2023-2024学年吉林省G6教考联盟高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年吉林省G6教考联盟高二下学期7月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的图像为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A. B.
C. D.
6.名研究人员在个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去人，由于空间限制，每个舱至多容纳人，则不同的安排方案共有种．
A. B. C. D.
7.已知正数，，，满足，则下列说法不正确的是( )
A. B. C. D.
8.若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是( )
A. 在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强
B. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，，，则
C. 在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越小
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和
10.下列命题是真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若正实数，满足，则的最小值为
11.已知定义在上的函数满足，且，若，则( )
A. B. 的对称中心为
C. 是周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式的常数项为_______用数字作答
13.已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有不等式成立，则实数取值范围为 ．
14.有个编号分别为，，，的盒子，第个盒子中有个白球个黑球，其余盒子中均为个白球个黑球，现从第个盒子中任取一球放入第个盒子，再从第个盒子中任取一球放入第个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增．
求的值及函数的解析式
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴．
求的值
求函数极值．
17.(本小题12分)
目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩~N(60,),只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节.
(1)利用正态分布的知识, 估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中, 进入面试的人数(结果只保留整数);
(2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,,,设这3名考生中通过面试的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据:若X~N(, ),则P(-X+)0.6827, P(-2X+2)0.9545,P(-3X+3)0.9973.
18.本小题分
在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有人．
男生 女生 合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐
合计
将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关
该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从号、号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了号套餐，则星期四选择号套餐的概率为若星期二选择了号套餐，则星期四选择号套餐的概率为，求甲同学星期四选择号套餐的概率．
用频率估计概率，从该校学生中随机抽取名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为事件“”的概率为，求使取得最大值时的值．
参考公式：，其中．
19.本小题分
已知函数是自然对数的底数．
讨论函数的单调性
若有两个零点分别为，．
(ⅰ)求实数的取值范围
(ⅱ)求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由幂函数在上单调递增知，
，
又，，，，
当或，不符合题设
当，为偶函数，关于轴对称，符合
综上，且；
由为偶函数，开口向上，
且，
所以，
两边平方，得，
化简得，解得或，
故实数的取值范围．
16.解：，
由题意可得：曲线在点处的切线的斜率为，
即，解得．
由可得：，
令，则，
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，
故有极大值，无极小值．
17.解：（1）由题意可知，，
则，
则共100000.15865=1586.5，即1586人进入面试；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故.
18.解：
零假设假设食堂就餐与性别无关，
由列联表可得，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生喜欢食堂就餐与性别有关联且此推断犯错误的概率不大于．
记星期二选择了号套餐为事件，选择号套餐为，
星期四选择了号套餐为事件，选择号套餐为，
则，，，
所以，
所以．
依题意可得学生“喜欢食堂就餐”的概率，
则∽，
所以且，
若取得最大值，则，
即解得，
又且，所以．
19.解：已知函数，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上递减，在上递增；
已知，函数定义域为，
若有两个零点分别为，，
不妨设，函数定义域为，
此时函数有两个零点，
不妨设，函数定义域为，
可得恒成立，
所以函数在上单调递增，
此时有两个零点，
因为，
当时，，单调递增，不满足条件；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
若，此时，
解得，
可得恒成立，没有零点，不满足条件；
若，此时，
解得，
此时有且仅有一个零点，不满足条件；
若，此时此时，
解得，
又，，，
此时在，上各存在一个零点，满足条件，
综上，的取值范围为；
证明：要证，
即证：，
即证，
由知，，
此时需证，
因为，，
所以，，
此时，
需证，
不妨设，
令，，
即证，
要证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
此时，
所以当时， 成立，
则，
故，
故．
第1页，共1页