2.1 圆 2023-2024 学年下学期苏科版九年级暑假衔接课讲义（无答案）

§2.1 圆
知识点1：圆的定义
（1）用描述圆的形成过程进行定义：如图所示，把线段0P绕着端点O在平面内旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做_________________，其中，点0叫做_________________，线段0P叫做___________________，以点0为圆心的圆记作_________________，读作____________________。
（2）用圆的特征进行定义：平面内，到定点的距离等于定长的点组成的集合叫做圆，其中定点叫做_____________，定长叫做____________，如图所示，O为_____________，OP为________________。
【典型例题1】下列说法：①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为2cm且经过点P圆有无数个；④以点P为圆心，以2cm为半径的圆有无数个。其中，错误的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
知识点2：点与圆的位置关系
点P在圆内：d r 点P在圆上：d r 点P在圆外：d r
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在的外部.
点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上.
点在圆内 点在圆的内部 点在的内部.
【典型例题2】⊙O的半径，圆心到直线的距离，在直线上有三点，且有，那么三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
【典型例题3】已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8．如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是 （ ）
A、6＜r＜10 B、8＜r＜10 C、6＜r≤8 D、8＜r≤10
【典型例题4】已知⊙的半径为5，点到弦AB的距离为3，则⊙上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典型例题5】若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为 （　　）
A． B． C．或 D．或
【典型例题6】在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，⊙的半径为2.下列说法中，不正确的是（ ）
A．当时，点在⊙内 B．当时，点在⊙内
C．当时，点在⊙外 D．当时，点在⊙外
1.已知⊙的直径为6cm，且点在⊙内，线段的长度（ ）
A．小于3cm B．等于3cm C．等于6cm D．小于6cm
2.在以AB=5cm为直径的圆上,到AB的距离为2.5cm的点有（ ）个
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.两圆的圆心都是，半径分别是、（）.若，则（ ）
A．点在大圆外、小圆外 B．点在大圆内、小圆外
C．点在大圆外、小圆内 D．点在大圆内、小圆内
4.矩形ABCD中，AB=8，BC＝，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是 （　　）
A.点B、C均在圆P上 B.点B在圆P外，点C在圆P内
C.点B在圆P内，点C在圆P外 D.点B、C均在圆P内
5.有一个半径7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点中在圆外的是（ ）
A.（3，4） B．（4，3） C．（4，5） D．（4，6）
6.一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）
A、2.5cm或6.5cm B、2.5cm
C、6.5cm D、5cm或13cm
7.如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
8.如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（　　）
A．13 B．14 C．12 D．28
知识点3：圆的相关概念
★ 弦：
★ 直径：
★ 弧：
弧分类：①优弧 ；
②劣弧 ；
★ 等 弧：
★ 圆心角：
★ 等 圆：
★ 同心圆：
1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．直径是圆中最长的弦。
3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．
5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
【典型例题7】下列说法中，结论错误的是（　　）
A．直径相等的两个圆是等圆
长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【典型例题8】下列说法中正确的是（ ）
A. 弦是直径
B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦
D．半圆是圆中最长的弧
【典型例题9】已知为⊙内部的一点，则经过点的直径有（ ）
A．1条 B．2条 C．无数条 D．1条或无数条
【典型例题10】如图，MN为⊙的弦，∠M=50°，则∠MON等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．80°
【典型例题11】如图，AB是⊙的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC等于（ ）
A．15° B．30° C．20° D．45°
【典型例题12】如图所示，在⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中的弦有 （ ）
A、2条 B、3条 C、4条 D、5条
1.下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
2.已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长是

4.如图，点，，，都在上，，，，则 度．
5.已知⊙O中最长的弦为10cm，则⊙O的半径为 cm
6.已知是半径为3的圆的一条弦，则的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【拓展研究与提升】
题型1 圆的定义
【例1】画图说明具有下列性质的点的集合，设。
到点的距离等于的点的集合；
到点的距离等于的点的集合；
到点的距离不小于且不大于的点的集合；
到点、的距离都不大于的点的集合。
题型二 证明多点共圆
【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD=DC,∠B=60,试说明梯形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一圆上。
题型三 判断点与圆的位置关系
出题角度1Δ 由点到圆心的距离直接判断点与圆的位置关系
【例3】如图，已知矩形的边。
若以点为圆心，长为半径作⊙A，则点B，C，D和⊙A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径的取值范围是多少？
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变式演练：如图在中，,,,于点,以点为圆心，为半径作⊙，试判断、、三点与⊙的位置关系。
出题角度2Δ 解一元二次方程判断点与圆的位置关系
【例5】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为，且关于的方程有实数根。试判断点P与⊙O的位置关系。
出题角度3Δ 在坐标系中判断点与圆的位置关系
【例6】已知⊙过坐标原点O，点的坐标为（1,1），试判断点P（﹣1，1），Q（1，0），R（2，2）与⊙的位置关系，并说明理由。
题型四 圆的相关概念
【例7】已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有 条。
题型五 圆中的特殊线段的应用
出题角度1Δ 利用圆中的特殊线段求角的度数
【例8】如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E。已知，°，求∠AOC的度数。
出题角度2Δ 利用圆中的特殊线段证明
【例9】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC。求证：BA=BC
题型六 点与圆的位置关系的实际应用
【例10】如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A周围3㎞内的水域为危险区域，有一渔民误入离A点2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？请说明理由。
变式演练： 如图，在A地向北90M的B处有一栋民房，向东120M的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑，因施工需要必须在A地进行爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问：爆破影响的半径应控制在什么范围内？