6.2.3向量的数乘运算 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
第六章
学习目标
1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则. 数乘运算的几何意义.
向量共线的含义.
线性运算性质及其几何意义.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
高中数学 必修第二册 RJ ·A
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新知学习
知识点一向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 向 量，这种运算叫做
(1)|2a|= I2llal .
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ=0时， λa=0. 当λ=-1时，(-1)a=-a.
时，与a的方向相同；
时，与a的方向相反.
向量的 数乘，记作λa, 其长度与方向规定如下：
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知识点二向量数乘的运算律
1.设λ,μ为实数，那么
(1)λQua)=(aμ)a
(2)Q+μ)a= λa+μa.
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地，(-λ)a=-(λa)=λ(-a) ,λ(a-b)= λa- λb.
2.向量的线性运算
向 量 的 加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a,b, 以及任意实数λ,M,μ , 恒有λ(u a±H b)=λuya±Auzb.
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知识点三向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯——个实数λ,使b=λa 思考 向量共线定理中为什么规定a≠0
答案 若将条件a≠0去掉，即当a=0 时，显然a与b共线.
(1)若b≠0, 则不存在实数λ,使b=λa.
(2)若b=0, 则对任意实数λ,都有b=λa.
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易错辨析
1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b=λa.(× ) 2.若b=λa, 则a与b共线. (√ )
3.若λa=0, 则a=0. ( × )
4.|λa|=λ|a|.( × )
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典例剖析
一 、向量的线性运算
例 1 (1)若a=2b+c, 则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)
A.-a B.-b
-C D.以上都不对
解析 原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b
=a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-C.
等于
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(2)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0, 则x= 4b-3a .
解析 由已知，得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
所以x+3a-4b=0,
所以x=4b-3a.
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、 移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里 的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法 求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
反思感悟
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计算：(a+b) 一3(a—b)一8a.
解 (a+b)-3(a-b)-8a=(a-3a)+(b+3b) 一8a
=—2a+4b—8a=—10a+4b.
跟踪训练
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二用已知向量表示位置向量
例2 如图，在口ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB=a,AD=b, 则DE
解 析 因 为E是BC 的中点，所以
等于
画图
结合图形的特征，把待求向量放在三角形
或平行四边形中
表示
结合向量的三角形法则或平行四边形法则 及向量共线定理用已知向量表示未知向量
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求 向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
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反思感悟
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
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跟踪训练
在△ABC中，若点D 满足BD=2DC, 则AD等于
解析 示意图如图所示，由题意可得
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三、向量共线的判定及应用
例3 设a,b 是不共线的两个向量.
(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b, 求证：A,B,C 三点共线； 证明∵AB=OB-0A=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,
而BC=0C-OB=(a-3b) 一(3a+b)=—(2a+4b)=-2AB,
∴AB与BC 共线，且有公共点B,
∴A,B,C 三点共线.
(2)若8a+kb 与ka+2b 共线，求实数k的值.
解 ∵8a+kb 与ka+2b 共线，
∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b), 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a 与 b 不共线，
解得λ=±2,∴k=2λ=±4.
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(1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A,B,C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ, 使得AB=λAC ( 或BC=λAB 等) 即可 .
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
反思感悟
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已知向量e ,e 不共线，如果AB=e +2 e ,BC=-5e +6e ,CD=7e
-2e , 则共线的三个点是A,B,D
解析 ∵AB=e +2e ,
BD=BC+CD=-5e +6e +7e -2e =2(e +2e )=2AB,
∴AB,BD 共线，且有公共点B,
∴A,B,D 三点共线.
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随堂小测
1.下列运算正确的个数是
①(-3)·2a=-6a;
②2(a+b)-(2b-a)=3a;
③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0
解析 根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；
③中 ，(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0, 是零向量，而不是0, 所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.
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2.如图，已知AM 是△ABC 的边BC 上的中线，若AB=a,AC=b, 则AM
等于
解 析 因 为M是BC的中点，
所以
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3.设P 是△ABC所在平面内一点，BC+BA=2BP, 则
A.PA+PB=0 B.PC+PA=0 C.PB+PC=0 D.PA+PB+PC=0 解析 因 为BC+BA=2BP,
所以点P为线段AC 的中点，故选项B正确.
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4.化简4(a—3b)一6(一2b—a)= 10a
解 析 4(a—3b)-6(一2b—a)=4a—12b+12b+6a=10a.
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5.设e 与e 是两个不共线向量，AB=3e +2e ,CB =ke +e ,CD=3ei
-2ke , 若A,B,D 三点共线，则 .
解析因为A,B,D 三点共线，故存在一个实数λ,使得AB=λBD,
又AB=3e +2e ,CB=kei+e ,CD=3e -2ke ,
所以BD=CD-CB=3ei-2ke -(kei+e2)=(3-k)e -(2k+1)e ,
所以3e +2e =λ(3-k)e -λ(2k+1)e ,所以
解得
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课堂小结
1.知识清单：
(1)向量的数乘及运算律.
(2)向量共线定理.
(3)三点共线的常用结论.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.
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