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专题训练：尺规作图三种常考题型
题型归纳
精讲精练
题型01作角的平分线
【典例分析】
【例1-1】求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力，注意命题的证明的格式和步骤是正确解题的前提．
作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，得， ，，由、分别是和的平分线，可得，根据角边角可以判定，即可得出结论．
【详解】已知：如图所示，，、分别是和的平分线．
求证：
证明：∵，
∴， ，，
∵、分别是和的平分线．，
∴，
在和中，
∴()，
∴
【例1-2】．已知：如图，是的角平分线．
(1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，平行线的尺规作图：
（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可；
（2）先根据题意作图，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；
（2）解：如图所示，点F即为所求，
∵，
∴，
∵是的角平分线，平分，
∴，
∴，
∴．
【例1-3】．如图，已知点、、在一条直线上，．
(1)利用直尺和圆规作的平分线；
(2)如果，求的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线是解答的关键．
（1）根据尺规作角平分线的作图方法即可；
（2）设，则，，根据角平分线的定义得到，根据已知条件结合角的运算得到关于x的方程，然后求解x值即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求作；
（2）解：∵，
∴设，则，
∴，
∵射线是的平分线，
∴，
∵，
∴，解得，
即
【变式演练】
【变式1-1】如图，已知三角形，，，在上求作一点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据，，得到是等腰直角三角形，作的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，解得即可．
本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图，灵活应用等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．
【详解】根据，，得到是等腰直角三角形，
故的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，作图如下：
则点D即为所求．
【变式1-2】已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】题目主要考查角平分线的作法及性质，根据题意点到的距离相等得出作角平分线，然后作图即可，熟练掌握作图方法是解题关键．
【详解】解：如图所示：点P即为所求．
【变式1-3】．如图，中，，．
(1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，直接写出的面积为： ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据角平分线的作法即可完成作图；
（2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，角平分线即为所作，
；
（2）解：如图，作于，
，
∵平分，，
∴，
∴
题型02作线段的垂直平分线
【典例分析】
【例2-1】如图，已知点A、点B以及直线l．
(1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，若，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可；
（2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：在和中
，
【例2-2】（2023秋 桂林期末）综合与实践
（1）【实践操作】：
已知：线段，如图1，
作图：用尺规作图，作线段的垂直平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
发现：在直线上任取一点（点除外），连接、后发现是 等腰 三角形．
（2）【类比探究】：
已知：如图2，在中，，
作图：在线段上求作点，连接，使得和都是等腰三角形．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（3）【推理证明】：在（2）所作的图2中，求证：和都是等腰三角形．
【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线得到直线，然后根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定方法进行判断；
（2）作的垂直平分线得到点；
（3）先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据斜边上的中线性质得到，从而可判断和都是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图1，直线为所作，
直线垂直平分，
，
为等腰三角形；
故答案为：等腰；
（2）解：如图，点为所作；
（3）证明：点为的垂直平分线与的交点，
，
，
为斜边边的中线，
，
和都是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定．
【例2-3】（2023秋 镇平县期末）如图，已知点、以及直线，于点，于点．
（1）在直线上求作一点，使（用无刻度的直尺和圆规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在所作的图中，连接、，若，求证：．
【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，点即为所求作；
（2）首先推导出，，结合证得．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
．
在和，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式演练】
【变式2-1】（2024春 碑林区校级期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段的垂直平分线，交于点，连接，则，进而可得的周长为，则点即为所求．
【解答】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接，
则，
的周长为，
则点即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
【变式2-2】（2022秋 遂平县期末）如图，已知点、以及直线，，垂足为点．
（1）过点作，垂足为点；
（2）在直线上求作一点，使；
（要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．
（3）在所作的图中，连接、，若，求证：．
【分析】（1）利用过直线外一点作直线的垂线画；
（2）作的垂直平分线交于；
（3）先利用同角的余角相等得到，然后根据“”判断．
【解答】（1）解：如图2，直线就是要求作的垂线；
（2）解：如图2，点就是所要求作的点；
（3）证明，
，．
，
．
，
在和中
．
【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形全等的判定．
【变式2-3】（2022秋 洛江区期末）在下面的中，请你按要求用尺规作出下列图形（保留作图痕迹）并填空．
（1）作出的平分线交边于点；
（2）作出边上的垂直平分线交于点；
（3）连接，若，，则的度数为 ．
【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（3）由三角形内角和定理可结合角平分线的定义可得，进而由线段垂直平分线的性质得出，最后再次由三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：（1）的平分线如图所示；
（2）线段的垂直平分线如图所示；
（3），，
．
为的平分线，
．
直线为线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．
题型03作一个角等于已知角
【典例分析】
【例3-1】（2023秋 西华县月考）已知：．
（1）求作：，使；
（2）说明作一个角等于已知角的方法依据．
【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧交、于点、，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，与以点为圆心，长为半径画弧交于点，过点、作射线，则即为所求；
（2）根据证明△，得出即可．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）由作图可知，，，，
△，
．
【点评】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【例3-2】（2022春 碑林区校级期末）如图，已知与交于点，且点为的中点，连接，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作即可．
【解答】解：如图，点即为所求．
【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【例3-3】如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法）
(1)请按题中要求先作图，并说出你的作图依据是：___________．
(2)请直接写出与的数量关系：___________．
【答案】(1)图见详解，
(2)
【分析】本题主要考查三角形外角的性质及角的尺规作图，熟练掌握画一个角与已知角相等的尺规作图是解题的关键；
（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于M、N，然后以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，进而根据点E为圆心，长为半径画弧，最后问题可求解；
（2）根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
作图依据为；
故答案为；
（2）解：由（1）可知：，
∴；
故答案为
【变式演练】
【变式3-1】（2022秋 房山区期末）下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图，
