2.2 基本不等式 课件(共19张PPT)——高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共19张PPT)
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式
能够使用基本不等式解决实际生活问题中的 最值问题
探索基本不等式的证明过程
会用基本不等式解决简单最大(小)值问题
1.基本不等式
如 果a>0,b>0, 我 们 可 得 ①
当且仅当a=b 时，等号成立.通常称不等式①为基本不等式.其中， 叫做正数a, b的算术平均数， √ab叫做正数a,b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算
术平均数不小于它们的几何平均数.
例题巩固
平均数与几何平均数的关系得到y =2.
解：因为x>0, 所 以
当且仅当 即 x =1,x=1 时，等号成立，
因此所求的最小值为2.
例1 已 知x>0, 求 的最小值.
分析：求 的最小值，就是要求一个y , 使 Vx>0, 都 有 观察 发现 .联系基本不等式，可以利用正数x 和
的算术
例2(1)用篱笆围一个面积为100m 的矩形菜园，当这个矩形
的边长为多少时，所用篱笆最短 最短篱笆的长度是多少
分析：矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为： 矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.
(1)解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym,
篱笆的长度为2(x+y)m. 由已知得xy=100
由 ,可得x+y≥2Jxy=20,
所以2(x+y)≥40,
当且仅当x=y=10 时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短， 最短篱笆的长度为40m.
例2 (2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的
边长为多少时，菜园的面积最大 最大面积是多少
分析：矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为： 矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
(2)解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym, 篱笆的长度为2(x+y)m.
由已知得2(x+y)=36, 矩形菜园的面积为xy m .
当且仅当x=y=9时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时， 菜园的面积最大，最大面积是81m .
,可得xy≤81,
由
(1)如果积Xy等于定值P, 那么当x=Y 时，和x+y 有最小值2√P;
(2)如果和x+y 等于定值S, 那 么 当x=y 时，积Xy有最大值
证明：因为x,y 都是正数，所以
(1)当积xy 等于定值P时，
所以x+y≥2 √P,
当且仅当x=Y 时，上式等号成立.
于是，当x=Y 时，和x+y 有最小值2 √P.
( 2 ) 当 和x+y 等于定值S时， , 所 以
当且仅当x=Y 时，上式等号成立.
于是，当x=y 时，积xy 有最大值
例 3 已 知x,y 都是正数，求证：
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m, 池底的边长没有确定.
如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.
因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m , 深为3m.
如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元， 那么怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm,ym, 水池的总造价为2元.
根据题意，有
=240000+720(x+y).
由容积为4800m , 可得3xy=4800,
因此xy=1600.
所以z≥240000+720×2 √xy,
当x=y=40 时，上式等号成立，此时z=297600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低， 最低总造价是297600元.
课堂小测
最小值为()B)
A.2 B.4 C.6 D.8
对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的
1.已知不等式
解析：只需
正确的是(A)
A.当且仅当 时，取得最小值25
B.当且仅当 9 时，取得最小值26
C.当且仅当 时，取得最小值20
2.若a,b 为正数，且满足2a+3b=1, 则关于 的最小值说法
D.当且仅当 9 时，取得最小值19
当且仅当 且 2a+3b=1,
即 时等号成立，取得最小值25.
解析：因为2a+3b=1, 所 以
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产
产品(
A.60 件 B.80 件 C.100件 D.120 件
3.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批
天，且每件产品每天的仓储费用为1元.
生产x 件，则平均仓储时间为
解析：设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是
仓储费用是 元，总费用
由基本不等式得
当且仅当 即x=80 时取等号.
元
4.下列命题中，正确的是()B)
A.函数 的最小值是2
的最小值是2
的最小值是2-4 √ 3
B.若a,b∈R, 且 ab>0, 则
解析：对于选项A, 当 x=-1 时 ，y=-2, 所 以 的最小值不是2,故错误；
对于选项B, 因 为a,b∈R,ab>0, 所 以
当且仅当 即 |a=b| 时取等号，故正确；
对于选项C, 根据基本不等式可知
当且仅当 时取等号，因为满足等式的实数x 不存在，故错误；
对于选项D, 当且仅当 即 时取等号，所以 的最大值是2-4 √ 3,故错误.
课堂小结
本节课学习了：
1.基本不等式的证明过程。
2.用基本不等式解决简单最大(小)值问题