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专题五：关于根的判别式的三种题型
【人教版】
本卷共含有5道题，是一元二次方程章节常考的重难点题型，包含了：①根据根的判别式判断一元二次方程解的个数②根据根的判别式求参数的取值范围③根的判别式的解答题。
1．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由点在第二象限，可得，则，由，可得，然后判断作答即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．
根据点的位置确定，然后判断的值的取值范围即可解题．
【详解】解：∵点在第二象限，点在轴的正半轴上，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据此并结合平方的非负性判断即可．
【详解】解：∵，
∴
，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．若是方程的解，则
B．若，则方程必有两个不相等的实数根
C．若，则方程必有两个不相等的实根
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根．
根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．
【详解】解：、将代入方程可得：，
∴本选项说法正确，不符合题意；
、若，则方程为，
∴，
∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；
、∵，
∴，
∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；
、∵方程中，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；
故选：．
5．关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A．且 B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意得：解得：且．
故选C．
6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且，
C． D．且，
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得且，
故选：B．
7．若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求一元一次不等式的解集，根据，有两个不相等的实根即可列出bds不等式；再根据不等式求解集的方法即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的关系是解题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实根，
∴，且，
∴且，
故选：A ．
8．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．
根据题意可得，然后解不等式即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且．
故选：D．
9．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了本题主要考查了一元二次方程根的判别式与实数根的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据方程有实数根，可得，带入数值求解即可．
【详解】解：当时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴，
即，
化简可得，
当时，一元二次方程变为一元一次方程，
解得，
即当时，方程有实数根，
综上可得，的取值范围是，
故选．
10．已知关于x的方程．
(1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，该方程的另一个根
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记相关结论是解题关键．
（1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解．
（2）将代入方程即可求得，据此即可求解；
【详解】（1）解： ，，
，
，
，
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入方程得：，
解得，
将代入方程，整理可得：，
即，
解得或，
该方程的另一个根．
11．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；
（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．
【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，由（1）得，
∴，
∴整数的值有，，，
当时，方程为，
解得：，（都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，的值为．
12．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：当时，原方程可化为，
配方，得，
解得；
（2）解：∵该方程有实数根，
∴，
解得，
即若该方程有实数根，的取值范围是．
13．已知关于x的方程无实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)判断方程的根的情况．
【答案】(1)
(2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
（1）根据一元二次方程的判别式求解即可；
（2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可．
【详解】（1）∵关于x的方程无实数根
∴
解得；
（2）∵方程
∴当时，即时，方程为
∴方程为一元一次方程，有一个实数根，
当且时，方程为一元二次方程
∴
∵
∴
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程的一个根为3，求k的值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)k的取值范围为．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
（1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值；
（2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：把代入得，
；
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
，
．
的取值范围为．
15．已知：关于x的一元二次方程．
(1)当m取何值时，此方程没有实数根；
(2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键．
（1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答；
（2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
可得，
当，即时，此方程没有实数根；
（2）解：∵有两个实数根，
∴，
∴；
∴m的最小整数值为．
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专题五：关于根的判别式的三种题型
【人教版】
本卷共含有5道题，是一元二次方程章节常考的重难点题型，包含了：①根据根的判别式判断一元二次方程解的个数②根据根的判别式求参数的取值范围③根的判别式的解答题。
1．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．若是方程的解，则
B．若，则方程必有两个不相等的实数根
C．若，则方程必有两个不相等的实根
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
5．关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A．且 B．
C．且 D．且
6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且，
C． D．且，
7．若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
8．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
9．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
10．已知关于x的方程．
(1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
11．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
12．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
13．已知关于x的方程无实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)判断方程的根的情况．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程的一个根为3，求k的值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
15．已知：关于x的一元二次方程．
(1)当m取何值时，此方程没有实数根；
(2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．
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