4.4.2对数函数的图像和性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《对数函数的图象和性质》教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一年级
课题 对数函数的图象和性质（第一课时）
教学目标
1. 会作对数函数的图像，理解底数对图象的影响。 2. 通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质。 3. 能利用对数函数的图象与性质来解决简单问题。
教学内容
本课所用教材为北师大版普通高中教科书数学必修第一册，教学内容为“对数函数的图象和性质（第一课时）”。 对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质,掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一,对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。教学内容的安排要体现类比、数形结合等的重要的数学思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 教学重点： 1.研究对数函数的图象，归纳对数函数的性质。 2.对数函数性质的初步应用。 教学难点： 1.通过观察实例，理解底数a的两个范围对函数图象的影响，归纳对数函数的性质。 2.对数函数性质的应用。
教学过程
一、知识回顾 1. 指数函数概念：形如y = ax(a>0，且a 1)的函数叫做指数函数. 指数函数的图象与性质: 2. 对数函数的概念：一般地，函数 y = logax ，(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）． 二、新知探索 与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质．先完成下列表格，并用描点法画出y = log2x的图象． 问题：如何作出的图象？ （学生讨论，并展示结果，教师点评） 利用换底公式，可以得到． 与的图象关于轴对称， 用GeoGebra软件演示出这两个函数，增加学生对它们对称性的印象。 同理， , 所以的图象关于 轴对称. 即底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 轴对称. 用GeoGebra软件观察底数a对函数图象的影响，让学生感受到底数对图象变化的影响。并能总结出一般性质。 选取底数a的若干值，例如 a＝3，a＝4，a＝， a＝ ，利用信息技术画出图象，如图: 发现对数函数 y = logax ,(a>0,且a≠1) 的图象按底数a的取值，可分为01两种类型，因此，对数函数的性质可以分为01两种情况进行研究． 三、实践提升 例1 比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 解: log23.4与 log28.5可以看成函数 y =log2 x 的两个函数值 , ∵底数2 > 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是增函数； ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5 （2） log0.31.8与 log0.32.7 ； 解: log0.3 1.8与 log0.3 2.7可以看成函数 y =log0.3 x 的两个函数值 , ∵底数0.3 < 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log0.31.8> log0.32.7 （3） loga 5.1与 loga 5.9 (a＞0，且a ≠１)． 解: loga 5.1与 loga 5.9可以看成函数y =loga x 的两个函数值 , 当a > 1时, 函数在区间（0，+∞）上是增函数， ∵5.1<5.9 ∴ loga 5.1< loga 5.9 当0 loga 5.9 例2　溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH． 解：（1）令, 则， ∵函数在（0，+∞）上是增函数， ∴函数在（0，+∞）上是减函数， 所以，pH随着[H＋]的增大而减小， 即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强． （2）当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg10－7＝7． 所以，纯净水的pH是7． 总结：对应用性的问题，通常会把这个问题进行数学化，即引入数学函数模型，用数学建模的方法，把应用性问题转换成数学函数问题，更有利于后续问题的讨论。 练习1 比较下列各题中两个值的大小： ⑴ lg6 lg8 ⑵ log0.56 log0.54 ⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.51.6 log1.71.5 解析： ⑴ lg6log0.10.6 ⑷ ∵log1.51.6>log1.51.5=1 log1.71.5log1.71.5 练习2 解下列不等式 ⑴ ln(2x) <0; ⑵ log2x < 2; ⑶ lg(1-x)>lg(x+1); ⑷ log0.5x2 > log0.5(x+2). 解： ⑴∵函数在(0，+∞) 上是增函数， 又， ∴当时， , ∴ . (2)∵ ， ∴当时， 得 . (3)∵函数在(0，+∞) 上是增函数， ∴当时，， 解得：0 . (4)∵函数 在(0，+∞) 上是减函数， ∴当时，， 解得： . 本课小结 (1) (2)