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第3章《 勾股定理》检测试卷（解析版）
一、选择题：本题共8题，每题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，
若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）
A．9 B．5 C．53 D．45
【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∴S1＝S2+S3．
∵S2＝7，S3＝2，
∴S1＝7+2＝9．
故选：A．
如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．
他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：在直角△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2．
∴AB=米．
则少走的距离是AC+BC AB=3+4-5=2米=4步，
故选：D．
若中、、的对边分别为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】、∵，
∴设三角形的三个内角度数分别为、、，
∴，
∴，故三角形三个内角的度数分别为、、，
∴三个角的度数之比为的三角形是直角三角形，不符合题意；
、∵，，
∴，则，
∴不能确定是否为，符合题意；
、∵
结合题意可设三角形的三条边分别为、、（为正数），
∵，
∴的三角形是直角三角形，不符合题意；
、∵，
∴，
∴三条边满足关系式的三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：．
4．如图，在△ABD中，∠D＝90°．C是BD上一点，已知CB＝7，AB＝15，AD＝9，则DC的长是（ ）
A．5 B．9 C．6 D．15
【答案】A
【解答】解：∵∠D＝90°，AB＝15，AD＝9，
∴由勾股定理得BD=12
∴DC＝BD﹣CB＝12﹣7＝5；
故选：A．
5．如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm
【答案】D
【分析】将圆柱展开，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，将圆柱展开：
∵圆柱高8cm，底面周长为12cm，
∴BC＝8cm，AC＝6cm，
根据勾股定理得：AB＝10（cm），
即爬行的最短路程是10cm，
故选：D．
如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，
折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CF=4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，
故选：D．
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
故选：D．
如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边，，
考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，
且扩充部分是以为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：如图1所示：①，
如图2所示：②，
如图3所示：③，
故选：．
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．）
9．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，故根据勾股定理求出另一直角边为，即可作答．
【详解】解：根据勾股定理，另一直角边（米），
∴（米），
则需要7米的地毯
故答案为：7
10 .如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中A、B、C、D的面积之和为16cm2，最大的正方形边长为 cm．
【答案】4
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积即16．
【详解】由勾股定理得，A、B的面积之和等于E的面积，A、B、C、D的面积之和等于E、F的面积之和，
∴E、F的面积之和等于最大的正方形G的面积，
∴最大的正方形G的面积为A、B、C、D的面积之和=16cm2，
∴最大的正方形边长为4cm，
故答案为4．
11．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是________
【答案】5cm2
【详解】由勾股定理得：斜边=5cm，
∴S阴影=5×1=5cm2，
如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，
则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为 ．
【答案】12米
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设旗杆米，则绳长米，利用勾股定理解即可．
【详解】解：设旗杆米，则绳长米，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
即旗杆的高度为12米，
故答案为：12米．
13．如图，在中，，于点D，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，由勾股定理得：AB=10
∵，
∴．
故答案为：．
14 .公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，
它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
如图，若，，则小正方形的面积是 ．
【答案】1
【分析】根据勾股定理可得的长度，根据四个直角三角形全等可得，进一步即可求出小正方形的边长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴由勾股定理，得AH=4
∵四个直角三角形全等
∴
∴
故小正方形的面积是：
故答案为：
如图所示，有一张长方形纸片，，．
现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出．
【详解】解：∵，，，
∴，
由折叠得：，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：3．
课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC=BC，
从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定定理证明，进而利用勾股定理，在中，，求出即可
【详解】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在中，
，
，
解得，，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共10个小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，，，，垂足分别为，．若，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明，得出，由勾股定理可得出答案．
【详解】，
在与中
在中，由勾股定理得：AB=10
18 .《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/时，
一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测仪正前方50米的处，
过了6秒后，测得小汽车的位置与车速检测仪之间的距离为130米，
这辆小汽车超速了吗？请说明理由.
【答案】小汽车超速了,理由见解析
【分析】先根据勾股定理得到BC=120米，再求出其速度即可得出答案.
【详解】由题意可知：米，米.
在中，是斜边，由勾股定理可得：
，即，
解得：米千米，
∵6秒小时，
∴速度为：（千米/时）.
∵72千米/时千米/时，
∴该小汽车超速了.
