22.2 二次函数与一元二次方程习题课件 （41张PPT） 2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共41张PPT)
22.2　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程
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1. 二次函数与一元二次方程的关系
关　　系：
说　　明：（1）当 y 为某一确定值时，可通过解相应方程，求出自变量 x 的值；
（2）也可以利用函数图象来找出相应方程的解.
2. 二次函数的图象与 x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系
二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的
图象与 x 轴的交点情况 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0 （ a ≠0）根的情况 Δ的值
有两个公共点 有两个不等的实数根 Δ＞0
只有一个公共点 有两个相等的实数根 Δ＝0
无公共点 无实数根 Δ＜0
注　　意：抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 与 x 轴交点的横坐标即为方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根.
3. 利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值
步　　骤：（1）画出二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象，指出函数图象与 x 轴的交点或
交点两侧相邻的两个整数；
（2）若交点的横坐标不是整数，可在函数图象与 x 轴的每个交点两侧相邻的两个整数
间取值，并列表比较其函数值；
（3）根据精确度的要求写出方程的根的近似值.
归类探究
类型之一　二次函数与一元二次方程
　（1）若抛物线 y ＝ x2－6 x ＋ m 与 x 轴有两个不同交点，则 m 的取值范围
是 ；
（2）若抛物线 y ＝（ k －1） x2－2 x ＋1与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是
；
（3）若函数 y ＝（ k －1） x2－2 x ＋1的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是
.
m ＜9　
k ≤2
且 k ≠1　
k
≤2　
　判断下列各抛物线是否与 x 轴相交，如果相交，求出交点的坐标.
（1） y ＝6 x2－2 x ＋1；
解：（1）Δ＝（－2）2－4×6×1＝4－24＝－20＜0，
则抛物线与 x 轴没有交点.
（2） y ＝－15 x2＋14 x ＋8；
解：（2）Δ＝142＋4×15×8＝196＋480＝676＞0，
则令 y ＝0，则－15 x2＋14 x ＋8＝0，
解得 x1＝ ， x2＝－ ，
则与 x 轴的交点坐标是 和 .
（3） y ＝ x2－4 x ＋4.
解：（3）Δ＝（－4）2－4×4×1＝0，
则与 x 轴只有一个交点.
令 y ＝0，则 x2－4 x ＋4＝0，
解得 x1＝ x2＝2，
则与 x 轴的交点是（2，0）.
类型之二　利用二次函数的图象求方程的解
　（1）已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的部分图象如图所示，则方程 ax2＋ bx ＋
c ＝0的根是 ；
（2）若对称轴为直线 x ＝－2的抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）经过点（1，
0），则一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根是 ；
（3）已知抛物线 y ＝2 mx2－4 mx ＋ c 与 x 轴交于点 A （5，0），则关于 x 的一元二
次方程2 mx2－4 mx ＋ c ＝0的根是 .
x1＝－1或 x2＝3　
x1＝－5， x2＝1　
x1＝5， x2＝－3　
当堂测评
1. 二次函数 y ＝ x2－2 x ＋1的图象与 x 轴的交点个数是（　B　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 不能确定
2. [2023·南充模拟]针对抛物线 y ＝ x2－（ a ＋1） x ＋ a 与 x 轴公共点的情况，下列说法
正确的是（　C　）
A. 有两个公共点 B. 有一个公共点
C. 一定有公共点 D. 可能无公共点
B
C
3. [2023·大连二模]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，下列结论错误的是
（　D　）
A. 抛物线开口向上
B. 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解为 x1＝1， x2＝3
C. 抛物线的对称轴为直线 x ＝2
D. 抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，2）
D
4. [2023·锦江区二模]二次函数 y ＝ ax2－2 ax － m 的部分图象如图所示，则方程 ax2－2
ax － m ＝0的根是 .
x ＝－1或 x ＝3　
5. 如图，以60米/秒的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是
一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：米）与飞行时间 t （单
位：秒）之间有下列函数关系： h ＝30 t －5 t2.依据所给信息，解决下列问题：
（1）小球的飞行高度是否能达到25米？如果能，需要飞行的时间是多少？
解：（1）小球的飞行高度能达到25米，
当 h ＝25米时，得25＝30 t －5 t2，
解得 t1＝1， t2＝5，
∴当飞行1秒或5秒时，它的飞行高度能达到25米.
