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专题七：根与系数的关系解答题
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，主要考查根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理是解题的关键。
1．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）由关于的一元二次方程有两个实数根，可得，继而求得实数的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为、，且，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：；
（2）由根与系数的关系可知：，，
，
，
解得：，，
∵，
的值为．
2．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若方程有两个实数根，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．
（1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可．
【详解】（1）证明：
，
∵
∴
无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得，
∵，
，
解得，
即的值为．
3．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个根为，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及其判别式的相关知识，将待求式根据完全平方公式适当的变形是解答本题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，有，，再将转化为，再代入计算即可．
【详解】（1）解：原方程可化为：，
一元二次方程有两个实数根，
且，
即且，
解得：；
（2）根据根与系数的关系得：，，
，
，
解得，（舍去），
经检验是方程的解，
的值为．
4．已知：，是关于的一元二次方程的两个根．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
（1）由根据系数的关系得，，结合求出，进而可求出；
（2）根据求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，．
解，得，
∴
∴．
（2）由（1）得方程为
把代入方程得
．
5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两根，且，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系（，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；），熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据根的判别式进行证明即可；
（2）由得到或，再根据以上两种情况结合一元二次方程根与系数的关系讨论，即可解题．
【详解】（1）证明：∵
，
，
∴无论m取任何实数，该方程总有实数根；
（2）解：，
或，
①当时，
，
解得，
①当时，，
解得，
综上可知或.
6．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若一元二次方程有两个根和，且，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)k的值为0或．
【分析】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
（1）利用根的判别式即可解决问题；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和，再结合，求出两根即可解决问题．
【详解】（1）证明：△，
无论为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：由根与系数的关系知，
，
又，
则联立方程组，
解得．
将代入原方程得，
，
解得或，
的值为0或．
7．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明；
（2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明：，，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：和是的两个根
，
是以为斜边的直角三角形
，即
解得：，（，不合题意，舍去）
的值为3
8．已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
【答案】(1)正确，理由见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键．
（1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程；
（2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可．
【详解】（1）解：正确，理由如下，
∵，
∴，
∴关于的方程一定为一元二次方程；
（2）解：当时，，
∴该方程为，
①∵该方程有实数解，
∴，
∴，
解得：；
②，整理得：，
∵和是该方程的两个实数解，
∴，，
∴代入中，得：，
整理得：，
∴，
∴或，
解得：，，
∵由①得：；
∴．
9．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，
(1)求的取值范围：
(2)若，试求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键．
（1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围；
（2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k．
【详解】（1）解：方程中，
，，，
由题意可知：，
解得：；
（2）∵是关于x的一元二次方程的根，
∴，即，
∵，
∴，即：①．
∵②，
联立①②解得：
∴，
解得：．
10．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
【答案】(1)见详解
(2)m的值为3
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，又由菱形的面积为，即可求出m的值．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系可得，
∵菱形面积为，
∴，
解得，
所以m的值为3．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围，
(2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值．
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
（1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：时，方程变为，
设方程的两个实数根分别为，，
，，
．
12．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为．
(1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；
(2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)或2
(2)或1或
【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是：
（1）利用根与系数的关系得出，，利用勾股定理列出关于k的方程，即可求解；
（2）利用平方差公式得出，然后分两种情况讨论，由根与系数关系求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
∴无论k取何值，方程总有实数根，
∴，，
∵是斜边长为的直角三角形的两直角边，
∴，
∴，
∴，
解得，
（2）解：假设存在，
当时，则，解得，
当时，，
∴，
∴，
∴
解得，，
综上，当k的值为或1或时，．
13．已知关于的一元二次方程有两个实根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．
（1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和，
，
解得：；
（2）和一元二次方程的两根，
，，
和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，
，
，
，
解得：，
，，
不符合题意，
不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为．
14．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)11或13
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
（3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
（3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
15．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此一元二次方程总有实数根；
(2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得：，则的周长为，设，可求，由此时的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设，则：，由三角形三边关系得，，，即，，可得，根据的周长为是偶数，求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴此一元二次方程总有实数根；
（2）解：由题意得：，
∴的周长为，
设，则，
解得，，
此时的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去；
设，则：，
由三角形三边关系得，，，即，，
解得：，
∵周长m为偶数，
∴．
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专题七：根与系数的关系解答题
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，主要考查根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理是解题的关键。
1．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
2．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若方程有两个实数根，且，求m的值．
3．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个根为，且，求的值．
4．已知：，是关于的一元二次方程的两个根．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求的值．
5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两根，且，求m的值．
6．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若一元二次方程有两个根和，且，求k的值．
7．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形．
8．已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
9．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，
(1)求的取值范围：
(2)若，试求的值．
10．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围，
(2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值．
12．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为．
(1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；
(2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
13．已知关于的一元二次方程有两个实根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
14．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
15．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此一元二次方程总有实数根；
(2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值．
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