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专题九：一元二次方程中定义新运算问题
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，常位于压轴题位置，题型新意。熟练的掌握一元二次方程的基础知识点是解题的关键。
1．先阅读材料，再回答问题．
我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若 为可分解分式方程，则： = ，
(2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值．
(3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值．
2．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于______对称；多项式关于______对称；
(2)若关于x的多项式关于对称，求n的值；
(3)若整式关于对称，求实数a的值．
3．对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以．
(1)求和的值；
(2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值．
4．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
③已知不论为何值，关于的方程的 生点始终在直线上，求b，c的值．
5．新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
6．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ．
(1)若 ，求x的值；
(2)若m、n均为实数，且3 m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况．
7．定义：若x 、x 是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)判断方程是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
8．请仔细阅读材料，并解答相应问题
定义，（a、b、m均为正有理数）都是无理数，若满足①为有理数，②为有理数，则称A、B两数为姐妹数（如与，
，，
6，1为有理数，则、为姐妹数）
(1)已知是的两个根，求的值，并通过以上方法判断是否是一对姐妹数．
(2)在（1）条件下请继续判断、是否是一对姐妹数．
9．为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高”
(1)正比例函数的“单位铅直高”______；
(2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值；
(3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值；
(4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值．
10．小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对偶；
(2)当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值；
(3)若整式关于对偶，求n的值．
11．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值．
12．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
(1)写出一个“凤凰”方程是______；
(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；
(3)已知方程是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．
13．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
(1)方程的倒方程是 ．
(2)若是的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
14．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若关于x的一元二次方程为．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线与x轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若由①得到的点M在的内部，求m的取值范围．
(2)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
15．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
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专题九：一元二次方程中定义新运算问题
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，常位于压轴题位置，题型新意。熟练的掌握一元二次方程的基础知识点是解题的关键。
1．先阅读材料，再回答问题．
我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若 为可分解分式方程，则： = ，
(2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值．
(3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值．
【答案】(1)6，（或，6）
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程等知识．理解题意，熟练掌握完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）由方程 是可分解分式方程，可得 进而可求；
（2）由可分解分式方程 的两个解分别为 可得 ，根据代值求解即可；
（3）由方程 是可分解分式方程，可得 不妨设 ，则，由可得，可求，由，可得，，进而可得k的值为．
【详解】（1）解： ∵方程 是可分解分式方程，
∴
故答案为： 6，．
（2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为
∴，
∴的值为．
（3）解：方程 是可分解分式方程，
∴
∵k为实数，不妨设 ，
，
，
∴，
解得，，
∵，
∴，，
∴k的值为．
2．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于______对称；多项式关于______对称；
(2)若关于x的多项式关于对称，求n的值；
(3)若整式关于对称，求实数a的值．
【答案】(1)1；
(2)
(3)
【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；
（2）依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解；
（3）依据题意，由，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，∵，
∴多项式关于对称．
∵，
∴多项式关于对称．
故答案为：1；．
（2）解：由题意，多项式，
∴多项式关于对称．
又多项式关于对称．
，
．
（3）解：由题意：得
，
∴关于对称．
又∵关于对称，
．
3．对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以．
(1)求和的值；
(2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算：
（1）根据题目已知定义计算即可；
（2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）
；
；
（2）是一元二次方程的根，
，
根据根与系数的关系得，
．
4．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
③已知不论为何值，关于的方程的 生点始终在直线上，求b，c的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②；③
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；
（2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴该方程的衍生点M的坐标为
（2）①∵方程为，
∴ ，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②
∴，
∴该方程的衍生点M的坐标为；
③解∶直线，过定点，
∴两个根为，
∴，
∴．
5．新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用；
（1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解；
（2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义得出联立解关于的一元二次方程，进而根据方程无实数解，即可求解．
【详解】（1）解： 矩形的周长为： ，
矩形的周长为： ，
矩形 的周长 矩形的周长．
矩形的面积为： ，
矩形的面积为： ，
矩形的面积 矩形 的面积．
矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将 代入②得：
即
方程 无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
