数学-河北省唐山市2023-2024学年高一下学期期末考试（PDF版含答案）

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唐山市 2023－2024 学年度高一年级第二学期期末考试
数学参考答案及评分
一．选择题：1～4．ACCB 5～8．DBDC
二．选择题：9．BCD 10．AD 11．ACD
27
三．填空题：12． 7 13． 14．77
125
四．解答题：（若．有．其．他．解．法．，请．参．照．给．分．）
15．解：
（1）若 a∥b，则 3sinα－cosα＝0， …3 分
3
解得 tanα＝ ， …5 分
3
因为 α∈[0，π]，
π
所以 α＝ ． …7 分
6
（2）若 a⊥b，则 sinα＋ 3cosα＝0， …10 分
解得 tanα＝－ 3， …12 分
因为 α∈[0，π]，
2π
所以 α＝ ． …13 分
3
16．解：
（1）记“甲独立解答正确”为事件 A，“乙独立解答正确”为事件 B，且事件 A，B 相
互独立．
1 1
已知 P(A)＝ ，P(B)＝ ，
2 3
1 1 1
所以两人解答都正确的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝ × ＝ ． …5 分
2 3 6
（2）“至多一人解答正确”的对立事件为“两人都解答正确”，所以至多一人解答正确
1 5
的概率为 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－ ＝ ． …10 分
6 6
（3）“至少一人解答正确”的对立事件为“两人都未解答正确”，所以至少一人解答正
- - - - 1 2 2 确的概率为 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－ × ＝ ． …15 分
2 3 3
17．解：
AB BC
（1）在△ABC 中，由正弦定理得 ＝ ， …2 分
sin C sin∠BAC
3 3
所以 ＝ ． …3 分
2π sin∠BAC
sin
3
高一数学参考答案 第1页（共 4 页）
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1
解得 sin∠BAC＝ ． …5 分
2
2π π
因为 C＝ ，所以∠BAC∈(0， )，
3 3
π
所以∠BAC＝ ， …7 分
6
π
所以 B＝ ．
6
又 AB＝3，BC＝ 3，
1 3 3
所以△ABC 的面积 S＝ AB×BC×sinB＝ ． …8 分
2 4
（2）解法一：
2π
在△ADC 中，AC＝BC＝ 3，C＝ ，
3
1 3
因为 D 是 BC 中点，所以 CD＝ BC＝ ，
2 2
由余弦定理，得
AD 2 ＝AC 2 2 ＋CD －2AC·CD·cosC …11 分
3 3
＝3＋ －2× 3× ×( 1 ) 21－ ＝ ． …14 分
4 2 2 4
21
所以 AD＝ ． …15 分
2
1
解法二：由→ → →AD＝ ( AB ＋ AC )两边平方可得
2
|→
1
AD |2＝ (|→AB |2＋|→ → →AC |2＋2| AB || AC |cos∠BAC) …11 分
4
3
由（1）可知 AC＝BC＝ 3，AB＝3，cos∠BAC＝ ，
2
→ 1 ( 3 21所以| AD |2＝ 9＋3＋2×3× 3× )＝ ． …14 分
4 2 4
21
所以 AD＝ ． …15 分
2
18．解：
（1）这些人的平均年龄为
x- ＝15×0.05＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.1 …2 分
＝34.5(岁)． …3 分
由频率分布直方图可知，年龄在[10，40)的频率为 0.05＋0.35＋0.3＝0.7，
在[10，50)的频率为 0.05＋0.35＋0.3＋0.2＝0.9，
则第 80 百分位数为 x0∈[40，50)，
由 0.7＋(x0－40)×0.02＝0.8，解得 x0＝45． …5 分
所以估计这些人的平均年龄为 34.5 岁，第 80 百分位数为 45．
高一数学参考答案 第2页（共 4 页）
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（2）第三组，第四组，第五组的频率分别为 0.3，0.2，0.1． …6 分
