2023-2024学年陕西省西安市碑林区七年级（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省西安市碑林区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a3 a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4
3．（3分）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm
4．（3分）如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
5．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（　　）
A．85° B．70° C．75° D．60°
6．（3分）某校初一数学兴趣小组利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如表所示：
支撑物高度h/cm 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间t/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．支撑物的高度为40cm，小车下滑时间为2.13s
B．支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小
C．若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间
D．若支撑物的高度为80cm，则小车下滑时间可以是小于1.59s的任意值
7．（3分）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．水涨船高 D．拔苗助长
8．（3分）如图，A、C、E三点在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，连接AD，BE，分别交BC、CD于点P、Q．AD与BE相交于点O，连接PQ，下列结论中其中正确的个数为（　　）
①△ACD≌△BCE；
②CP＝CQ；
③∠AOE＝120°；
④PQ∥AE；
⑤DP＝DE．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）某公司制作毕业纪念册的收费如下，设计费与加工费共300元，另外每册收取材料费4元，则总收费y（元）与制作纪念册的册数x（册）之间的关系式为 　 　．
10．（3分）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为42°，则顶角的度数为 　 　．
11．（3分）“红灯停，绿灯行，黄灯亮了等一等”，某路口交通信号灯设计如下：每次红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，如此循环往复，按照交通规则，则小明驾车行驶至该路口时恰好遇到绿灯的概率为 　 　．
12．（3分）已知2x+y﹣4＝0，则4x 2y＝　 　．
13．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝　 　．
14．（3分）如图在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝13，△ABC的面积为78，M、N分别是AD、AB上的点，则BM+MN的最小值是 　 　．
三、解答题（本题共10小题，共78分）
15．（10分）计算：
（1）（﹣）﹣2+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0；
（2）（3m+n）（m﹣2n）﹣（3m+2n）（3m﹣2n）．
16．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，在边AC上找一点P，使得PB＝PC．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（y﹣4x）﹣8xy]÷8x，其中x＝﹣1，y＝．
18．（6分）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF，BC平分∠DBE，为什么？
19．（7分）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种色的质地相同的小球，若红球个数是黑球个数的2倍多3个，从袋中任取一个球是白球的概率是．
（1）求袋中红球的个数．
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
20．（7分）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．
21．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；
（2）在直线MN上找出一点D，使得∠BDM＝∠CDN，并说明理由．
22．（8分）阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
23．（10分）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．
（1）甲乙两地之间的路程为 　 　km；快车的速度为 　 　km/h；慢车的速度为 　 　km/h；
（2）出发 　 　h，快慢两车距各自出发地的路程相等；
（3）快慢两车出发 　 　h相距150km．
24．（12分）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．
（1）探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：　 　；
（2）拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，请探究线段BE，EF，DF具有怎样的数量关系，并证明．
2023-2024学年陕西省西安市碑林区七年级（下）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a3 a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4
选：D．
3．（3分）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm
选：C．
4．（3分）如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
选：C．
5．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（　　）
A．85° B．70° C．75° D．60°
选：C．
6．（3分）某校初一数学兴趣小组利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如表所示：
支撑物高度h/cm 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间t/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．支撑物的高度为40cm，小车下滑时间为2.13s
B．支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小
C．若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间
D．若支撑物的高度为80cm，则小车下滑时间可以是小于1.59s的任意值
选：D．
7．（3分）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．水涨船高 D．拔苗助长
选：C．
8．（3分）如图，A、C、E三点在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，连接AD，BE，分别交BC、CD于点P、Q．AD与BE相交于点O，连接PQ，下列结论中其中正确的个数为（　　）
①△ACD≌△BCE；
②CP＝CQ；
③∠AOE＝120°；
④PQ∥AE；
⑤DP＝DE．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）某公司制作毕业纪念册的收费如下，设计费与加工费共300元，另外每册收取材料费4元，则总收费y（元）与制作纪念册的册数x（册）之间的关系式为 　y＝4x+300　．
