苏科版九年级数学上册试题 第1章 一元二次方程章节检测卷 （含详解）

第1章《 一元二次方程》章节检测卷
一．选择题（每小题2分，共12分）
1.一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　）
A. B.
C. D. 以上都不对
2.若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是( )
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
3.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根
4.关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
5.若，则的个位数字是（ ）
A. B. C. D.
6.已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
二．填空题（每小题2分，共20分）
7.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
8.已知关于x的一元二次方程3（x﹣1）（x﹣m）=0的两个根是1和2，则m的值是________
9.设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．
10.若关于x的二次方程（m2﹣2）x2﹣（m﹣2）x+1=0的两实根互为倒数，则m=____________．
11.已知整数k＜5，若的边长均满足关于x的方程，则的周长是__ _．
12. 程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为 ．
13.已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________．
14. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为60平方米．两块绿地之间及周边留宽度相等的人行通道，请问人行道的宽度为 米？
15.小明到商场购买某个牌子的铅笔支，用了元（为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价，于是他比上一次多买了支铅笔，用了元钱，那么小明两次共买了铅笔________支．
16.如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
三．解答题（共68分）
17.（12分）解方程：
（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）； （2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）
18.（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22=0时，求m的值．
19.（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
20.（8分）某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．
21.（10分）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；
（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．
22.（10分） “低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
23.（10分）把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．
答案
一．选择题
1.C
【解析】移项得2x -3x=-1，
二次项系数化为1得，
配方得，
即，
故选：C．
2.D
【解析】关于x的方程有两个不相等的实数根，
则
解得：
满足条件的最小整数的值为2.
故选D.
3.A
【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1，
∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2–4ac=16–4×1×5=–4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．
4.C
【解析】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，
∵两个的积为﹣2﹣p2，∴一个正根，一个负根，
故选：C．
5.A
【解析】∵，∴，整理得；
∴，整理得；
∴，整理得.
故选A.
6.B
【解析】解：当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
二．填空题（每小题2分，共20分）
7.x2﹣4x+3=0（答案不唯一）
【解析】∵1+3=4，1×3=3，
∴以1和3为根的一元二次方程可为x2 4x+3=0.
故答案为:x2 4x+3=0.
8.2
【解析】
或,
.
由题意可得：
故答案为
9.10
【解析】根据一元二次方程的解，由x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，代入可得x22+5x2﹣3=0，即x22+5x2=3，然后根据题意2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，可得2x1 x2+a=4，再根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1 x2=，由x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，求得x1x2=﹣3，即2×（﹣3）+a=4，解方程得a=10．
10.﹣．
【解析】设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1 x2==1，∴m2=3，解得m=或﹣，当m=时，原方程化为x2+（2﹣）x+1=0，△=（2﹣）2﹣4＜0，原方程无实数根，所以m=舍去，当m=﹣时，原方程化为x2+（2+）x+1=0，△=（2+）2﹣4＞0，原方程有两个实数根，所以m的值为﹣．故答案为﹣．
11.6或12或10．
【解析】根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥.
∵整数k＜5，∴k=4.
∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4.
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，
∴△ABC边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2.
∴△ABC的周长为6或12或10.
12. 102+（x﹣5+1）2=x2
【解析】设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x﹣5+1）2=x2．
故答案为102+（x﹣5+1）2=x2．
13.1
【解析】设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，∴t1+t2=3，∴x3+x4+2=3
故答案为1
14.人行道的宽度为1米．
【解析】设人行道的宽度为米，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
∴人行道的宽度为1米．
15.或
【解析】因y元买了x只铅笔，则每只铅笔元；降价20%后，每只铅笔的价格是 （1-20%）元，即 元，依题意得：（x+10）=4，
∴y（x+10）=5x∴x=，
∴5-y＞0，即y＜5；
又∵x、y均是正整数，∴y只能取3和4；
①当y=3时， x=15，小明两次共买了铅笔：15+15+10=40（支）
②当y=4时， x=40，小明两次共买了铅笔：40+（40+10）=90（支）
故答案为40或90．
16.4或8
【解析】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45 ，
∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD AA′=12 x，
∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12 x)=32，整理得,x 12x+32=0，解得x=4,x=8，
即移动的距离AA′等4或8.
三．解答题
17.解：（1）方程整理得：x2+2x=9999，
配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，
开方得：x+1=100或x+1=﹣100，
解得：x1=99，x2=﹣101；
（2）这里a=3，b=﹣6，c=﹣1，
∵△=36+12=48，
∴x==，
解得：x1=，x2=．
18.解：（1）由题意有△=（2m-1）2-4m2≥0，
解得m≤，
即实数m的取值范围是m≤；
（2）由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，
由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m＝，
∵＞，
∴m＝不合题意，舍去，
若x1-x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知m＝，
故当x12-x22=0时，m＝．
19.解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．
20.根据题意，得2（x+×400）+2××300+200×80=47200，
整理，得﹣39x+350=0，解得=25，=14，
∵x=25＞16，∴x=25不合题意，舍去．
∵x=14＜16，=＜16，∴x=14符合题意．
所以，池长为14米．
21.解 （1）设田丰每次价格下调的百分率为x．由题意得：
15（1﹣x）2=9.6．
解这个方程，得：x1=0.2，x2=1.8．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：田丰每次价格下调的百分率是20%．
（2）小李选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000﹣400×3=27600（元）．
∵25920＜27600，∴小李选择方案一购买更优惠．
22.（1）解：设平均增长率为x，根据题意得：
640=1000;
解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；
∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；
答：新投放的共享单车1250辆.
（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：
500y+1000(100-y)≤70000;
解得：y≥60;
∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)
=200y+300(100-y)
=-100y+30000
∵-100＜0,
∴W随着x的增大而减小；
∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；
答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车.
23.（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．
则（40-2x）2=484，
即40-2x=±22，
解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9，
∴剪掉的正方形的边长为9cm．
②侧面积有最大值．
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与a的函数关系为：y=4（40-2a）a，
即y=-8a2+160a，
即y=-8（a-10）2+800，
∴a=10时，y最大=800．
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2．
（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的边长为xcm．
2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550，
解得：x1=-35（不合题意，舍去），x2=15．
∴剪掉的长方形盒子的边长为15cm．
40-2×15=10（cm），
20-15=5（cm），
此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm．