§2.5 课时2 内切圆和切线长定理 讲义（无答案） 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

§2.5 课时2 内切圆和切线长定理 讲义
2024-2025学年苏科版数学九年级上册
知识点4：三角形的内切圆
★与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形________,这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的外接圆与内切圆以及三角形的外心与内心的对比
图形 的名称 △ABC的名称 圆心的确定 “心”的性质 “心”的位置
△ABC的外接圆 的内接三角形 三角形三边垂直平分线的交点 到三角形的三个定点的距离相等 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外线在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形外。
△ABC的内切圆 的外切三角形 三角形三条角平分线的交点 到三角形的三条边的距离相等 一定在三角形内
【典型例题1】如图，有一块三角形铁片，工人师傅想利用这块三角形铁片剪一个面积最大的圆，你能帮他设计剪裁方法吗？说出你的做法。
【典型例题2】在△ABC中，若∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆的半径长=_______________
【典型例题3】如图，在中，，，是的内切圆，它与、、分别相切于点D、E、F．求的半径．
【典型例题4】如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
1.如图是的内切圆,D,E,F分别为切点,,则的度数为( )
A. B. C. D.
2.已知三角形的面积为15，周长为30，则它的内切圆的半径为____.
3.如图所示，在△ABC中，⊙I是△ABC的内切圆，和边BC，CA，AB分别切于点D，E，F，请你探索∠FDE与∠A的关系______________
4.在△ABC中，∠A=40°，点O是外心，则∠BOC=________；若点I是内心，则∠BIC=________。
5.如图，在中，，，若与的三边分别相切于点D，E，F，且的周长为32，则的长为（　　）
6.如图，点为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点，连接BD．已知，，则AI的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7.如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则
（1） ；
（2）点I关于x轴对称的点的坐标是 ．
8.如图，△ABC中，A、B，C三点的坐标分别为A（0，8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，求点D的坐标．
知识点5：切线长的概念和定理（重点）
1、切线长的概念：在经过圆外一点圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理： 。
基本图形包含的性质：
如图，PA，PB是的切线，切点分别为A,B，直线OP交于点D，E，交AB于点C，这是一个常见的基本图形，它有许多性质。如：
它是______ ____图形，直线OP是它的对称轴；
切线的性质：_________________________________________________________________________；
___________等腰三角形，PCAB，AC=BC，弧AD=弧BD，体现了“等腰三角形的顶角平分线、底边中线，底边上的高互相重合”的性质，体现垂径定理；
图中的直角三角形有 。
【典型例题1】[来源:学§
如图所示，PA，PB分别与相切于点A、B，的切线EF分别交PA，PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是_______________。
【典型例题2】
2.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，C是优弧 上一点，且∠APB=50°，则∠ACB为
50° B、 60° C、 65° D、 70°
【典型例题3】
如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典型例题4】
4.如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求⊙O的半径．
1.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点0为BC的中点，以点O为圆心作圆交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数为( )
A.2，22.5° B.3，30° C.3，22.5° D.2，30°
2.如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径，在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积为（ ）。
A:12 B: 24 C:8 D: 6
4.如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．
（1）求证：AB+CD=AD+BC
（2）求∠AOD的度数．
5.如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.
(1)证明：是的切线.
(2)如图2，连接，，求证：.