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（湘教版）九年级
上
2.1 一元二次方程
一元二次方程
第二章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.通过实际问题引入一元二次方程的概念，引导学生经历观察、思考、抽象、概括等数学活动过程.
2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程.
3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.
4.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.
新知导入
如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个矩形， 它的宽为50 cm，使剩余部分的面积为原矩形面积的. 求挖去的矩形的长x cm应满足的方程。
解：由于矩形的宽为50 cm，矩形的长x cm，则它的面积为50xcm2．
根据等量关系， 可以列出方程
200×150-50x=200×150× .
化简，整理得50x-7500=0.
新知导入
只含有一个未知数,未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
50x-7500=0是什么方程？
一元一次方程
什么是一元一次方程？
新知讲解
(1)如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的. 求挖去的圆的半径x cm应满足的方程(其中π取3)；
动脑筋
新知讲解
(2)据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆， 两年后增加到108万辆．求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程．
思考：建立方程的关键是找出问题中的等量关系，问题(1)(2)涉及的等量关系是什么？
矩形的面积-圆的面积=矩形的面积× .
两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2.
新知讲解
解： (1)由于圆的半径为x cm，则它的面积为3x2 cm2．
根据等量关系， 可以列出方程
200×150- 3x2= 200×150× ．
化简， 整理得
x2-2500=0．
新知讲解
解： (2)该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
根据等量关系，可以列出方程
75(1+x)2=108．
化简， 整理得
25x2+50x-11=0．
说一说
方程x2-2500=0 和25x2+50x-11=0中有几个未知数？它们的左边是 x的几次多项式？
新知讲解
如果一个方程通过整理可以使右边为 0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程， 它的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数，a≠0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、 一次项系数、 常数项.
例如方程x2-2500=0中二次项系数是1, 一次项系数是0，常数项是-2500.
典例精析
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 3x(1-x)+10=2(x+2)； (2) 5x(x+1)+7=5x2-4.
解 :
(1)去括号，得3x-3x2+10=2x+4.
移项，合并同类项，得-3x2+x+6=0，
这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6.
典例精析
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 3x(1-x)+10=2(x+2)； (2) 5x(x+1)+7=5x2-4.
解 :
(2)去括号，得5x2+5x+7=5x2-4.
移项，合并同类项，得5x+11=0，
这是一元一次方程，不是一元二次方程.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从千克增加到千克，设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
B
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道面积是30．设观花道的直角边为x，则可列方程为（ ）
A．(10+x)(9+x)＝30
B．(10+x)(9+x）＝60
C．(10-x)(9-x)＝30
D．(10-x)(9-x)＝60
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0
B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1
D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
B
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
-2
5.已知一元二次方程（m－2）＋3x－4＝0，那么m的值是 ．
6.方程x2-3x+2=0 的二次项系数是 .
1
【综合拓展类作业】
课堂练习
已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
【答案】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1=2，
解得m=1．
课堂总结
什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？
如果一个方程通过整理可以使右边为 0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程， 它的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数，a≠0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、 一次项系数、 常数项.
板书设计
定义：
一般形式：
2.1一元二次方程
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为米，则根据题意列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝662
B．200（1+2x）2＝662
C．200（1﹣x）2＝662
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662
3.当m= 时，关于x的方程（m+2）xm+3+6x﹣9=0是一元二次方程．
D
-1
【综合拓展类作业】
作业布置
把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2=1﹣3x
（2）5x(x﹣2)=4x2﹣3x．
【答案】（1）解：2x2=1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1
（2）解：5x(x﹣2)=4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0
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2
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分课时教学设计
第一课时《2.1一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《2.1一元二次方程》是“湘教版九年级数学（上）”第二章第一节的内容.一元二次方程是中学数学中的重要内容，本节课主要围绕一元二次方程的基本概念展开。通过具体实例引出一元二次方程的概念，并归纳其一般形式（ax +bx+c=0，其中a≠0）。教材在编排上注重从实际问题出发，引导学生通过观察和思考，逐步抽象出数学模型，从而深入理解一元二次方程的概念。
学习者分析 学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程等基础知识，对方程的概念和一般形式有了一定的了解。然而，对于一元二次方程这一新内容，学生可能会感到陌生和困难。此外，学生在学习态度、学习习惯以及数学思维能力等方面存在差异，部分学生可能缺乏自主学习和合作探究的能力。因此，在教学中需要充分考虑学生的实际情况，采用多种教学方法和手段，激发学生的学习兴趣和积极性。
教学目标 1.通过实际问题引入一元二次方程的概念，引导学生经历观察、思考、抽象、概括等数学活动过程. 2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程. 3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项. 4.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.
教学重点 能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式.
