广东省茂名市电白区2023-2024学年高二下学期数学期中试卷
1．（2024高二下·电白期中）已知函数，则（ ）。
A．-9 B．3 C．-3 D．9
2．（2024高二下·电白期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）。
A．1 B．2 C． D．
3．（2024高二下·电白期中）的展开式的常数项为（ ）
A．210 B．252 C． D．
4．（2024高二下·电白期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·电白期中） 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·电白期中）已知，则（ ）。
A．5 B．2 C．5或2 D．2或6
7．（2024高二下·电白期中）的展开式中的系数是（ ）。
A．-5 B．-10 C．5 D．15
8．（2024高二下·电白期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（ ）
A．2010 B．2021 C．2019 D．1997
9．（2024高二下·电白期中）下列结论中不正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高二下·电白期中）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·电白期中）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值-1
B．对于恒成立
C．若，则
D．若对于，不等式恒成立，则的最大值为的最小值为1
12．（2024高二下·电白期中）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则 .
13．（2024高二下·电白期中）函数无极值，则实数的取值范围是 .
14．（2024高二下·电白期中）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间[a，b]上的中值点．若函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间[0，1]上的“中值点”的个数为，则 。（参考数据：）
15．（2024高二下·电白期中）（1）计算：；
（2）解方程：
16．（2024高二下·电白期中）某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
（1）三人共有多少种不同的课程选择种数
（2）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（3）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数
17．（2024高二下·电白期中）已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，．
18．（2024高二下·电白期中）已知函数在处取得极值-2．
（1）求a，b的值；
（2）求在上的最大值；
（3）若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围。
19．（2024高二下·电白期中）已知函数．
（1）求的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对函数求导，故-3.
故答案为：C.
【分析】对函数直接求导即可.
2．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：求导得y'=aeax，由切线方程知切线的斜率为2，即，故a=2.
故答案为：B.
【分析】对函数求导，由切线知函数在x=0时的导数为2，即可得a的值.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：的展开通式为Tr+1=，令10-2r=0，得r=5，故其常数项为.
故答案为：C.
【分析】先求出展开式的通式，令指数等于0，即可得常数项.
4．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由图像知函数f(x)上的点的切线斜率为负，且从左往右的过程中，切线越来越陡，即切线的斜率越来越小，即有.
故答案为：D.
【分析】观察图像，结合切线斜率与导数的关系可判断大小关系.
5．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：由函数的图象可知，当时，函数单调递减，则，排除BD；
当时，从左向右，函数是增、减、增，对应导数的符号为，排除C选项.
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象、结合函数的单调性以及导数等知识分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由知2n=n+2或2n+n+2=17，得n=2或n=5.
故答案为：C .
【分析】根据组合的对称性可知有两种情况2n=n+2或2n+n+2=17，分别求出n的值即可.
7．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：=x(x-y)5+y(x-y)5，含x2y4的项分别为和，于是，其系数为-5.
故答案为：A.
【分析】先化为x(x-y)5+y(x-y)5，再分别算出两项中的含的项，即可得到结果.
8．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知a为(x+2)20展开式的系数之和，令x=1即有=320，而320=(32)10
=(10-1)10=
其中的余数为1，
而各选项中2021除以10的余数为1.
故答案为：B.
【分析】先算出的结果，再利用二项式展开得到余数，即可找到符合条件的选项.
9．【答案】A,C,D
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A选项，y'=1，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，y=sin为常数，故y'=0，故C错误；
D选项，，则y'=-，故D错误；
故答案为：ACD.
【分析】根据求导规则依次进行验证即可.