10．（3分）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为42°，则顶角的度数为 　48°或132°　．
11．（3分）“红灯停，绿灯行，黄灯亮了等一等”，某路口交通信号灯设计如下：每次红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，如此循环往复，按照交通规则，则小明驾车行驶至该路口时恰好遇到绿灯的概率为 　　．
12．（3分）已知2x+y﹣4＝0，则4x 2y＝　16　．
13．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝　48°　．
14．（3分）如图在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝13，△ABC的面积为78，M、N分别是AD、AB上的点，则BM+MN的最小值是 　12　．
三、解答题（本题共10小题，共78分）
15．（10分）计算：
（1）（﹣）﹣2+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0；
（2）（3m+n）（m﹣2n）﹣（3m+2n）（3m﹣2n）．
【解答】解：（1）
＝9+4﹣1
＝12；
（2）（3m+n）（m﹣2n）﹣（3m+2n）（3m﹣2n）
＝3m2﹣6mn+mn﹣2n2﹣（9m2﹣4n2）
＝3m2﹣5mn﹣2n2﹣9m2+4n2
＝﹣6m2﹣5mn+2n2．
16．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，在边AC上找一点P，使得PB＝PC．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点P即为所求．
17．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（y﹣4x）﹣8xy]÷8x，其中x＝﹣1，y＝．
【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣y2+4xy﹣8xy）÷8x
＝（4x2﹣8xy）÷8x
＝x﹣y，
当x＝﹣1，y＝时，
原式＝×（﹣1）﹣
＝﹣1．
18．（6分）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF，BC平分∠DBE，为什么？
【解答】证明：∵∠1十∠2＝180°，∠1+∠EBD＝180°，
∴∠2＝∠EBD，
∴AE∥CF，
∴∠FDB＝∠DBE，∠BAD＝∠ADF，
又∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠ADF，
∴AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDA＝∠FDB＝∠DBE，
∴BC平分∠DBE．
19．（7分）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种色的质地相同的小球，若红球个数是黑球个数的2倍多3个，从袋中任取一个球是白球的概率是．
（1）求袋中红球的个数．
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【解答】解：（1）∵一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种色的质地相同的小球，从袋中任取一个球是白球的概率是，
∴白球的个数为：290×＝29（个），
设黑球的个数为x个，
则2x+3+x＝290﹣29，
解得：x＝86，
则2x+3＝175，
答：袋中红球的个数为175个；
（2）由（1）得：从袋中任取一个球是黑球的概率为：＝．
20．（7分）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．
【解答】（1）证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
，
∴△AEC≌△AEF（SAS）；
（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠F，
∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，
∴∠FAE+∠F＝50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝80°，
∴∠BEF为80°．
21．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；
（2）在直线MN上找出一点D，使得∠BDM＝∠CDN，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点D即为所求．
22．（8分）阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1；
（2）原式＝×[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（38﹣1）（38+1）（316+1）]
＝×[（316﹣1）（316+1）]
＝．
23．（10分）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．
（1）甲乙两地之间的路程为 　420　km；快车的速度为 　140　km/h；慢车的速度为 　70　km/h；
（2）出发 　　h，快慢两车距各自出发地的路程相等；
（3）快慢两车出发 　h或h或　h相距150km．
【解答】解：（1）由图可知：甲乙两地之间的路程为420km；
快车的速度为：＝140km/h；
由题意得：快车7小时到达甲地，则慢车6小时到达甲地，
则慢车的速度为：＝70km/h；
故答案为：420，140，70；
（2）∵快车速度为：140km/h，
∴A点坐标为：（3，420），
∴B点坐标为（4，420），
由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等，
设出发x小时，两车距各自出发地的路程相等，
70x＝2×420﹣140（x﹣1），
70x＝980﹣140x，
解得：x＝，
答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；
故答案为：；
（3）第一种情形第一次没有相遇前，相距150km，
则140x+70x+150＝420，
解得：x＝，
第二种情形应是相遇后而快车没到乙地前140x+70x﹣420＝150，
解得：x＝，
第三种情形是快车从乙往甲返回：70x﹣140（x﹣4）＝150，
解得：x＝，
综上所述：快慢两车出发h或h或h相距150km．
故答案为：h或h或．
24．（12分）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．
（1）探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：　EF＝BE+FD　；
（2）拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，请探究线段BE，EF，DF具有怎样的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）EF＝BE+FD．
延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图1，
∵∠ABE＝∠ADG＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠EAF＝60°．
∴∠GAF＝∠EAF＝60°．
又∵AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS）．
∴FG＝EF．
∵FG＝DF+DG．
∴EF＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2中，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵，
∴．
∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，
∴EF＝BE+DF；
（3）结论：EF＝BE﹣FD．理由如下：
如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．