6.3.1 平面向量基本定理 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
第六章
平面向量基本定理及其意义.
基底的条件，能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量. 3.会用平面向量基本定理解决有关向量问题.
核心素养：直观想象、数学运算
学习目标
高中数学 必修第二册 RJ ·A
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新知学习
知识点平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e ,e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一 向量a, 有且只有 一 对实数λ ,A , 使a=λe +Ae .
2.基底：若e ,e 不共线，我们把{e ,e } 叫做表示这一平面内所有_向量的一个基底
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易错辨析
1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.
( ×)
2.基底中的向量不能为零向量. ( √ )
3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. ( × )
4.若e ,e 是同一平面内两个不共线向量，则λe +λ e (λ ,λ 为实数)可以表示该平面内所有向量. ( √ )
一 、平面向量基本定理的理解
例1 (多选)设{e ,e }是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e +e 和e -e e -4e 和6e -8e
C.e +2e 和2e +e D.e 和e +e
ACD解析 选项B中，6e -8e =2(3e -4e ),
∴6e -8e 与3e -4e 共线，∴不能作为基底，选项A,C,D 中两向量均不共线，可以作为基底.
典例剖析
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考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那
么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.
反思感悟
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已知向量{a,b} 是一个基底，实数x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b, 则x-y= 3
解析因为{a,b} 是一个基底，
所以a与b不共线，
由平面向量基本定理 所
所以x-y=3.
跟踪训练
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二 用 基 底 表 示 向 量
例2如图，已知在梯形ABCD 中，AB//CD,AB=2CD,E, F 分别是DC,AB
的中点，设AD=a,AB=b, 试用{a,b} 为基底表示DC,EF.
解 因 为DC/ /AB,AB=2DC,E,F 分别是DC,AB 的中点，
所以
EF=ED+DA+AF
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延伸
本例中，若设BC 的中点为G, 则
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平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用 基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
反思感悟
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如图，在正方形ABCD中 ，设AB=a,AD=b,BD=c ,则以{a,b} 为基底时，AC 可表
示为a+b ,以{a,c}为基底时，AC可表示为2a+c
解析 以{a,b} 为基底时，Ac=AB+AD=a+b;
以{a,c} 为基底时，将BD平移，使B 与 A重合，
再由三角形法则或平行四边形法则即得AC=2a+c.
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三 、平面向量基本定理的应用
例3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上 ，
且AN=2NC,AM 与BN相交于点P, 求AP:PM 与BP:PN 的 值
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解设BM=ej,CN=e ,
则4M=AC+CM=-3e -ei,
BN=BC+CN=2e +e .
∵A,P,M 和B,P,N 分别共线，
∴.存在实数λ,μ使得AP=24M=-λei-3λe ,
BP=μBN=2wei+μe
故BA=BP+PA=BP-AP=(λ+2w)ei+(3λ+μ)e .
而BA=BC+CA=2ei+3e ,
由平面向量基本定理，
∴AP:PM=4,BP:
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p
M
N
C
解得
··
A
B
事
睡
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然
后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达 式),再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
反思感悟
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如图，在-ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF,其
中λ,μ∈R, 则
贝 睡
又∵AC=a+b,∴
即 ,∴ 通
解析设AB=a,AD=b,
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事
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随堂小测
1. (多选)设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其它向量基底的是
A.AD与AB B.DA与BC
C.CA与DC D.OD与OB
AC 解析 易知4D 与AB 不共线，CA 与DC不共线，
故AD 与AB,CA 与DC可作为基底
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2.下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线 向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分 解形式也是唯—确定的.
其中，说法正确的为
A.①②
C.①③
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3.在△ABC中，AB=c,AC=b,若点D 满足BD=2DC,以{b,c}作为基底，则AD等于
A解析∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD),
∴AD-c=2(b-AD), .故选A.
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4.已知非零向量OA,OB不共线，且20P=xOA+yOB,若PA=λABO∈R),则x,y满足的关系式是
A.x+y-2=x+y-1=0
C.x+2y-2=x+y-2=0
A解析由P=λAB,得0A-oP=λ(OB-OA),
即OP=(1+λ)OA-λOB.
又20P=xOA+yOB,
所 消去λ得x+y=2
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5.设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点
则λ+λ2的值为
!
解析如图
,若DE=λ AB+λACa ,i 为实数),
又∵AB与AC不共线，
··
事
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课堂小结
1.知识清单：
(1)平面向量基本定理.
(2)用基底表示向量.
(3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.
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