（2）小球的飞行高度是否能达到45米？如果能，需要飞行的时间是多少？
解：（2）小球的飞行高度能达到45米，
当 h ＝45米时，得45＝30 t －5 t2，
解得 t1＝ t2＝3，
∴当飞行3秒时，它的飞行高度能达到45米.
（3）小球从飞出到落地要用多少时间（设地面是水平的）？
解：（3）当 h ＝0时，0＝30 t －5 t2，
解得 t1＝0， t2＝6，
∴小球从飞出到落地需要6秒.
分层训练
1. 抛物线 y ＝2 x2－2 x ＋1与 x 轴的交点有（　B　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 抛物线 y ＝2（ x ＋3）（ x －2）与 x 轴的交点坐标分别为
.
3. 抛物线 y ＝ x2－3 x －4与 x 轴的交点坐标分别为 .
B
（－3，0），（2，
0）　
（－1，0），（4，0）　
（1）若抛物线与 x 轴有2个交点，求 c 的取值范围；
（1）当Δ＞0时，抛物线与 x 轴有2个交点，得36－4 c ＞0，解得 c ＜9.
（2）若抛物线与 x 轴只有1个交点，求 c 的值；
（2）当Δ＝0时，抛物线与 x 轴只有1个交点，得36－4 c ＝0，解得 c ＝9.
（3）若抛物线与 x 轴没有交点，求 c 的取值范围；
（3）当Δ＜0时，抛物线与 x 轴没有交点，得36－4 c ＜0，解得 c ＞9.
（4）若抛物线与 x 轴有交点，求 c 的取值范围.
（4）当Δ≥0时，抛物线与 x 轴有交点，得36－4 c ≥0，解得 c ≤9.
4. [2024·原创]已知：抛物线 y ＝ x2－6 x ＋ c .
解：Δ＝ b2－4 ac ＝（－6）2－4 c ＝36－4 c .
5. 已知抛物线 y ＝5 x2＋（ m －1） x ＋ m 与 x 轴的两交点在 y 轴同侧，它们的距离的平
方等于 ，则 m 的值为（　C　）
A. －2 B. 12
C. 24 D. －2或24
C
6. [2021·乐山]已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x － m ＝0.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；
解：（1）∵一元二次方程 x2＋ x － m ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ
＞0，即1＋4 m ＞0，∴ m ＞－ ，∴ m 的取值范围为 m ＞－ .
（2）二次函数 y ＝ x2＋ x － m 的部分图象如图所示，求一元二次方程 x2＋ x － m
＝0的解.
解：（2）二次函数 y ＝ x2＋ x － m 图象的对称轴为直线 x ＝－ ，∴抛
物线与 x 轴两个交点关于直线 x ＝－ 对称.
由图可知抛物线与 x 轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（－2，0），
∴一元二次方程 x2＋ x － m ＝0的解为 x1＝1， x2＝－2.
7. （运算能力）关于 x 的函数 y ＝ ax2＋（2 a ＋1） x ＋ a －1与坐标轴有两个交点，则
a ＝ .
【解析】 ∵关于 x 的函数 y ＝ ax2＋（2 a ＋1） x ＋ a －1的图象与坐标轴有两个交点，
∴可分如下三种情况：
①当函数为一次函数时，有 a ＝0，2 a ＋1≠0，
∴ a ＝0，此时 y ＝ x －1，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数（ a ≠0），与 x 轴有一个交点，与 y 轴有一个交点时，∴Δ＝0，
∴（2 a ＋1）2－4 a （ a －1）＝0，解得 a ＝－ ；
0或1或－ 　
③当函数为二次函数（ a ≠0），与 x 轴有两个交点，与 y 轴的交点和 x 轴上的一个交
点重合时，即图象经过原点，∴ a －1＝0， a ＝1.当 a ＝1时， y ＝ x2＋3 x ，与坐标轴
有两个交点.故答案为0或1或－ .
22.2　二次函数与一元二次方程
第2课时　二次函数与方程（组）、不等式（组）
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二次函数与不等式（组）
1. 涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图象求解.
