6.2.3向量的数乘运算 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
第6章平面向量及其应用
6.2.3向量的数乘运算
创设情境
一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应 向量a, 那么在同方向上3秒的位移对应的向量 用3a表示，试画出该向量。
a 3a
已知非零向量a (如图) a
试作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a
由向量加法的
法则可得 C
相同向
量相加
后，和 的长度 与方向
有什么 变化
小组合作探究活动1:
重要结论
3a
由图可知，向量
OC=OA+AB+BC=a+a+a, 我们把a+a+a记
作3可，即 OC=3a.
显然，3a的方向与a的方向相同，3a 的
长度是a的长度的3倍，即|3a|=3a|.
由图可知，PN=PQ+QM+MN
=(-a)+(-a)+(-a),把(-a)+(-a)+(-a)
记作-3a, 即PN=-3a
显然，-3a的方向与a 的方向相反， -3a 的 长度是a 的长度的3倍，即|-3a|=3|a| 。
重要结论
-3a
重要结论
一般地，我们规定实数入与向量a 的积是一
个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa,
它 的 长 度 和 方 向 规 定 如 下 ：①λ a 是一个向量；
(1)|λa=λa|;
和
(2)当λ>0时， λa 的方向与a 的方向相同；
当λ<0时， λa 的方向与a 的方向相反。
特别的，当λ=0时， λa=0
向量数乘和实数乘法
有哪些相同点 哪些不 -同点
乘
绝
的
的
度
λ
长
于
的
等
a
度
量
长
向
的
与
a
值
λ
对
②
(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a 为非零 向量),并进行比较。
(2)已知向量a,b, 求作向量2a+b) 和2a+2b, 并 进行比较。
a
2(ā+b)=2a+2b
2a+2b
a+b
小组合作探究活动2:
3(2a)=6a
2a
重要结论
设λ,μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a;
第一分配律 (2)(λ+μ) a=λa+μa ;
第二分配律 (3)λ (a+b)=λa+λb.
(-A)a=-(λa)=λ(-a),
特别的 ， 我们有
λ(a-b)=λa-λb.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算. 对于任意向量a、b, 以及任意实数λ、μ 、μ2,
恒有 λ(μa±μ =λμa±λμb
[解析] (1)原式94a+4b-3a+3b—8a=-7a+7b.
(2)原式=5a—4b+c—6a+4b—2c=—a—c.
(3)原式
牛刀小试
计算：
(1)4(a+b)—3(a—b) 一8a;
(2)(5a—4b+c) 一2(3a—2b+c);
思考：
1、如果B=λa, 那么,向量a与6是否共线
2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ,使b=λa
对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使得 B=λa, 那么,由数乘向量的定义知：向量a与b共线。
若向量a与b 共线，a≠0, 且向量b 的长度是a的长 度的μ倍，即有|bl=m, 且
当与6同方向时，有b=μa;
当a 与b反方向时，有b=- μa,
所以始终有一个实数λ,使b=λa。
定理： 向量b 与非零向量a共线当且仅当有唯一
一个实数λ,使得 b=λa.
牛刀小试
如图所示，四边形OADB是以向量OA=a,OB=b 为
邻边的平行四边形又， 试
6
用 a,b 表 示OM、ON、MN.
,
解：
练习：(1)在△ABC中，若点D 满足BD=2DC,
则AD等 于 ( )
A. B.
C. D.
(2)如图所示，已知在△ABC 中 ， ,DE//BC,
DE 交 AC 于 点E,BC 边上的中线AM 交DE 于 点N,
设AB=a,AC=b, 用 a,b 表示向量AE,DE,AM,AN.
∵△ADEo△ABC,
∵△ADNo△ABM,
解：(1)如图所示，由题意可得
(2)∵DE//BC,
,:
∵△ADE∽△ABC,
∵△ADNo△ABM,
,∴
(2)∵DE//BC,
事
牛刀小试
已知OA和OB是不共线向量，AC=tAB(t∈R),
试用OA 和OB 表示OC。
思考：
设O 、A 、B 、C为平面上任意四点，且存在实数s,t,
使OC=sOA+tOB
若A 、B 、C三点共线，则
反之，若s+t=1, 则
结论：设0为平面上任一点，则A、B、C 三点共线
→OC=(1-t)OA+tOB (t∈R)
或 A 、B 、C三点共线 0 C=sOA+tOB, 其 中s+t=1
本节课小结
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa → 向 量a 与b 共 线
二、定理的应用：
1.证明向量共线
2.证明三点共线：AB=λBC 一A,B,C三点共线 3.证明两直线平行：
AB=λCD一AB//CD
一直线AB 直线CD AB 与CD 不在同一直线上
THANKS