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第十二章 全等三角形 单元测试基础卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可．
【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
B中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
C中两个图形是全等图形，故符合题意；
D中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．边角边 B．角边角
C．边边边 D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，先由线段中点的定义得到，再由对顶角相等得到，则可利用证明即可得到．
【详解】解：∵点O分别是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键．
根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解．
【详解】解：根据平移，，则A正确，不符合题意；
根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意；
根据平移的性质，，则，C正确，不符合题意；
根据平移可得，，与不一定相等，则D错误，符合题意；
故选： D．
4．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置CD上升时，这时小红离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：在与中，
，
，
，
小明离地面的高度是，
故选：C．
5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图， 是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
【答案】C
【分析】过P点作于E点，根据角平分线的性质即可得解．
本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】如图，过P点作于E点，
∵是的角平分线，P为上任意一点，，，
，
，
，
∴点P到射线的距离是3，
故选：C．
6．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
故选：B
7．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用三角形的三边关系求得的范围，再进行选择即可．
【详解】解：延长到点，使，连接，
是边上的中线，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
只有选项A符合要求，
故选：A
8．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据判定与全等；丙可根据判定与全等，可得答案．
【详解】解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与全等；
乙三角形夹内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等；
丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定乙与全等；
则不能证明和 全等的是甲，
故选：B
9．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是过点A的直线，于D，于E．若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形性质和判定．根据题意证明，继而利用全等三角形性质即可得到本题答案．
【详解】解：∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点.有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是个．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）．
【答案】或或（任性一个即可）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：添加，可由证明；
添加，可由证明；
添加，可由证明；
故答案为：或或．（任性一个即可）
12．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，其中．则的周长为
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，进而可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴的周长为，
故答案为：15．
13．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵、是 的高，
，
，，
，
在和中
，
，
，，
，
，
又，
，
．
故答案为：5.
14．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D，若，的面积为10，则的面积为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．
过点D作于点E，于点F，则，进而得出，即可解答．
【详解】解：过点D作于点E，于点F，
由作图可知，平分，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为10，
∴的面积为15，
故答案为：15．
15．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：4．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，为中点，，求证：．
证明：延长至点，使，连接，
为中点，
（______）
在和中
，
（______）
______，
，
（______）
，
平分
（______）
（______）
，
．
【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，延长至点，使，连接，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：延长至点，使，连接，
为中点，
（线段中点的定义），
在和中，
，
，
，
，
（两直线平行，同位角相等），
，
平分
（角平分线的定义），
（等量代换），
，
．
故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换．
17．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，．使用尺规进如下作图：在和上分别截取，使，分别以M、N为圆心，以大于的长半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边交于点D．
(1)根据作图可知是的一条______线；
(2)过点D作于点E．若，，求的长．
【答案】(1)角平分
(2)3
【分析】本题考查作图 基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理；
（1）根据尺规作图可知题中为尺规作角平分线即可求解；
（2）根据角平分线性质定理可得，证明 ，得出，结合，即可得出，即可求解；
【详解】（1）解：根据作图可得是的角平分线，即为的一条角平分线．
（2）解：∵平分，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点．
(1)试说明：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握了全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由，可得，，由点，，在一条直线上，可求，则．．，进而可得．
（2）由，可得，，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
∵点，，在一条直线上，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵，，
∴，，又，
∴．
∴．
∴的长为7．
19．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，这是某木屋屋架的结构图，木工师傅测量时发现，．
(1)求证：；
(2)若平分，猜想图中与有怎样的位置关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见解打
(2)，证明见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直的概念．熟练掌握平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用平行线的性质和判定可得出结论；
（2）证明，得到，根据，从而可得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：
（2）解：
证明：
由（1）知：
平分
在与中
20．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)4cm．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，对于（1），先证明，可得，即可得出答案；
对于（2），先根据“全等三角形的对应边相等”得，再说明，然后根据全等三角形的性质可得答案.
【详解】（1）在和中
∵
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴.