2. 两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
归类探究
类型之一　二次函数与方程（组）、不等式（组）
　[2024·原创]如图，抛物线 y2＝ ax2＋ bx （ a ＞0）与 x 轴交于原点 O 和点 B
（2，0），直线 y1＝ kx （ k ＞0）与抛物线 y2＝ ax2＋ bx （ a ＞0）交 O ， A （3，3）两
点.
结合图象填空：
（1）关于 x 的方程 ax2＋ bx ＝0的解为 ；
（2）关于 x 的方程 ax2＋ bx ＝ kx 的解为 ；
（3）关于 x ， y 的方程组的解为 　或　；
（4）关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＞0的解为 ；
（5）关于 x 的不等式 ax2＋ bx － kx ＜0的解为 ；
（6）关于 x ， y 的不等式组的解为 .
x1＝0， x2＝2　
x1＝0， x2＝3　
或　
x ＜0或 x ＞2　
0＜ x ＜3　
2＜ x ＜3　
类型之二　二次函数的图象与其系数的关系
　已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的部分图象如图所示，该函数图象
经过点（－2，0），对称轴为直线 x ＝－ .对于下列结论：① abc ＜0；② b2－4 ac ＞
0；③ a ＋ b ＋ c ＝0；④ am2＋ bm ＜ （ a －2 b ）（其中 m ≠－ ）；⑤若点 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2）均在该函数图象上，且 x1＞ x2＞1，则 y1＞ y2.其中正确的结论共
有 个.
3　
当堂测评
1. [2023·海淀区期末]已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，当 y ＜0时， x 的
取值范围是（　A　）
A. －1＜ x ＜2 B. x ＞2
C. x ＜－1 D. x ＜－1或 x ＞2
第1题图
A
2. 如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 与直线 y ＝ kx ＋ h 交于 A ， B 两点，下列是关于 x 的
不等式或方程，结论正确的是（　D　）
A. ax2＋（ b － k ） x ＋ c ＞ h 的解集是2＜ x ＜4
B. ax2＋（ b － k ） x ＋ c ＞ h 的解集是 x ＞4
C. ax2＋（ b － k ） x ＋ c ＞ h 的解集是 x ＜2
D. ax2＋（ b － k ） x ＋ c ＝ h 的解是 x1＝2， x2＝4
第2题图
D
3. 如图，已知抛物线 y ＝ x2＋2 x ＋ c 与 x 轴正半轴交于点 B （另一个交点 A 在 x 轴负半
轴），与 y 轴负半轴交于点 C ，且 OC ＝3 OB .
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）设 B （ m ，0），则 OB ＝ m .
∵ OC ＝3 OB ，∴ OC ＝3 m ，∴ C （0，－3 m ）.
将 B （ m ，0）， C （0，－3 m ）代入 y ＝ x2＋2 x ＋ c ，得
解得或（舍去），
∴抛物线的解析式为 y ＝ x2＋2 x －3.
（2）设直线 AC 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ，求点 A 的坐标，并结合图象写出不等式 x2＋2
x ＋ c ≥ kx ＋ b 的解集；
解：（2）在 y ＝ x2＋2 x －3中，令 y ＝0，得 x2＋2 x －3＝0，解得 x1＝
－3或 x2＝1.
又∵ m ＝1，∴ B （1，0），∴ A （－3，0）.
由图象可知，当 x ≤－3或 x ≥0时，抛物线在直线 AC 上方，即 x2＋2 x
＋ c ≥ kx ＋ b .
故不等式 x2＋2 x ＋ c ≥ kx ＋ b 的解集为 x ≤－3或 x ≥0.
（3）已知点 P （－3，1）， Q （2，2 t ＋1），且线段 PQ 与抛物线 y ＝ x2＋2 x ＋ c 有
且只有一个公共点，直接写出 t 的取值范围.
解：（3）设直线 x ＝2与抛物线 y ＝ x2＋2 x －3交于点 K ，
如答图所示.当点 Q 在点 K 及点 K 下方时，
线段 PQ 与抛物线 y ＝ x2＋2 x －3有且只有一个公共点，
在 y ＝ x2＋2 x －3中，令 x ＝2得 y ＝22＋2×2－3＝5，
∴2 t ＋1≤5，解得 t ≤2.
