1.5 全称量词与存在量词 课件(共20张PPT)—高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共20张PPT)
第一章集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
能正确地对含有一个量词的命题进行否定
理解全称量词与存在量词的意义
1.全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词， 并用符号“V” 表示.
(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词 命题“对M 中任意一个x,p(x) 成立”可用符号简记为Vx∈M,p(x).
(3)全称量词命题的真假判断：全真为真，一假为假.
2.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“3”表示.
(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词 命题“存在M 中的元素x,p(x) 成立”可用符号简记为3x∈M,p(x).
(3)存在量词命题的真假判断： 一真为真，全假为假.
3.全称量词的否定
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”
“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.
也就是说，假定全称量词命题为“Vx∈M,p(x)”, 则它的否定为“并非
Vx∈M,p(x)”, 也就是“3x∈M,p(x) 不成立”.通常，用符号“一p(x)” 表示“p(x) 不成立”.
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题：Vx∈M,p(x), 它的否定：3x∈M, 一p(x).
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
4.存在量词的否定
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需把“存在一个” “至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.
也就是说，假定存在量词命题为“3x∈M,p(x)”, 则它的否定为“不存在
x∈M, 使 p(x) 成立”,也就是“Vx∈M,p(x) 不成立”.
对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论： 存在量词命题：Bx∈M,p(x), 它的否定：Vx∈M, 一p(x). 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
例题巩固
(1)所有的素数都是奇数；
(2)Vx∈ R, |x|+1..1;
(3)对任意一个无理数x,x 也是无理数.
分析：要判定全称量词命题“Vx∈M,p(x)” 是真命题，需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x) 成立；如果在集合M中找到一个元素x , 使p(x ) 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题
例1判断下列全称量词命题的真假：
解：(1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.
(2)Vx∈ R, 总有|x|...0, 因而 |x|+1....
所以全称量词命题“Vx∈R, |x|+1...1” 是真命题.
(3) √2是无理数，但( √2) =2是有理数.
所以全称量词命题“对每一个无理数x,x 也是无理数”是假命题
例2判断下列存在量词命题的真假：
(1)有一个实数x, 使x +2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3)有些平行四边形是菱形.
分析：要判定存在量词命题“3x∈M,p(x)” 是真命题，只需在集合M 中 找到一个元素x, 使 p(x) 成立即可；如果在集合M 中，使p(x) 成立的元素 x 不存在，那么这个存在量词命题是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能 存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以存在量词命题“平面内存在两条相交 直线垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形 是菱形”是真命题.
解：(1)由于△=2 -4×3=-8<0,因此一元二次方程x +2x+3=0 无实根，
所以存在量词命题“有一个实数x, 使 x +2x+3=0” 是假命题.
例3写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意x∈Z,x 的个位数字不等于3.
解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定：3 x∈Z, x 的个位数字等于3.
例4写出下列存在量词命题的否定：
(1)3x∈ R, x+2,0;
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
解：(1)该命题的否定：Vx∈ R, x+2>0.
(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.
(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
例5写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2)3x∈R,x -x+1=0
解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似. 因为任意两个等边三角形的三边成比例，
所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
(2)该命题的否定：Vx∈R,x -x+1≠0.
因为对任意x∈R,
所以这是一个真命题.
课堂小测
C.3x∈R,√x =x
D.菱形的两条对角线长度相等
解析：选项A,C 为存在量词命题，选项B,D 为全称量词命题.
菱形的对角线长度不一定相等，D 选项为假命题.
a -2a+b -2b+2=(a-1) +(b-1) ≥0,
所以a +b ≥2(a+b-1), 所以选项B 为真命题.故选B.
1.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(
A.至少有一个x∈Z, 使得x <3 成立
B.对任意a,b∈R, 都有a +b ≥2(a+b-1)
2.命题“对任意的x∈R ,2x+1>0” 的否定为()
A.对任意的x∈R, 2x+1≤0 B. 存在x∈R,2x+1>0
C. 对任意的x≠ R, 2x+1≤0 D. 存在x∈R,2x+1≤0
解析：本题考查命题的否定.根据命题否定的定义可知，
p 的否定为“存在x∈R ,2x+1≤0” .
3.设非空集合P,Q 满足PNQ=Q, 且 P≠Q, 则下列选项中错误
的是(
A.Vx∈Q, 有 x∈P B.3x∈P, 使 得x≠Q
C.Bx∈Q, 使 得x∈P D.Vx≠Q, 有x∈P
解析：由题意，P,Q 均为非空集合，且Q 是 P 的真子集， 所以集合Q 的元素都是集合P 的元素，故A 正确.
P 中有的元素是集合Q 中没有的，故B 和 C 正确.
4.下列语句是存在量词命题的是(
A.整数n 是2和5的倍数 B. 存在整数 n, 使 n 能被11整除
C.若 3x-7=0, 则 D.Vx∈M,p(x)
解析：A,C,D 选项不含有存在量词，B 选项含有存在量词“存在”, 故 B 是存在量词命题.
课堂小结
本节课学习了：
1.全称量词与存在量词。
2.对含有一个量词的命题进行否定。