教学难点 把实际问题转化为一元二次方程的模型.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个矩形，它的宽为50 cm，使剩余部分的面积为原矩形面积的. 求挖去的矩形的长x cm应满足的方程。 答案： 解：由于矩形的宽为50 cm，矩形的长x cm，则它的面积为50xcm2． 根据等量关系， 可以列出方程 200×150-50x=200×150× . 化简，整理得50x-7500=0. 教师提问：50x-7500=0是什么方程？ 答案：一元一次方程。 教师提问：什么是一元一次方程？ 答案：只含有一个未知数,未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.学生活动1： 学生认真思考，根据题目中的等量关系列出方程 学生认真听讲 回顾一元一次方程的定义活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋： (1)如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的. 求挖去的圆的半径x cm应满足的方程(其中π取3)； （2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆， 两年后增加到108万辆．求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程． 思考：建立方程的关键是找出问题中的等量关系，问题(1)(2)涉及的等量关系是什么？ 教师讲授： 矩形的面积-圆的面积=矩形的面积× . 两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2. 答案： (1)由于圆的半径为x cm，则它的面积为3x2 cm2． 根据等量关系，可以列出方程200×150- 3x2= 200×150× ． 化简，整理得x2-2500=0． (2)该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x. 根据等量关系，可以列出方程75(1+x)2=108． 化简，整理得25x2+50x-11=0． 说一说： 方程x2-2500=0 和25x2+50x-11=0中有几个未知数？它们的左边是 x的几次多项式？ 教师讲授：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程， 它的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数，a≠0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. 教师举例：例如方程x2-2500=0中二次项系数是1, 一次项系数是0，常数项是-2500.学生活动2： 学生读题，认真思考 结合图象进行思考 学生认真思考，寻找题目中的等量关系 学生认真听讲 学生认真听讲，观察方程的特征 学生认真思考，结合已学知识理解一元二次方程的概念 活动意图说明：从具体问题情境和已学知识出发探究新知，引导学生经历观察、思考、抽象、概括等数学活动过程，发展学生分析问题、解决问题的能力。环节三：例题精析教师活动3： 例 下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) 3x(1-x)+10=2(x+2)；(2) 5x(x+1)+7=5x2-4. 解: (1)去括号，得3x-3x2+10=2x+4. 移项，合并同类项，得-3x2+x+6=0， 这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6. (2)去括号，得5x2+5x+7=5x2-4. 移项，合并同类项，得5x+11=0， 这是一元一次方程，不是一元二次方程.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师提问：什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？ 教师讲授：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程， 它的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数，a≠0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从千克增加到千克，设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 2.下列各式中是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 3.如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道面积是30．设观花道的直角边为x，则可列方程为（ ） A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60 C．（10-x）（9-x）＝30 D．（10-x）（9-x）＝60 4.要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 选做题： 5.已知一元二次方程（m－2）＋3x－4＝0，那么m的值是 ． 6.方程x2-3x+2=0 的二次项系数是 . 【综合拓展类作业】 已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为米，则根据题意列方程为（ ） A． B． C． D． 2.某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A．200（1+x）2＝662 B．200（1+2x）2＝662 C．200（1﹣x）2＝662 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662 3.当m= 时，关于x的方程（m+2）xm+3+6x﹣9=0是一元二次方程． 【综合拓展类作业】 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）2x2=1﹣3x （2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．
教学反思 在教学过程中，我采用了情境导入、合作探究、自主学习等多种教学方法，有效激发了学生的学习兴趣和积极性。然而，在小组合作探究环节中，部分学生的参与度不高，需要进一步加强引导和监督。且本章内容较为抽象和复杂，需要教师在讲解过程中注重联系实际问题，通过具体实例帮助学生理解一元二次方程的概念和解法。 同时，在后续教学中需要针对不同学生的实际情况，采取个性化的教学措施，帮助学生克服学习困难。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第二章
课标要求 1.能根据现实情境理解一元二次方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。4.了解一元二次方程的根与系数的关系。5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是湘教版九年级下册第二章《一元二次方程》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“方程与不等式”.一元二次方程是初中数学的重要内容之一，在初中代数中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以巩固前面学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识，并为后续学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识打下基础。此外，一元二次方程也是解决实际问题的重要工具，对于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
学情分析 学生基础情况：学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程等基础知识，对方程的概念和一般形式有了一定的了解。然而，对于一元二次方程这一新内容，学生可能会感到陌生和困难。学生学习态度与能力：部分学生对数学有浓厚的兴趣，能够积极参与课堂讨论和合作探究活动；但也有部分学生对数学缺乏兴趣，学习动力不足。学生在数学思维能力、自主学习能力、合作交流能力等方面存在差异，部分学生可能缺乏这些能力或未能充分发挥出来。学生学习习惯与方法：部分学生已经养成了良好的学习习惯和有效的学习方法，能够独立完成作业并主动预习和复习；但也有部分学生缺乏良好的学习习惯和方法，需要教师进行引导和帮助。