答图
分层训练
1. 如图，已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 开口向上，与 x 轴的一个交点为（－1，0），对
称轴为直线 x ＝1.下列结论错误的是（　C　）
A. abc ＞0 B. b2＞4 ac
C. 4 a ＋2 b ＋ c ＞0 D. 2 a ＋ b ＝0
C
2. 如图，一次函数 y1＝ kx ＋ n （ k ≠0）与二次函数 y2＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象
相交于 A （－1，5）， B （9，2）两点，则关于 x 的不等式 kx ＋ n ≥ ax2＋ bx ＋ c 的解
集为 .
第2题图
－1≤ x ≤9　
3. 如图，二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的函数图象经过点（1，2），且与 x 轴的
交点的横坐标分别为 x1， x2，其中－1＜ x1＜0，1＜ x2＜2，下列结论：① abc ＞0；②2
a ＋ b ＜0；③4 a －2 b ＋ c ＞0；④当 x ＝ m （1＜ m ＜2）时， am2＋ bm ＜2－ c ；⑤ b
＞1.其中正确的有 （填写正确的序号）.
第3题图
②④⑤　
4. [2023·宁波]如图，已知二次函数 y ＝ x2＋ bx ＋ c 的图象经过点 A （1，－2）， B
（0，－5）.
（1）求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标；
解：（1）∵二次函数 y ＝ x2＋ bx ＋ c 的图象经过点 A （1，－2）和 B
（0，－5），
∴解得
∴二次函数的解析式为 y ＝ x2＋2 x －5＝（ x ＋1）2－6，
∴顶点坐标为（－1，－6）.
（2）当 y ≤－2时，请根据图象直接写出 x 的取值范围.
解：（2）当 y ＝－2时，（ x ＋1）2－6＝－2，
∴（ x ＋1）2＝4，解得 x1＝1， x2＝－3.
如答图，当 y ≤－2时，则－3≤ x ≤1.
答图
答图
5. 已知二次函数 y ＝ x2－2 x －3，将该二次函数在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上
方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线 y ＝－ x ＋ m
与新图象有3个交点时， m 的值为（　D　）
A. －1 B. 5
C. 3或 D. 3或
D
6. 已知抛物线 y ＝（ x － x1）（ x － x2）＋1（ x1＜ x2），抛物线与 x 轴交于（ m ，
0），（ n ，0）两点（ m ＜ n ），则 m ， n ， x1， x2的大小关系是（　A　）
A. x1＜ m ＜ n ＜ x2 B. m ＜ x1＜ x2＜ n
C. m ＜ x1＜ n ＜ x2 D. x1＜ m ＜ x2＜ n
A
7. （运算能力）如图，抛物线 y ＝ a （ x －2）2＋3（ a 为常数且 a ≠0）与 y 轴交于点 A
.
（1）求该抛物线的解析式；
解：（1）把 A 代入 y ＝ a （ x －2）2＋3中，
得4 a ＋3＝ ，∴ a ＝－ ，
∴抛物线的解析式为 y ＝－ （ x －2）2＋3.
（2）若直线 y ＝ kx ＋ （ k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为 x1， x2，
当 ＋ ＝10时，求 k 的值；
解：（2）联立一次函数与抛物线的解析式，得
∴－ （ x －2）2＋3＝ kx ＋ ，整理，得 x2－（4－3 k ） x －3＝0.
∵Δ＝（4－3 k ）2－4×（－3）＝（4－3 k ）2＋12＞0，
∴ x1＋ x2＝4－3 k ， x1 x2＝－3.∵ ＋ ＝ －2 x1 x2＝10，
∴ ＋ ＝（4－3 k ）2＋6＝10，解得 k1＝2， k2＝ ，∴ k 的值为2或 .
（3）当－4＜ x ≤ m 时， y 有最大值 ，求 m 的值.
解：（3）∵函数的对称轴为直线 x ＝2，
当 m ＜2时，当 x ＝ m 时， y 有最大值，
＝－ （ m －2）2＋3，
解得 m ＝± ，∴ m ＝－ （正值已舍去）；
当 m ≥2时，当 x ＝2时， y 有最大值，
∴ ＝3，∴ m ＝ .
综上所述， m 的值为－ 或 .