若从这三组中分层抽取 6 人，则从第三组抽取 3 人，记为 a1，a2，a3；
第四组抽取 2 人，记为 b1，b2；第五组抽取 1 人，记为 c；
对应的样本空间 Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，
b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)}，
所以 n(Ω)＝15； …8 分
设事件 A 为“从 6 人中随机抽取两人，所抽取的 2 人年龄在不同组”，
则 A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，
(a3，c)，(b1，c)，(b2，c)}，所以 n(A)＝11. …10 分
n(A) 11
所以 P(A)＝ ＝ ． …12 分
n(Ω) 15
（3）设第三组、第四组的年龄的平均数分别为x-1，x
-
2，方差分别为 s 2 2 ，s 1 2．
则x-1＝36，x-2＝46，s
2 2
1＝2，s2＝4．
由第三组有 30 人，第四组有 20 人，
设第三组和第四组所有人的年龄平均数为-x，方差为 s2 ，
- -
则-
30x1＋20x2 30×36＋20×46
x＝ ＝ ＝40． …14 分
50 50
1
s2＝ {30×[s 21 ＋(x
-－-x )21 ]＋20×[s
2
2＋(x
-
2－-x )2]} 50
1
＝ {30×[2＋(36－40)2]＋20×[4＋(46－40)2]} …16 分
50
＝26.8．
所以这 100 人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为 26.8． …17 分
19．解：
（1）由已知 AC∥A1C1，AC 平面 A1BC1，A1C1 平面 A1BC1，
所以 AC∥平面 A1BC1． …2 分
又 AC 平面 ABC，平面 A1BC1∩平面 ABC＝l，
所以 AC∥l． …5 分
（2）取 BC 中点为 O，连接 AO，A1O．
因为侧面 BB1C1C 为矩形，所以 BB1⊥BC，
又 AA1//BB1，则 AA1⊥BC．
由 A1C＝A1B，所以 A1O⊥BC． …6 分
又 A1O∩AA1＝A1，A1O，AA1 平面 AA1O，
故 BC⊥平面 AA1O． …8 分
由于 AO 平面 AA1O，
高一数学参考答案 第3页（共 4 页）
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故 BC⊥AO． …10 分
又 BO＝CO，故 AB＝AC，
又 AC＝BC，
所以△ABC 为等边三角形． …12 分
C1
N
A1 B1
E
H
C
O
A B
（3）记 ON 与 BC1交于点 H，连接 A1H，过 O 作 OE⊥A1H 于点 E，连接 BE．
因为 O，N 分别为 BC，B1C1 中点，
所以 ON∥AA1，ON＝AA1，
所以四边形 A1AON 为平行四边形． …13 分
所以平面 A1AON∩平面 A1BC1＝A1H．
由（2）可知 BO⊥平面 A1AON，OE，A1H 平面 A1AON，
所以 BO⊥OE，BO⊥A1H，
又 OE⊥A1H，BO∩OE＝O，
所以 A1H⊥平面 BOE，又 BE 平面 BOE，
所以 A1H⊥BE，
即∠OEB 为平面 A1AN 与平面 A1BC1 所成的锐二面角． …14 分
在△A1BC 中，A1C＝A1B＝2 2，BC＝AB＝4，
所以△A1BC 为等腰直角三角形，
所以 A1O＝2．
因为 A1A＝AB＝4，△ABC 为等边三角形，
所以 AO＝2 3，
所以 A O21 ＋AO2＝AA
2
1，
则 A1O⊥OA． …15 分
同理可证 A1O⊥A1N，又知 H 为 ON 中点，
1
所以 A1H＝ ON＝2． 2
所以△A1OH 为边长为 2 的等边三角形，且 OE＝ 3， …16 分
在△OEB 中，BO⊥OE，
因为 BE＝ OB2＋OE2＝ 7，
OB 2 2 7
所以 sin∠OEB＝ ＝ ＝ ． …17 分
BE 7 7
2 7
故平面 A1AN 与平面 A1BC1所成二面角的正弦值是 ． …17 分（同上） 7
高一数学参考答案 第4页（共 4 页）
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