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；
③连接，；
所以就是所求作的角．
根据贝贝设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明．
证明：连接．
在和中，，
（填推理理由）．
（填推理理由）．
【分析】（1）根据作法完成作图；
（2）利用证明三角形全等．
【解答】（1）解：如图所示，
（2）证明：连接．
在和中，
，
．
（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：，，，全等三角形的对应角相等．
【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3-2】（2024春 南山区期中）（1）利用直尺和圆规作一个角等于已知角的作法如下：
①以点 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、；
②作射线，以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点；
③以 为圆心，以 长为半径画弧，两弧交于点；
④过点作射线，为所求．
（2）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我国两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域，如图，在处测得在东北方向上，在处测得在北偏西的方向上．
①从处看、两处的视角 度；
②从处看、两处的视角 度．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤解决问题即可；
（2）根据方位角的定义以及三角形内角和定理求解．
【解答】解：（1）①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、；
②作射线，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；
③以为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点；
④过点作射线，为所求．
故答案为：，，，；
（2）①；
②．
故答案为：60，75．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
【变式3-3】（2023秋 秦安县期末）如图是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图：
①在的两边上分别任取一点、；
②以点为圆心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点；
③连结、．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连结，
， ， ，
（填推理依据）．
．
【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
【解答】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形如图所示：
；
（2）证明：连结，
，，，
．
．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了作图复杂作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
【变式3-4】（2022秋 丰台区期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：，使，且点在射线上．
作法：
①如图2，在射线上任取一点；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③连接．
则即为所求作的角．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：是线段的垂直平分线，
（填推理的依据）．
（填推理的依据）．
，
．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形外角性质得到．
【解答】解：（1）如图，
即为所求作：
（2）证明：是线段的垂直平分线，
（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
（等边对等角），
，
，
故答案为：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．中小学教育资源及组卷应用平台
专题训练：尺规作图三种常考题型
题型归纳
精讲精练
题型01作角的平分线
【典例分析】
【例1-1】求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）
【例1-2】．已知：如图，是的角平分线．
(1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：．
【例1-3】．如图，已知点、、在一条直线上，．
(1)利用直尺和圆规作的平分线；
(2)如果，求的大小．
【变式演练】
【变式1-1】如图，已知三角形，，，在上求作一点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【变式1-2】已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
【变式1-3】．如图，中，，．
(1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，直接写出的面积为： ．
题型02作线段的垂直平分线
【典例分析】
【例2-1】如图，已知点A、点B以及直线l．
(1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，若，，求证：．
【例2-2】（2023秋 桂林期末）综合与实践
（1）【实践操作】：
已知：线段，如图1，
作图：用尺规作图，作线段的垂直平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
发现：在直线上任取一点（点除外），连接、后发现是 三角形．
（2）【类比探究】：
已知：如图2，在中，，
作图：在线段上求作点，连接，使得和都是等腰三角形．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（3）【推理证明】：在（2）所作的图2中，求证：和都是等腰三角形．
【例2-3】（2023秋 镇平县期末）如图，已知点、以及直线，于点，于点．
（1）在直线上求作一点，使（用无刻度的直尺和圆规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在所作的图中，连接、，若，求证：．
【变式演练】
【变式2-1】（2024春 碑林区校级期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2-2】（2022秋 遂平县期末）如图，已知点、以及直线，，垂足为点．
（1）过点作，垂足为点；
（2）在直线上求作一点，使；
（要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．
（3）在所作的图中，连接、，若，求证：．
【变式2-3】（2022秋 洛江区期末）在下面的中，请你按要求用尺规作出下列图形（保留作图痕迹）并填空．
（1）作出的平分线交边于点；
（2）作出边上的垂直平分线交于点；
（3）连接，若，，则的度数为 ．
题型03作一个角等于已知角
【典例分析】
【例3-1】（2023秋 西华县月考）已知：．
（1）求作：，使；
（2）说明作一个角等于已知角的方法依据．
【例3-2】（2022春 碑林区校级期末）如图，已知与交于点，且点为的中点，连接，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【例3-3】如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法）
(1)请按题中要求先作图，并说出你的作图依据是：___________．
(2)请直接写出与的数量关系：___________．
【变式演练】
【变式3-1】（2022秋 房山区期末）下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图，
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；
③连接，；
所以就是所求作的角．
根据贝贝设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明．
证明：连接．
在和中，，
（填推理理由）．
（填推理理由）．
【变式3-2】（2024春 南山区期中）（1）利用直尺和圆规作一个角等于已知角的作法如下：
①以点 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、；
②作射线，以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点；
③以 为圆心，以 长为半径画弧，两弧交于点；
④过点作射线，为所求．
（2）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我国两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域，如图，在处测得在东北方向上，在处测得在北偏西的方向上．
①从处看、两处的视角 度；
②从处看、两处的视角 度．
【变式3-3】（2023秋 秦安县期末）如图是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图：
①在的两边上分别任取一点、；
②以点为圆心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点；
③连结、．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连结，
， ， ，
（填推理依据）．
．
【变式3-4】（2022秋 丰台区期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：，使，且点在射线上．
作法：
①如图2，在射线上任取一点；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③连接．
则即为所求作的角．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：是线段的垂直平分线，
（填推理的依据）．
（填推理的依据）．
，
．
