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专题八：构建一元二次方程求代数式的值
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，错误率比较高，加强对一元二次方程的构建能提高整个试卷的得分率。
1．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．14 B．7 C． D．1
2．已知实数满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知两个不等实数，满足，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
4．若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．23 B．15 C．10 D．5
7．如果实数满足，且，则的值为（ ）
A．1 B．5 C．8 D．11
8．已知，，且，则的值为（ ）．
A． B． C．5 D．
9．若实数a，b满足，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
10．若，且有，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值为（ ）
A．2021 B．2032 C．2022 D．2030
12．已知满足，，且，则的值为 ．
13．若实数 满足 ，且 ，则 的值为 ．
14．已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ．
15．已知a、b为实数，且满足，，则 ．
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专题八：构建一元二次方程求代数式的值
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，错误率比较高，加强对一元二次方程的构建能提高整个试卷的得分率。
1．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．14 B．7 C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，
是一元二次方程的两个根，
可得，
，
故选：B．
2．已知实数满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案．
【详解】解：实数满足，，
是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：B．
3．已知两个不等实数，满足，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
【详解】解：∵两个不等实数，满足，，
∴、为方程的两个根，
∴，，
∴，
∴的值为．
故选：A．
4．若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是．
【详解】解：根据，方程除以得，
故是方程的两个根，
根据根与系数关系定理，得，
故是．
故选：A．
5．已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将变形为据此可知，为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，整理得，，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键．
【详解】解：，易得，方程两侧同除得：
，
又∵，且，
∴，为方程 的两个实数根，
∴，，整理得，，
∴，
故选：．
6．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．23 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值．
【详解】解： ，是不为0的实数，
由 ，，得，，
又，
，为一元二次方程的两个不相等实根，
，，
，
故选：A．
7．如果实数满足，且，则的值为（ ）
A．1 B．5 C．8 D．11
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及多项式的乘方，根据题意知，x、y是方程的根，且，求出再由进一步得出答案．
【详解】解：∵实数满足，且，
∴实数是方程的两根，
∴
∴，
∴
，
又
∴
故选：D
8．已知，，且，则的值为（ ）．
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的性质、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据等式的性质可将化为，可发现m、n是一元二次方程的解；再根据根与系数的关系可得；然后再运算并整体代入即可解答；发现m、n是一元二次方程的解成为解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴m、n是一元二次方程的解，
∴，
∴．
故选D．
9．若实数a，b满足，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意可知，、是方程的两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”可解此题．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握“，”是解题的关键．
【详解】解：由可知，
、是方程的两个不相等的实数根，
，，
，
故选：C．
10．若，且有，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可变形为，然后可把看作是方程的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：由可两边同除以，则有，
根据可把看作是方程的两个根，则根据一元二次方程根与系数的关系有：，
∴，
∴；
故选A．
11．如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值为（ ）
A．2021 B．2032 C．2022 D．2030
【答案】B
【分析】由题意可知 是 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知： ， 又 ，利用它们可以化简 027 ，然后就可以求出所求的代数式的值；
【详解】由题意可知： 是两个不相等的实数， 且满足 ，所以 是 的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知： ，
又
则
故选B
12．已知满足，，且，则的值为 ．
【答案】65
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题中两个方程得到是方程的两个根，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】解：∵满足，，
∴是方程的两个根，
∴，
∴
故答案为：65．
13．若实数 满足 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系式．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，而，
∴是的两根，
∴，，
∴；
故答案为：
14．已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，观察题目中条件中的两个方程和目标式，通过对条件方程的灵活变形，创造条件使用根与系数的关系是解题的关键． 把方程变形为，可知x，是一元二次方程的两个不同的根，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
x，是一元二次方程的两个不同的根，
，
，
故答案为：24．
15．已知a、b为实数，且满足，，则 ．
【答案】13
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知、是方程，即的两个根，然后通过解方程求得①，；②，；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值．
【详解】解：、为实数，且满足，，
，，
、是方程，即的两个根，
或；
①当，时，，即；
②当，时，，即，不合题意；
综上所述，；
故答案为：13．
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