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专题六：换元法解一元二次方程
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的阅读理解题型，错误率比较高，一般出现在压轴题位置，难度较大。
1．阅读下面的材料，回答问题：
要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做：
解：设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，∴；
当时，，∴；
∴原方程有四个根，，，．
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．
任务：
(1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（ ）
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
(2)仿照上面的方法，解方程；
【答案】(1)B
(2)，，，
【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想；
（2）设，则原方程化为，求出y，再求出x即可．
【详解】（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想
故答案为：B；
（2）解：原方程变形为
设，那么，于是原方程可变为，
解得，．
当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴原方程有四个根，，，．
2．读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设，满足等式，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数．
【答案】(1)；
(2)，，，．
【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案；
（）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想．
【详解】（1）设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
（2）设最小正整数为，则，
即：，
设，则，解得：，，
∵为正整数，
∴，解得，（舍去），
∴这四个连续正整数为，，，．
3．阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将变形为，
．
．
．
．
或．
原方程有三个根：，，．
②换元法求解特殊的四次方程：
设，那么，于是原方程可变为，解得，，
当，时，；
当，时，；
原方程有四个根：，，，．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）；
②（换元法）；
【拓展延伸】
（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值．
【答案】（1）①，，；②，；（2）
【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．
（1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可；
（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．
【详解】（1）①将变形为，
∴，
∴，
∴，
.
或.
解方程得.
解方程得，，
∴原方程的根为：，，；
②，
设，则，方程变形为，
∴，
解得：，
当，时，无实根，舍去，
当，时，解得或；
∴原方程有两个根：，；
（2）解：方程的解为：，
由于，
∴，
，
，，
，
当时，
原式
．
4．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】(1)
(2)
(3)这四个连续正整数为1，2，3，4
【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解，
（2）设，则，或，由，得，即可求解，
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解，
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
5．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根．
【答案】(1)
(2)和
【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想．
（1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可；
（2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可．
【详解】（1）令，则，
或，
解得或．
当时，，
即，
解得．
当时，，
即，
解得．
综上，原方程的解为．
（2）一元二次方程的两根分别为，
方程中或．
解得：或．
即方程的两根分别是和．
6．阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
【答案】(1)
(2)
(3)2025和2022
【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键．
（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（3）解：，
，
由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
或，
解得：或，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为或．
7．阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
【答案】(1)，
(2)，；
【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
（1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可；
（2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可．
【详解】（1）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
故原方程的解为：，，
故答案为：，．
（2）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得：，；
当时，，即，
，
方程无解；
故原方程的解为：，．
8．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则．
例：，
解：令，原方程化为，解得，，
当时，（无意义，舍去）
当时，，解得，
原方程的解为，．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，，
(2)、
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；
（1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解；
（2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：令，原方程化为，
解得，．
当时，，解得．
当时，，解得．
原方程的解为：，，
（2）令，原方程化为，
解得，
当时，（无意义舍去）
当时，，解得、．
原方程的解为、．
9．解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．
根据上述方法，完成下列问题：
(1)若，则的值为___________；
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)或或或
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整．
（1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可；
（2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程．
【详解】（1）解：设，
原方程为：，即，
，
，
或，
，
，
，
故答案为：2；
（2）解：设，
原方程为：，即，
，
或，
当时，，
，
或；
当时，，
，
或；
综上，或或或．
10．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
【答案】(1)原方程的解为，，
(2)方程的两根分别是和，理由见详解
【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想，
（1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可
（2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可．
【详解】（1）解：令，
则，
，
或，
解得或，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，
综上，原方程的解为，，
（2）一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别是和．
11．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键．
（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；
（2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或（舍去），
即，
∴，；
（2）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或，
当时，可有，解得，，
当时，可有，
∵，
∴该方程无解，
∴原方程的解为，．
12．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：．
解：设，则原方程可化为：．
解得：．
当时，，∴；
当时，，∴．
∴原方程的解是：．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：；
(2)解方程：．
(3)解方程：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)和．
【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
（1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可；
（2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可；
（3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解．
【详解】（1）解：设，则原方程可化为：．
解得：．
当时，，
∴；
当时，，
∴．
∴原方程的解是：；
（2）解：设，则原方程可化为，
即，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴原方程的解是：；
（3）解：设，则原方程可化为，
整理得，
∴，
解得：或，
当时，，即，
由知此时方程无解；
当时，，即，
解得：或，
经检验和都是原分式方程的解．
13．阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为，
解得，，
∴或，
∴，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．
（1）设，把原方程化为，然后求解；
（2）设，把原方程化为，然后求解．
【详解】（1）设，则原方程可化为，
解得，，
∴或，
∴，；
（2）设，则原方程可化为，
解得，（舍），
∴，
∴，．
14．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)；；；
(2)，
【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；
（1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可；
（2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可；
【详解】（1）设，
原方程化为，
，
解得或，
当时，，
解得或，
经检验，或是方程的解；
当时，，
解得或，
经检验，或是方程的解．
∴原方程的解为：；；；．
（2）设，则有，
原方程可化为：，
解得（舍）或，
，
，
解得或；
经检验：，是原方程的解．
15．阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体，
设，则，原方程化为，解此方程，得，．
当时，，，；
当时，，，．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想．
类比应用：运用上述方法解方程：．
【答案】，，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程化为：，得出方程的解，当时，当时，代入原方程即可求解，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的一般步骤．
【详解】解：设，则：，
原方程化为：，
解得：，，
当时，，即：，
解得：，，
当时，，即：（舍去），
∴原方程的解为，．
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专题六：换元法解一元二次方程
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的阅读理解题型，错误率比较高，一般出现在压轴题位置，难度较大。
1．阅读下面的材料，回答问题：
要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做：
解：设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，∴；
当时，，∴；
∴原方程有四个根，，，．
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．
任务：
(1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（ ）
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
(2)仿照上面的方法，解方程；
2．读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设，满足等式，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数．
3．阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将变形为，
．
．
．
．
或．
原方程有三个根：，，．
②换元法求解特殊的四次方程：
设，那么，于是原方程可变为，解得，，
当，时，；
当，时，；
原方程有四个根：，，，．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）；
②（换元法）；
【拓展延伸】
（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值．
4．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
5．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根．
6．阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
7．阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
8．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则．
例：，
解：令，原方程化为，解得，，
当时，（无意义，舍去）
当时，，解得，
原方程的解为，．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
9．解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．
根据上述方法，完成下列问题：
(1)若，则的值为___________；
(2)解方程：．
10．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
11．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
12．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：．
解：设，则原方程可化为：．
解得：．
当时，，∴；
当时，，∴．
∴原方程的解是：．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：；
(2)解方程：．
(3)解方程：．
13．阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为，
解得，，
∴或，
∴，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
14．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：
(1)；
(2)
15．阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体，
设，则，原方程化为，解此方程，得，．
当时，，，；
当时，，，．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想．
类比应用：运用上述方法解方程：．
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