单元目标 （一）教学目标1.使学生理解一元二次方程的基本概念、一般形式及其各项系数（包括二次项系数、一次项系数、常数项）的含义，并能正确识别。2.使学生掌握一元二次方程的四种基本解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），并能在不同情境下灵活运用。3.使学生能够利用一元二次方程解决简单的实际问题，包括建立数学模型、列方程、求解及验证解的合理性等步骤。4.通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生的自主学习能力、合作交流能力和解决问题的能力。5.引导学生经历一元二次方程解法的探索过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，以及“化归”思想和“降次”策略。（二）教学重点、难点教学重点：1.一元二次方程的概念及其一般形式。2.一元二次方程的四种基本解法及其应用。3.利用一元二次方程解决简单实际问题的步骤和方法。教学难点：1.从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型。2.理解和掌握一元二次方程求根公式的推导过程及其应用。3.根据一元二次方程根的情况确定判别式的值的符号，以及利用判别式判断一元二次方程根的情况。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1一元二次方程12.2一元二次方程的解法62.3一元二次方程根的判别式12.4一元二次方程根与系数的关系12.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1一元二次方程1.理解一元二次方程的定义.2.知道一元二次方程的一般形式.4.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.1.能识别一元二次方程.2．能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.任务一：通过实际问题引入一元二次方程的概念.任务二：理解一元二次方程的定义.任务三：知道一元二次方程的一般形式.任务四：习题检测.2.2.1配方法（1）1.理解什么叫做一元二次方程的根.2.学生能够理解并掌握直接开平方法解一元二次方程的基本步骤和原理.3.通过观察和思考，学生能够体会到将复杂问题转化为简单问题的数学思想.能够熟练地将一元二次方程转化为可开平方的形式，并求出其解.任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：观察和思考，将一元二次方程转化为一元一次方程.任务三：理解并掌握直接开平方法解一元二次方程的基本步骤和原理.任务四：习题检测.2.2.1配方法（2）1.学生能够理解配方法的基本原理和解题步骤.2.学生能够熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.3.通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法.能够熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法和完全平方公式.任务二：通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法.任务三：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.1配方法（3）1.进一步掌握配方的方法.2.掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤.3.学生能够理解并掌握用配方法解一般形式的一元二次方程的基本原理和步骤.4.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.任务一：回顾用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤.任务二：探究用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.任务三：运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.2公式法1.理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程.2.能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程.3.通过观察、推导、交流归纳等活动，培养学生的合情推理与归纳总结的能力.能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法和配方法.任务二：经历一元二次方程求根公式的推导过程.任务三：运用公式法解一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.3因式分解法（1）1.掌握应用因式分解法解一元二次方程的基本步骤和方法.2.能正确、熟练地运用因式分解法解一元二次方程.3.通过观察、比较和归纳等数学活动，体会“降次”和“等价转化”的数学思想方法。培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力.能正确、熟练地运用因式分解法解一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法、配方法和公式法.任务二：体会“降次”和“等价转化”的数学思想方法.任务三：运用因式分解法解一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.3因式分解法（2）1.理解并掌握四种一元二次方程的解法2.学生能够熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能根据方程的具体形式灵活选择适当的解法。3.学生能够理解不同解法之间的联系和区别，掌握解题的一般步骤和技巧。能够熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能根据方程的具体形式灵活选择适当的解法任务一：回顾四种解法.任务二：根据方程的具体形式灵活选择适当的解法.任务三：巩固四种一元二次方程的解法.任务四：习题检测.2.3一元二次方程根的判别式1.掌握一元二次方程根的判别式（即b -4ac）的概念和表示方法。2.能用根的判别式判断一元二次方程的根的情况（包括是否有实数根、两个实数根是否相等）。3.能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数的取值范围。1.能用根的判别式判断一元二次方程的根的情况（包括是否有实数根、两个实数根是否相等）2. 能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数的取值范围任务一：回顾四种解法.任务二：经历一元二次方程根的判别式定理的推导过程.任务三：综合运用根的判别式解决问题.任务四：习题检测.2.4一元二次方程根与系数的关系1.学生能够理解并掌握一元二次方程根与系数的关系定理及其证明方法.2.学生能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积.3.学生能够运用根与系数的关系解决一些实际问题.1.能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积.2.能够运用根与系数的关系解决一些实际问题.任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系.任务三：运用根与系数的关系解决一些实际问题.任务四：习题检测.2.5一元二次方程的应用（1）1.学生能够理解和掌握平均增长率问题和销售利润问题的数学模型.2.学生能够运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.3.学生能够分析并解释问题的解，判断解的合理性.能够运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.任务一：回顾解应用题的一般步骤.任务二：探究平均增长率问题和销售利润问题.任务三：运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.任务四：习题检测.2.5一元二次方程的应用（2）1.掌握一元二次方程在面积（体积）问题中的应用方法.2.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：探究一元二次方程在面积（体积）问题中的应用任务三：运用一元二次方程解决面积（体积）问题.任务四：习题检测.
《一元二次方程》单元教学设计
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