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第十二章 全等三角形 单元测试提高卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：∵，
∴，即，
添加条件，结合，，不可以利用证明，故A符合题意；
添加条件，结合，，可以利用证明，故B不符合题意；
添加条件，结合，，可以利用证明，故C不符合题意；
添加条件，结合，，可以利用证明，故D不符合题意；
故选：A．
2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理进行逐个判断即可求解．
【详解】解：A、，，，符合全等三角形的判定定理（），能画出唯一的三角形，故不符合题意；
B、，，，符合全等三角形的判定定理（），能画出唯一的三角形，故不符合题意；
C、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故符合题意；
D、，，，符合全等三角形的判定定理（），能画出唯一的三角形，故不符合题意；
故选：C．
3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，直角沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．四边形的面积=四边形的面积
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，三角形的面积，平行线的判定，根据平移的性质逐一判断即可．
【详解】解：沿直线边所在的直线向下平移得到，
，，
，，
，，
故A、C、D项结论正确，
平移中，当点D接近点B时，可知：，故B项结论不一定正确，
故选：B．
4．（23-24八年级下·河北保定·期末）判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟记全等三角形的判定与性质、平行线的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：方案I：
，
（内错角相等，两直线平行），
方案II：
在和中，
，
，
，
故选：D．
5．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上靠近点C的三等分点，且，若阴影部分面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，过点D作于点M，于点N，根据角平分线的性质得出，根据，得出，根据，得出，最后求出的面积即可．
【详解】解：过点D作于点M，于点N，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵点E为边上靠近点C的三等分点，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
6．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：，
，
，
在与中，
，
，
，
则
壁虎以的速度B处往处爬，
．
故选：C．
7．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C．与相等的角只有 D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再利用“HL”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各项分析判断即可．
【详解】解：∵A，B分别是，平分线上的点，
∴，，
∵，
∴，故选项A结论正确，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，故B选项结论正确，
∵，
∴，
∵A，B分别是，平分线上的点，
∴，，
∴，，
∴，
∵于点C，于点D，
∴，，
∴，，
与互余的角有，，，共4个，故选项C结论错误
∵，
故选项D结论正确．
故选：C．
8．（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，平移的性质，解题的关键是先求出点A的坐标，根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可．
【详解】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵将平移，使点C与原点O重合，
∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，
∴点A平移后的对应点为：，即．
故选：C．
9．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（ ）
A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当，时，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
当，时，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为2.4或2，
故选：B．
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是个．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作于点D，过作于点，可得，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵边和上的高都是3，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当在点D的同侧，在点的同侧时，如图，
同理可得：，；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，即；
当在点D的同侧，在点的两侧时，如图，
同理可得：；
综上，的值为或．
故答案为：或．
13．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知中，平分，于点D，连接，则阴影部分的面积是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质有三角形的面积，延长交于点，先证明，可得，再进行计算即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
平分，，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：4．
14．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
延长到E，使，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可由，进而即可求解．
【详解】解：延长到E，使，连接，如图，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图在中 ，平分，，的面积为78，M、N分别是、上的点，则的最小值是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
在上取一点E，使得，连接，证明，可得，则，进而可得当点B，M，E共线且时，取最小值即，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，在上取一点E，使得，连接，过点作于点F.
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴当点B，M，E共线且时，取最小值即，
∵，的面积为78，
∴，
∴，
即的最小值是12．
故答案为：12．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24七年级下·河南郑州·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，连接，测出的长即可．乙：如图2，先确定直线，过点B作，在点D处用测角仪确定，射线交直线于点C，最后测量的长即可得线段的长．
(1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性；
(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
（1）甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙方案作出的也是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以也是可行的；
（2）选甲方案，使用工具操作容易；乙方案使用工具操作相对不容易，A，B间可视性未知．
【详解】（1）甲方案：
在与中，
，
∴，
∴，
乙方案
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）选甲种方案，理由：使用工具简单，只需要测量长度的刻度尺，容易操作；乙种方案使用工具需要测量长度的刻度尺和测量角度的测角仪，不容易操作，A，B间是否具备可视性．
17．（2024·四川泸州·三模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
本题先直接证明得到，再根据“”可判断．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
18．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？
【答案】当的长为5或10时，和全等
【分析】本题考查全等三角形的判定，分和两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时：
∵，，
∴；
当时：
∵，，
∴；
综上：当的长为5或10时，和全等．
19．（23-24七年级下·重庆·期末）在中，和的角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解；
（）在上截取，连接，证明，，再根据性质即可求证；
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
(1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）；
(2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②；③
(2)，理由见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形．
（1）①根据题意补全图形即可；
②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答；
③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此；
（2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可．
【详解】（1）解：①根据题意画出图形：
；
②解：是中线，
，
在和中，
，
．
故答案为：；
③解：，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，使得，连接，
根据（1）中原理可得，
，，
，
，
，
，
，
，
∴
．
21．（23-24七年级下·陕西西安·期末）【问题背景】
直线于点B（即），，点D为的中点，一条光线从点A射向点D，反射后与直线l交于点E，．
【问题再现】
（1）如图1，试说明线段与线段的数量关系；
【问题推广】
（2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，．试说明线段与线段的位置关系．
【答案】（1）相等，详见解析；（2）垂直，详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质定理，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用角边角证明，进而证明即可；
（2）先证明，再证明，再根据直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理进行证明即可．
【详解】（1）相等，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）垂直，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（23-24七年级下·江西抚州·期末）（1）【模型呈现】如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D，E．试说明：
（2）【模型应用】如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有．试说明：．
（3）【拓展延伸】如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I．试说明：I为的中点．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键．
（1）由可得，推出，结合，，即可证明；
（2）设，由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论；
（3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点．
【详解】（1）如图1，
证明：直线l，直线l，
∴，
，
∴，
，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）如图，
证明如下：
设，
∴，
∴，
在和中．
．
∴，，
∴；
（3）如图3，
证明：过E作于M，的延长线于N．
∴，
，
，
是边上的高，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
在△EMI和△GNI中，
，
，
，
I是的中点．
23．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
(1)求证：平分
(2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明；
（2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，，
即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为边上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）过点E作于点M，于点N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
为边上的高，
，
，
．
在和中，
．
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第十二章 全等三角形 单元测试提高卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，直角沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．四边形的面积=四边形的面积
4．（23-24八年级下·河北保定·期末）判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行
5．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上靠近点C的三等分点，且，若阴影部分面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C．与相等的角只有 D．
8．（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
9．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（ ）
A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ．
12．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则 ．
13．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知中，平分，于点D，连接，则阴影部分的面积是 ．
14．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ．
15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图在中 ，平分，，的面积为78，M、N分别是、上的点，则的最小值是 ．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24七年级下·河南郑州·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，连接，测出的长即可．乙：如图2，先确定直线，过点B作，在点D处用测角仪确定，射线交直线于点C，最后测量的长即可得线段的长．
(1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性；
(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由．
17．（2024·四川泸州·三模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：．
18．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？
19．（23-24七年级下·重庆·期末）在中，和的角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
(1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）；
(2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由．
21．（23-24七年级下·陕西西安·期末）【问题背景】
直线于点B（即），，点D为的中点，一条光线从点A射向点D，反射后与直线l交于点E，．
【问题再现】
（1）如图1，试说明线段与线段的数量关系；
【问题推广】
（2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，．试说明线段与线段的位置关系．
22．（23-24七年级下·江西抚州·期末）（1）【模型呈现】如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D，E．试说明：
（2）【模型应用】如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有．试说明：．
（3）【拓展延伸】如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I．试说明：I为的中点．
23．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
(1)求证：平分
(2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