10．【答案】B,D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令x=0得a0=-1，故A错误；a3x3=，故，故B正确；
令x=1得①，得，故C错误；
令x=-1得②，由①+②得，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】直接赋值法可验证A错误，由二项式定理，直接求出a3的值；赋值法令x=1和x=-1可验证C、D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，当sinx>0，故-xsinx<0，故f'(x)<0，即f(x)在[0，π]上单调递减，故A错误；而在[0，π]上，fmax=f(0)=0，故f(x)≤0，故B正确；
令，，由上述可知成立，故g(x)在[0，π]单调递减，0g(x2)即有，得，故C正确；
由上述过过知g(x)在(0，)单调递减，g(x)，故a的最大值为的最小值为1，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】利用导数知f(x)在[0，π]单调递减，即可判断AB选项，构造函数，利用导数并结合f(x)的特点可知其单调性，可判断CD选项.
12．【答案】11
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：第5项和第8项的二项式系数得，故n=4+7=11；
故答案为：11.
【分析】由二项式定理直接算出相应的二项式系数即可得n的值.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对函数求导得f'(x)=x2+2ax+2，函数无极值，即f'(x)≥0恒成立，即△≤0，即4a2-4×2≤0，解得.
故答案为：.
【分析】由函数无极值得函数单调，即导函数恒大于0，△≤0即可得结果.
14．【答案】2
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意知f(π)=sinπ=0，f(0)=sin0=0，求导得f'(x)=cosx，f(π)-f(0)=cosx0(π-0)，得cosx0=0，x0=故m=1；
g(1)=e，g(0)=1，g'(x)=ex，g(1)-g(0)=ex0(1-0)得x0=ln(e-1)，故n=1；
m+n=2
故答案为：2.
【分析】根据题意可得f(x)和g(x)的中值点分别有1个，故m+n=2.
15．【答案】（1）解：．
（2）解：，，得
所以方程的解为.
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】(1)直接根据排列与组合的计算公式进行求解即可；
(2)由组合的计算公式求出方程的解即可.
16．【答案】（1）解：因为每位同学都有四种不同的选择，所以选课种数为；
（2）解：三位同学选择的课程互不相同的选课种数为，所以三位同学选择的课程互不相同的概率为；
（3）解：恰有两位同学选择《数学建模》的选课种数为，
有三位同学选择《数学建模》的选课种数为1，
所以若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有10种不同的选课种数．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1)分步分别安排甲、乙、丙的选课，分别都有4种选法，即可得结果；
(2)第一位同这有4种选法，第二位有3种选法，第三位同学有2种选法，即种，即可得相应的概率；
(3)恰有2位同学选《数学建模》的种类9种，有三位同学选《数学建模》有1种，共有10种.
17．【答案】（1）解：因为，所以(x)=，所以(1)=1，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）解：令
那么(x)=
当(x)<0时，h'(x)<0所以，
所以，当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求导并求出x=1时的斜率，即可求出切线方程；
(2)由题意直接构造函数利用导数确定函数的单调区间并求出最小值，即可得证.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
因为在处取得极值，所以(1)=0，f(1)=-2，
故，解得；
（2）解：由（1）知，所以(x)=2x-3+
令(x)=0，得x1=1，x2=，当时，(x)<0，当时，(x)>0，所以在区间是增函数．
所以，在区间（0，1］上，当；
（3）解：由（2）知在，在时取极小值-2，
若关于的方程有三个不同的根，则，
得，所以的取值范围是。
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)由题意知f'(1)=0，f(1)=-2，，即可得结果；
（2）确定f(x)的单调区间，即可求出f(x)在区间上的最大值；
(3)由(2)中的单调性求出函数的极值，即可求出m的取值范围.
19．【答案】（1）解：由
得(x)=
当时，，，(x)<0
在R单调递减；
当时，由得(x)<0，由得(x)>0
所以，当时，在区间单调递减，在区间单调递增。
（2）解：由（1）知，当时，最多有一个零点；
当时，在时取得最小值
即
所以，当时，，故最多只有一个零点；
当时，，
因为
所以在有一个零点．
令，则，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增．又
所以，．故当时，有．
因为时，所以，故
可知在有一个零点．
综上可知，若有两个零点，的取值范围是。
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求导后直接讨论参数a的范围并确定函数的单调性；
（2）接着(1)中可知当时，，故最多只有一个零点；在有一个零点．可知在有一个零点．最终可得a的取值范围，使得 若有两个零点 .