∵，
∴，
∴
21．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，墙地面b，嘉嘉想知道这堵墙上点A到地面的高度，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案．
第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量的长度即为点A到地面的高度．
(1)请说明为什么的长度即为点A到地面的高度；
(2)若测得，，求梯子下滑的高度．
【答案】(1)见解析
(2)梯子下滑的高度为
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质．
（1）由垂直的定义可得出，由题意可知，，结合已知条件利用证明，由全等三角形的性质可得出．
（2）利用全等三角形的性质可得出，，根据即可得出答案．
【详解】（1）解：由可知，
，
由题意可知，
在和中，
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，．
∵，，
∴．
∴梯子下滑的高度为．
22．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，，，，垂足分别为，，．求证：．
（2）如图②，在四边形中，．
①若，则的度数为 ；
②分别作平分，平分交，于点，，请判断与的位置关系，并说明理由．（请补全图形后再作答）
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②补全图形见解析；，理由见解析
【分析】（1）根据垂直定义得到，在直角三角形中利用两个三角形全等判定定理得到，再由三角形全等的性质即可得证；
（2）①由四边形内角和为及已知角代值求解即可得到答案；②根据题意补全图形，由四边形内角和及角平分线定义可得，再由等量代换可得，由平行线的判定定理即可得证．
【详解】解：（1），，
．
，
，即．
又，
；
（2）①在四边形中，，
，，
；
故答案为：；
②补全图形，如图所示：
，
理由如下：
在四边形中，，，
．
平分，平分，
，
在中，，则．
．
【点睛】本题考查几何综合，涉及直角三角形全等的判定与性质、四边形内角和、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余及平行线的判定定理等知识，熟记相关几何性质与判定，数形结合是解决问题的关键．
23．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________；
【问题探究】（2）①构距离，造全等
如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________；
②巧翻折，造全等
如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答．
【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
（1）直接利用证明即可得出；
（2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可；
②在上截取．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答；
（3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1）证明：根据作图可得，又，
，
，
即；
故答案为：；
（2）①如图：过点作，垂足为点，
和的平分线交于点，
，即，
；
②如图：在上截取．连接，
是的角平分线，
，
又，
．
，
又，
；
（3），理由如下：
，
是的两条角平分线，且交于点．
，
；
在上截取，连接，则，
，
，
，
又，
，
是的角平分线，
，
，
，
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第十二章 全等三角形 单元测试基础卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．边角边 B．角边角
C．边边边 D．两点之间线段最短
3．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置CD上升时，这时小红离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图， 是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
6．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙
9．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是过点A的直线，于D，于E．若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）．
12．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，其中．则的周长为
13．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ．
14．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D，若，的面积为10，则的面积为 ．
15．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，为中点，，求证：．
证明：延长至点，使，连接，
为中点，
（______）
在和中
，
（______）
______，
，
（______）
，
平分
（______）
（______）
，
．
17．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，．使用尺规进如下作图：在和上分别截取，使，分别以M、N为圆心，以大于的长半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边交于点D．
(1)根据作图可知是的一条______线；
(2)过点D作于点E．若，，求的长．
18．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点．
(1)试说明：．
(2)若，，求的长．
19．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，这是某木屋屋架的结构图，木工师傅测量时发现，．
(1)求证：；
(2)若平分，猜想图中与有怎样的位置关系，并证明你的猜想．
20．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
21．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，墙地面b，嘉嘉想知道这堵墙上点A到地面的高度，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案．
第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量的长度即为点A到地面的高度．
(1)请说明为什么的长度即为点A到地面的高度；
(2)若测得，，求梯子下滑的高度．
22．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，，，，垂足分别为，，．求证：．
（2）如图②，在四边形中，．
①若，则的度数为 ；
②分别作平分，平分交，于点，，请判断与的位置关系，并说明理由．（请补全图形后再作答）
23．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________；
【问题探究】（2）①构距离，造全等
如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________；
②巧翻折，造全等
如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答．
【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由．