6．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ．
(1)若 ，求x的值；
(2)若m、n均为实数，且3 m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况．
【答案】(1)，
(2)有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键．
（1）根据新运算得出，解之可得到答案；
（2）的值小于10知，解之求得．再在方程中由可得答案．
【详解】（1）根据运算定义，可得，
化简得 ，
解得∶ ；
（2）根据运算定义，可得，
∴，
∴，
∴在方程 中， ，
∴关于x的方程 有两个不相等的实数根．
7．定义：若x 、x 是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)判断方程是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)或
(3)
【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解．
【详解】（1）方程是“差积方程”，
证明：，
即，
解得，，
，
是差积方程；
（2）解：，
解得方程的解为：，，
是差积方程，
，
即：或．
解得：或，
（3）解： ，
解得，，
是差积方程，
，
即，
即．
8．请仔细阅读材料，并解答相应问题
定义，（a、b、m均为正有理数）都是无理数，若满足①为有理数，②为有理数，则称A、B两数为姐妹数（如与，
，，
6，1为有理数，则、为姐妹数）
(1)已知是的两个根，求的值，并通过以上方法判断是否是一对姐妹数．
(2)在（1）条件下请继续判断、是否是一对姐妹数．
【答案】(1)，，为姐妹数
(2)，是一对姐妹数
【分析】此题考查了新定义，熟练掌握配方法解一元二次方程和二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）解方程后求出，，再根据姐妹数的定义进行证明即可；
（2）根据姐妹数的定义进行计算证明即可．
【详解】（1）解：
，
，
而4，都为有理数
∴为姐妹数；
（2），，
∵20，都为有理数，
∴，是一对姐妹数
9．为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高”
(1)正比例函数的“单位铅直高”______；
(2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值；
(3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值；
(4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)当时，有最大值；当时，t没有最大值
【分析】依据题意，仿照例子代入计算即可得解；
依据题意，可以列方程，进而可以得解；
由题意，列出关于t的方程，再由，从而可以得解；
依据题意列出关系式，通过法变化即可得解．
【详解】（1）解：由题意，当时，；当时，，
正比例函数的“单位铅直高”
故答案为：
（2）解：由题意得，，
或
经检验，或是方程的解．
或
（3）解：由题意得，
，
又，，
的最小值为
（4）解：由题意，，
，且对于关于m的一元二次方程有解，
或
当时，有最大值；当时，t没有最大值．
10．小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对偶；
(2)当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值；
(3)若整式关于对偶，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，整式乘法，正确理解新定理，判断出对称轴是解题关键．
（1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可；
（2）将多项式配方得，再根据新定义，得到，求解即可得到b的值；
（3）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可．
【详解】（1）解：，
当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
多项式关于对偶，
故答案为：
（2）解：，
当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
当或时，关于x的多项的值相等，
，
解得：；
（3）解：
整式关于对偶，
．
11．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)5
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
（1）因式分解法解一元二次方程得，根据定义，求解作答即可；
（2）由，可得，，代入，整理得，，解得，或，分当时，当时，两种情况求解，然后判断作答即可．
【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：∵，
∴，
解得，，
∵，
∴方程为“限根方程”；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，即，整理得，，
∴，
解得，或，
①当时，，
解得，，
∵，
∴符合题意；
②当时，，
解得，，
∵，
∴不符合题意，舍去；
∴k的值为5．
12．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
(1)写出一个“凤凰”方程是______；
(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；
(3)已知方程是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现是方程的根，直接写出一个根为一元二次方程即可．
（2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现是一元二次方程的一个根，直接求解即可．
（3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出，可以得到一个方程，再由凤凰方程，又可以得到一个的方程，然后去求，和即可，最后求出的值．
【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是；
即为：．
（2）关于的一元二次方程，且满足；
∴时，；
故凤凰”方程必定有一个根是．
（3）是“凤凰”方程；
，即；
方程有两个相等的实数根；
．将代入，得；
解得：；
．
13．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
(1)方程的倒方程是 ．
(2)若是的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值；
（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可；
【详解】（1）解：方程的倒方程是；
（2）解：由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程得 ：，
∴
（3）由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴， ，
∴
∴
；
14．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若关于x的一元二次方程为．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线与x轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若由①得到的点M在的内部，求m的取值范围．
(2)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)存在，，
【分析】（1）①计算判别式，得到该方程总有两个不等的实数根，再通过因式分解法解一元二次方程得到其两根，从而得到该方程衍生点M的坐标；
②由，令，，知点M在上直线，由直线与的边交于点，交于点得到，从而得到m的范围；
（2）分析出不论为何值，直线过定点，即为关于x的方程的衍生点M，再根据根于系数的关系得到b，c的值．
【详解】（1）①，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
，
解得：，，
方程的衍生点为．
②∵直线与x轴交于点A，
∴，
由①得，，
令，，
∴，
∴点M在直线上，刚好和的边交于点，
令，则，
∴，
∴；
∴；
（2）存在．
直线，过定点，
∴两个根为，，
∴，，
∴，．
15．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)方程的“最值码”为；
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键．
（1）直接利用新定义计算即可；
（）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可；
（）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：“全整根方程”的“最值码”是
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是“全整根方程”，
∴是完全平方数，
即是完全平方数，
∴或或，
解得或或，
∵为整数，
∴，
当时，方程化为
，
∴；
∴方程的“最值码”为；
（3）解：方程的“最值码”为
，
方程的“最值码”为
，
∵是的“全整根伴侣方程”，
∴，
即，
整理得，，
∴，
即，
∵，均为正整数，
∴，
∴，
∴．
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