1 / 1广东省茂名市电白区2023-2024学年高二下学期数学期中试卷
1．（2024高二下·电白期中）已知函数，则（ ）。
A．-9 B．3 C．-3 D．9
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对函数求导，故-3.
故答案为：C.
【分析】对函数直接求导即可.
2．（2024高二下·电白期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）。
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：求导得y'=aeax，由切线方程知切线的斜率为2，即，故a=2.
故答案为：B.
【分析】对函数求导，由切线知函数在x=0时的导数为2，即可得a的值.
3．（2024高二下·电白期中）的展开式的常数项为（ ）
A．210 B．252 C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：的展开通式为Tr+1=，令10-2r=0，得r=5，故其常数项为.
故答案为：C.
【分析】先求出展开式的通式，令指数等于0，即可得常数项.
4．（2024高二下·电白期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由图像知函数f(x)上的点的切线斜率为负，且从左往右的过程中，切线越来越陡，即切线的斜率越来越小，即有.
故答案为：D.
【分析】观察图像，结合切线斜率与导数的关系可判断大小关系.
5．（2024高二下·电白期中） 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：由函数的图象可知，当时，函数单调递减，则，排除BD；
当时，从左向右，函数是增、减、增，对应导数的符号为，排除C选项.
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象、结合函数的单调性以及导数等知识分析判断即可.
6．（2024高二下·电白期中）已知，则（ ）。
A．5 B．2 C．5或2 D．2或6
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由知2n=n+2或2n+n+2=17，得n=2或n=5.
故答案为：C .
【分析】根据组合的对称性可知有两种情况2n=n+2或2n+n+2=17，分别求出n的值即可.
7．（2024高二下·电白期中）的展开式中的系数是（ ）。
A．-5 B．-10 C．5 D．15
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：=x(x-y)5+y(x-y)5，含x2y4的项分别为和，于是，其系数为-5.
故答案为：A.
【分析】先化为x(x-y)5+y(x-y)5，再分别算出两项中的含的项，即可得到结果.
8．（2024高二下·电白期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（ ）
A．2010 B．2021 C．2019 D．1997
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知a为(x+2)20展开式的系数之和，令x=1即有=320，而320=(32)10
=(10-1)10=
其中的余数为1，
而各选项中2021除以10的余数为1.
故答案为：B.
【分析】先算出的结果，再利用二项式展开得到余数，即可找到符合条件的选项.
9．（2024高二下·电白期中）下列结论中不正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A选项，y'=1，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，y=sin为常数，故y'=0，故C错误；
D选项，，则y'=-，故D错误；
故答案为：ACD.
【分析】根据求导规则依次进行验证即可.
10．（2024高二下·电白期中）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令x=0得a0=-1，故A错误；a3x3=，故，故B正确；
令x=1得①，得，故C错误；
令x=-1得②，由①+②得，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】直接赋值法可验证A错误，由二项式定理，直接求出a3的值；赋值法令x=1和x=-1可验证C、D.
11．（2024高二下·电白期中）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值-1
B．对于恒成立
C．若，则
D．若对于，不等式恒成立，则的最大值为的最小值为1
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，当sinx>0，故-xsinx<0，故f'(x)<0，即f(x)在[0，π]上单调递减，故A错误；而在[0，π]上，fmax=f(0)=0，故f(x)≤0，故B正确；
令，，由上述可知成立，故g(x)在[0，π]单调递减，0g(x2)即有，得，故C正确；
由上述过过知g(x)在(0，)单调递减，g(x)，故a的最大值为的最小值为1，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】利用导数知f(x)在[0，π]单调递减，即可判断AB选项，构造函数，利用导数并结合f(x)的特点可知其单调性，可判断CD选项.
12．（2024高二下·电白期中）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则 .
【答案】11
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：第5项和第8项的二项式系数得，故n=4+7=11；
故答案为：11.
【分析】由二项式定理直接算出相应的二项式系数即可得n的值.
