线段AD，
∴AF=DF，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，掌握垂直平分线的性质与角平分线的性质是解题的关键．
11．（21-22八年级上·福建泉州·期末）如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，，现给出下列结论：①；②；③MB平分；④若，，则．其中正确的是 ．
【答案】①②
【分析】①根据线段垂直平分线的性质可得CM=CN，进而解题；
②结合①利用HL证明；
③连接MD，根据MA≠MD≠MB,即可得MB不平分；
④根据勾股定理可得ND=12，结合②可得AC=ND=12，据此解题．
【详解】解：①是的垂直平分线上的点
，
故①正确；
②在与中，
故②正确；
③如图，连接MD
为的中点，
不平分，
故③错误；
④
故④错误，
综上所述，正确的是①②
故答案为：①②．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
12．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)如图1，已知四边形，．在对角线上求作一点P，使和的面积相等；
(2)如图2，已知四边形，在对角线上求作一点Q，使得的面积等于的面积的一半．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图1，延长，交于点M，作的平分线，交于点P，点P即为所作；
（2）如图2，过点B作交于，作线段的垂直平分线交于，点即为所作．
【详解】（1）解：如图1，延长，交于点M，作的平分线，交于点P，连接，
∴点P到和的距离相等，
又∵，
∴和的面积相等，
∴点P即为所作．
（2）解：如图2，过点B作交于，作线段的垂直平分线交于，
∵，
∴，
∴点Q到的距离等于点M到的距离的一半，即点Q到的距离等于点B到的距离的一半，
∴的面积等于的面积的一半．
∴点Q即为所作．
【点睛】本题考查了作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，角平分线的性质，平行线间的距离等知识．熟练掌握作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，角平分线的性质，平行线间的距离是解题的关键．
13．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，在中，D是上一点，连接．
(1)在上求作一点P，使得，连接，与交于点E．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接若E为的中点，的面积为8，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】此题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线、与三角形中线有关的面积问题等知识，熟练掌握作已知线段的垂直平分线是解题的关键．
（1）根据尺规作图作线段垂直平分线的步骤，作的中点，再作的中点，即可求解；
（2）根据，，得，，则，根据点为的中点，得，进而可知，结合，即可求解．
【详解】（1）解：作的中点，再作的中点，
如图，即为所求；
（2）∵，，则，即，
∴，则，
∵点为的中点，
∴，则，
∵，
∴，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
13.1.3 线段垂直平分线的有关作图 分层作业
基础训练
1．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．甲和乙
3．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点D，连接，若的周长为12，，则的周长为（ ）
A．7 B．12 C．17 D．20
4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，以点为圆心、长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连结交于点，若的周长为，，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．10
5．（23-24八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在中，分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点，作直线分别交边于点，连接．若的面积为7，的面积为2，则的面积为( )
A．7 B．5 C．4 D．2
7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
8．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知，根据几何作图的痕迹，解决下列问题：
（1） ；
（2）若，则 °．
9．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 ．（填序号）
①为直线的垂线；②；③；④．
10．（2022·广东深圳·二模）如图，在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若的周长为17，则BD的长为 ．
11．（2020·陕西西安·三模）如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
12．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，利用尺规在内部求作一点，使到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法）
13．（23-24八年级下·陕西西安·期末）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：
(1)如图，在的边上求作一点，使得；
(2)如图，在的边上求作一点，使得点到，的距离相等．
14．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，的周长为．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（）的条件下，连接，若，求的周长．
能力提升
1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②；
步骤3：连接，交延长线于点；
下列叙述错误的是（ ）
A．垂直平分线段 B．平分
C． D．
2．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图所示的三个图是三个基本作图的作图痕迹，关于三条弧 ①、 ②、 ③有以下三种说法：
（1）弧 ①是以点O为圆心，任意长为半径所作的弧；
（2）弧 ②是以点A为圆心，任意长为半径所作的弧；
（3）弧 ③是以点O为圆心，大于的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东东营·一模）如图，在Rt△ABC中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．45° D．60°
4．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤：
（1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M；
（2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线；
（3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接；
（4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接．
根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是 ．
①；②；③； ④的周长等于线段的长．
6．（23-24八年级下·福建漳州·期中）在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于M点，作射线交于K点．以K为圆心，为半径画弧交射线于H点，分别以C，H为圆心，大于为半径画弧交于N，L，作直线交于G，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图所示的长方形中，依据尺规作图的痕迹，计算 ．
8．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，，，则 ．
9．（22-23九年级下·海南海口·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接，若的面积为，的面积为，则四边形的面积为 ．
10．（21-22七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，，的面积为2.5①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H，再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D；②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AD于点F，则的面积为 ．
11．（21-22八年级上·福建泉州·期末）如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，，现给出下列结论：①；②；③MB平分；④若，，则．其中正确的是 ．
12．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)如图1，已知四边形，．在对角线上求作一点P，使和的面积相等；
(2)如图2，已知四边形，在对角线上求作一点Q，使得的面积等于的面积的一半．
13．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，在中，D是上一点，连接．
(1)在上求作一点P，使得，连接，与交于点E．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接若E为的中点，的面积为8，求的面积．
