2.2 圆的对称性 2023-2024学年苏科版九年级上册暑假衔接课讲义（无答案）

§2.2 圆的对称性
相关知识点回顾
1、圆：如图，把线段OP绕着端点O在平面内旋转 周，端点P运动所形成的图形叫做 。
2、轴对称图形：把一个图形沿着 折叠，如果直线两旁的部分能够 ，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是 。
3、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 。
知识点1：圆的对称性
通过旋转与折叠的方法，我们得到：
★ 圆的旋转不变性，即一个圆绕圆心旋转任何角度后，都与它自身重合；
★ 圆是 图形，圆心是它的对称中心；
★ 圆是 图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，对称抽有无数条。
【典型例题1】世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性。
（1）请问图中三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 （分别用三个图的代号a、b、c填空）．
（2）请你在图d、e两个圆中，按要求分别画出与a、b、c图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。如图1所示，若∠COB＝∠DOB，则CB=DB，弧CB＝弧DB。若CB=DB，则∠COB＝∠DOB，弧CB＝弧DB。若 弧CB＝弧DB，则CB=DB，∠COB＝∠DOB。
（图1） （图2）
【典型例题2】如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【典型例题3】：如图，在⊙O中，点A为BC (⌒)的中点，AE⊥OB于点E，AF⊥OC于点F，你能说明AE与AF相等吗？
【典型例题4】如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【典型例题5】如图所示，A，B，C，D是⊙O上的四点，弦AC=BD，则△ABC与△DCB全等吗，为什么？
1.下列说法中，正确的是（ ）
A．圆心角相等，它们所对的弧也相等 B．圆心角相等，它们所对的弦也相等
C．同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．同圆中，相等的弦所对的圆心角相等
2.如图所示，在⊙O中，=，下列说法①AB=CD，②AC=BD，③∠AOC=∠BOD，④=中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.若一条弦把圆分成2:3的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为__________
4.已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，则弦AB所对应的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或300°
5.如图所示，已知AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COD的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
6.如图所示，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
7.如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（　　）
A． B． C． D．
8..在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．75° D．120°
在⊙O中，AD=BC,试说明AB与CD相等。
知识点3：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
★ 1的弧：将顶点在圆心的周角等分360份，每一份圆心角是1的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把1的圆心角所对的弧叫做1的弧。
★ 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：一般地，n的圆心角对着n的弧，n的弧对着n的圆心角，即圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
【典型例题5】 如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（ ）
A．56 B．58 C．60 D．62
【典型例题6】如图，在△ABC中，∠ACB=90，∠B=25，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，求AD (⌒)的度数。
1.如图，在⊙O中，∠B=37°，则劣弧的度数为（ ）
A．106° B．126° C．75° D．53°
2. 如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，弧DE为50°的弧，那么∠BOC为（ ）
A．115° B．100° C．80° D．50°
3.如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）
A.25° B.50° C.60° D.30°
4.如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，求的度数．
6.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　）
A．120° B．135° C．150° D．165°
7.如图所示，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AB等于（ ）
A.60° B. 90° C.120° D.150°
8.如图，已知为半圆的直径．求作矩形，使得点，在上，点，在半圆上，且．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
知识点4：垂径定理
★ 垂径定理：____________________________________________________________；
★ 垂径定理的符号语言表现形式： ；
★ 拓展：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
【典型例题7】 如图所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，且CD=，BD=，则AB的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【典型例题8】如图，⊙O的半径为4cm，弦AB垂直平分半径OC，求弦AB的长。
1.如图1所示，AB是⊙O的弦，半径于点D，且，，则DC的长为（ ）。
A.5cm B.2.5cm C.2cm D. 1cm
（图1） （图2）
如图2所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8,则AE
3.如图所示，以点P为圆心的圆弧与轴交于A，B两点，点P的坐标为（4,2），点A的坐标为（2,0），则点B的坐标为_________________。
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AB=20，CD=16，则线段OE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5.如图，是的中点，，若，，则所在圆的半径为_____ 。
6.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB,垂足为P，且BP:AP=1:5,则CD长为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在Rt△ABC中，,以点C为圆心，CA长为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为（ ）
8.如图，在中，已知，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为_____ 。
10.已知的直径，是的弦，，且，垂足为，则的长为（ ）。
A: B: C: 或 D: 或
11.如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长。
12.如图所示，AB，CD是半径长为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为_____________。
13.如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．
14..如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．
（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；
（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；
16.如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由和直角围成，且点也在所在的圆上，已知，隧道的最高点离路面的距离，则该道路的路面宽 m；在上，离地面相同高度的两点，装有两排照明灯，若是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．