学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，
土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】学校征收这块地需要234000元．
【分析】
利用勾股定理进行综合计算即可．
【详解】
如图，连接AC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，，，，
由勾股定理得：．．
在中，，，
由勾股定理得：，．
所以四边形的面积为：．
（元）．
答：学校征收这块地需要234000元．
20.如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，
花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？
【答案】米．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案．
【详解】解：设为米，
∵在中，，，，
∴由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴湖水深为米．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长．
【分析】先证明AE＝BE，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：连接AE．
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝4．
设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2+32＝（4﹣x）2，
解得．
∴CE的长为．
22 .如图，一张矩形纸片，，，
将纸片折叠使点B落在边上的点E处，折痕为．
(1)求线段的长；
(2)求折痕的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质．
（1）根据翻折变换前后的两个图形全等的性质，得到，利用勾股定理求解即可；
（2）设，则，根据和勾股定理建立方程，解方程求出，再根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，且
∴，
∵，
∴，
解得，
∵
∴．
23．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意，______m，______m，______m；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
（1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则；
（2）设秋千的长度为，则 ，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
【详解】（1）由题意得：，，，
，，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，，；
（2），
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：
即，
解得：，
即秋千的长度是．
24 .如图，中，，，，为动点，
沿着的路径运动（再次到达点则停止运动），点的运动速度为秒，
设点运动时间为秒．
（1）当点在上运动时，若，则 ；
（2）若点与某一顶点的连线平分的周长，求的值．
【解答】解：（1），
，
解得：，
故当点在上运动时，若，则；
故答案为：3；
（2）中，，，，
由勾股定理，得AB=10
的周长，
①当点在上运动时，如图1，，
即，
解得：；
②当点在上运动时，如图2，，
即，
解得：；
③当点在上运动时，如图3，，
即，
解得：；
综上所述，的值是3或6或10．
我们新定文一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，
则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点
【特例感知】
①等腰直角三角形_______勾股高三角形（请填写“是"或“不是" ）；
②如图，已知三角形为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高.若，
试求的值
【深入探究】
如图.已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，，是边上的高,
试探究线段与的数量关系，并给予说明；
【推广应用】
如图，等腰三角形为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点作交边于点.若，试求线段的长度，
【答案】【特例感知】①是；②3；【深入探究】；【推广应用】
【分析】●特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断；②根据勾股定理可得：CB2=CD2+4，CA2=CD2+1，于是CD2=（CD2+4）-（CD2+1）=3，即可解决问题；
深入探究：由CA2-CB2=CD2可得：CA2-CD2=CB2，而CA2-CD2=AD2，即可推出AD2=CB2；
推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题.
【详解】特例感知:
①如图，△ABC是等腰直角三角形，
∵AB2-AC2=BC2=AC2，AC是BC边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形；
②在中，
根据勾股定理可得， ，
即
在中根据勾股定理可得，
，即.
因为为勾股高三角形，
所以，即
因为为勾股高三角形，
所以，
所以.
深入探究:
.说明如下：
因为为勾股高三角形，，
所以，
所以，
在中，
由勾股定理得，，
所以，
所以.
推广应用:
如图，过点作，垂足为，
因为等腰三角形为勾股高三角形，且， ，
所以，
由“深入研究”中的结论可知，.
因为，
所以.
又因为，
所以，
所以.
易知为等腰三角形，
所以.
因为，，
所以，
所以.
26．（1）【基础巩固】
如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）【变式训练】
如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）【拓展提高】
如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．
【答案】（1） （2）仍成立；理由见解析 （3）128
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据证明，得出，从而得到；
（2）根据证明，得出，从而得到；
（3）由勾股定理得，过点A作，交于点F，证明得，求出，由勾股定理求出，进而可求出的值．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）在中，，
∴
过点A作，交于点F，
∴
∴
∵在中，
∴
∴
又∵，
∴，
∴
∴
在中，
∴
∴
∴
∴
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第3章《 勾股定理》检测试卷
一、选择题：本题共8题，每题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1． 如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，
若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）
A．9 B．5 C．53 D．45
如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．
他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．1 B．2 C．3 D．4
若中、、的对边分别为，
下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4． 如图，在△ABD中，∠D＝90°．C是BD上一点，
已知CB＝7，AB＝15，AD＝9，则DC的长是（ ）
A．5 B．9 C．6 D．15
如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，
要爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm
如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，
折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边，，
考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，
且扩充部分是以为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．）
9．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．
10 . 如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中A、B、C、D的面积之和为16cm2，最大的正方形边长为 cm．
11．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是________
如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，
则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为 ．
如图，在中，，于点D，，则 ．
14 . 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，
它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
如图，若，，则小正方形的面积是 ．
如图所示，有一张长方形纸片，，．
现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ．
课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC=BC，
从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
三、解答题：（本大题共10个小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，，，，垂足分别为，．若，，求的长．
18 .《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/时，
一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测仪正前方50米的处，
过了6秒后，测得小汽车的位置与车速检测仪之间的距离为130米，
这辆小汽车超速了吗？请说明理由.
学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，
土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
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20.如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，
花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长．
22 .如图，一张矩形纸片，，，
将纸片折叠使点B落在边上的点E处，折痕为．
(1)求线段的长；
(2)求折痕的长．
23．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意，______m，______m，______m；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
24 .如图，中，，，，为动点，
沿着的路径运动（再次到达点则停止运动），点的运动速度为秒，
设点运动时间为秒．
（1）当点在上运动时，若，则 ；
（2）若点与某一顶点的连线平分的周长，求的值．
我们新定文一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，
则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点
【特例感知】
①等腰直角三角形_______勾股高三角形（请填写“是"或“不是" ）；
②如图，已知三角形为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高.若，
试求的值
【深入探究】
如图.已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，，是边上的高,
试探究线段与的数量关系，并给予说明；
【推广应用】
如图，等腰三角形为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点作交边于点.若，试求线段的长度，
26．（1）【基础巩固】
如图1，在和中，点D在线段上，，．
线段与的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）【变式训练】
如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）【拓展提高】
如图3，在和中，点D在线段上，
如果，，，．求的值．
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