第一章 三角形 专项训练 全等三角形的常见模型（含答案）

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第一章 三角形
专项训练 全等三角形的常见模型
把两个全等三角形其中一个进行“平移、旋转、对称”的单一变换或组合变换，就会变成题目中的复合图形.如果练就“火眼金睛”，熟悉全等三角形的常见模型，就能够快速识别是否全等.全等三角形常见模型如下：
1.平移型
图示
模型总结 有一组边共线或部分重合,另两组边分别平行;常要在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,并利用平行线性质找到对应角相等
2.旋转型
图示
模型总结 此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的,在旋转过程中,两个三角形无重叠或有重叠,找等角或运用角的和差得到等角
3.轴对称型
图示
模型总结 所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点,解题时要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等
4.一线三等角型(K 型图)
图示
模型总结 三个等角(∠A=∠CPD=∠B)在同一直线上,称为一线三等角模型(角度有锐角、钝角,若等角为直角称为一线三垂直)
类型一 平移型
1.如图,在△ABC和 中，已知 BE=CF,要使 ，还需要的条件可以是____________.(只填写一个条件)
2.如图,B 是AD 的中点,BC∥DE,BC=DE.求证:∠C=∠E.
类型二 旋转型
3.如图所示，利用“AAS”即可说明则需要
添加的条件为__________.
4.如图， BC, AE与BD 交于点 F.
(1)求证:
(2)求 的度数.
类型三 轴对称型
5.如图,点 D在AB上,点E在AC上,且 ∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判
定的是 ( )
A. AD=AE B.∠AEB=∠ADC C. BE=CD
6.如图,AB= AD,AC 平分求证:△ABC≌△ADC.
类型四 一线三等角型
7.如图,在△ABC中,AB=AC,点 P,D分别是BC,AC边上的点,且BP=CD,∠APD=∠B,若 ∠APB=105°,则∠CDP 的度数为 ( )
A.30° B.60° C.105° D.120°
8.如图,∠ABC=∠ACD=90°,BC=5,AC=CD,则△BCD 的面积为___________.
9.如图,B,C,D三点在同一直线上,∠B=∠D=∠ACE,AB=CD.
求证:△ABC≌△CDE.
参考答案
1.(示例)AB=DE
2.证明:因为 B 是AD 的中点,所以AB=BD,
因为BC∥DE,所以∠ABC=∠D,
在△ABC和△BDE中,
所以△ABC≌△BDE(SAS),所以∠C=∠E.
3.∠C=∠E
4.解:(1)证明:因为 AC⊥BC,DC⊥EC,所以∠ACB=∠ECD=90°,
所以∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.
又因为AC=BC,EC=DC,所以△ACE≌△BCD(SAS),所以AE=BD;
(2)如图,设 AE 与BC 交于点 O,则∠AOC=∠BOF,
因为△ACE≌△BCD,所以∠A=∠B,
所以∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°,
所以∠BFO=∠ACO=90°,所以∠AFD=180°-∠BFO=90°.
5. B
6.证明:因为 AC平分∠BAD,所以∠BAC=∠DAC,
在△ABC和△ADC中,
所以△ABC≌△ADC(SAS).
7. C 8.12.5
9.证明:因为∠B=∠D=∠ACE,∠ACE+∠ACB+∠DCE=180°,∠B+∠ACB+∠A=180°,
所以∠A=∠DCE,
在△ABC和△CDE中, 所以△ABC≌△CDE(ASA).
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