13．（2024高二下·电白期中）函数无极值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对函数求导得f'(x)=x2+2ax+2，函数无极值，即f'(x)≥0恒成立，即△≤0，即4a2-4×2≤0，解得.
故答案为：.
【分析】由函数无极值得函数单调，即导函数恒大于0，△≤0即可得结果.
14．（2024高二下·电白期中）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间[a，b]上的中值点．若函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间[0，1]上的“中值点”的个数为，则 。（参考数据：）
【答案】2
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意知f(π)=sinπ=0，f(0)=sin0=0，求导得f'(x)=cosx，f(π)-f(0)=cosx0(π-0)，得cosx0=0，x0=故m=1；
g(1)=e，g(0)=1，g'(x)=ex，g(1)-g(0)=ex0(1-0)得x0=ln(e-1)，故n=1；
m+n=2
故答案为：2.
【分析】根据题意可得f(x)和g(x)的中值点分别有1个，故m+n=2.
15．（2024高二下·电白期中）（1）计算：；
（2）解方程：
【答案】（1）解：．
（2）解：，，得
所以方程的解为.
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】(1)直接根据排列与组合的计算公式进行求解即可；
(2)由组合的计算公式求出方程的解即可.
16．（2024高二下·电白期中）某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
（1）三人共有多少种不同的课程选择种数
（2）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（3）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数
【答案】（1）解：因为每位同学都有四种不同的选择，所以选课种数为；
（2）解：三位同学选择的课程互不相同的选课种数为，所以三位同学选择的课程互不相同的概率为；
（3）解：恰有两位同学选择《数学建模》的选课种数为，
有三位同学选择《数学建模》的选课种数为1，
所以若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有10种不同的选课种数．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1)分步分别安排甲、乙、丙的选课，分别都有4种选法，即可得结果；
(2)第一位同这有4种选法，第二位有3种选法，第三位同学有2种选法，即种，即可得相应的概率；
(3)恰有2位同学选《数学建模》的种类9种，有三位同学选《数学建模》有1种，共有10种.
17．（2024高二下·电白期中）已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）解：因为，所以(x)=，所以(1)=1，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）解：令
那么(x)=
当(x)<0时，h'(x)<0所以，
所以，当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求导并求出x=1时的斜率，即可求出切线方程；
(2)由题意直接构造函数利用导数确定函数的单调区间并求出最小值，即可得证.
18．（2024高二下·电白期中）已知函数在处取得极值-2．
（1）求a，b的值；
（2）求在上的最大值；
（3）若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围。
【答案】（1）解：因为，所以，
因为在处取得极值，所以(1)=0，f(1)=-2，
故，解得；
（2）解：由（1）知，所以(x)=2x-3+
令(x)=0，得x1=1，x2=，当时，(x)<0，当时，(x)>0，所以在区间是增函数．
所以，在区间（0，1］上，当；
（3）解：由（2）知在，在时取极小值-2，
若关于的方程有三个不同的根，则，
得，所以的取值范围是。
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)由题意知f'(1)=0，f(1)=-2，，即可得结果；
（2）确定f(x)的单调区间，即可求出f(x)在区间上的最大值；
(3)由(2)中的单调性求出函数的极值，即可求出m的取值范围.
19．（2024高二下·电白期中）已知函数．
（1）求的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围。
【答案】（1）解：由
得(x)=
当时，，，(x)<0
在R单调递减；
当时，由得(x)<0，由得(x)>0
所以，当时，在区间单调递减，在区间单调递增。
（2）解：由（1）知，当时，最多有一个零点；
当时，在时取得最小值
即
所以，当时，，故最多只有一个零点；
当时，，
因为
所以在有一个零点．
令，则，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增．又
所以，．故当时，有．
因为时，所以，故
可知在有一个零点．
综上可知，若有两个零点，的取值范围是。
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求导后直接讨论参数a的范围并确定函数的单调性；
（2）接着(1)中可知当时，，故最多只有一个零点；在有一个零点．可知在有一个零点．最终可得a的取值范围，使得 若有两个零点 .
1 / 1
