请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
新九年级开学摸底考试卷 21．（10 分）
数 学·答题卡 (2)
姓名：
贴条形码区
1．答题前，考生先将自己的姓名、准
考证号填写清楚，并认真检查监考
员所粘贴的条形码。
(3) 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 准考证号
择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 (1) ______；
注
题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字
意
体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2)请把条形统计图和扇形统计图补充完整；
事
3．请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
项 内作答，超出区域书写的答案无 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(3)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
破。 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 (4) 5．正确填涂 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
缺考标记 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
22．（10 分）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 36 分）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
20．（8 分） 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [ D] 12 [A] [B] [C] [D]
（1）
二、填空题（每小题 分，共 分） 3 18
13．_________________ 14．________________ 15．_________________
16．__________________ 17．_________________ 18．__________________
三、解答题（共 66 分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8 分）
(1)
（2）
请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！
数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页）
学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出
黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
23．（10 分） 24 ．（10 分）
25．（10 分）
(1) ________； ________， ________；
(2)
(1) ________________，m=______， n =______；
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画 出二次函数 y = ax2 +bx+c的图象；
(3)①当 x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），该最值是______；
② y1 ______ y2 ；
③_____________________ ；
④_____________________.
(3)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！
数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页）中小学教育资源及组卷应用平台
参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C C C B C A C B B D D
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13． 14． 15．
16．0 17． 18．8
三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）【详解】(1)
，
，
x－1=±,
所以 （2分）
(2)
（4分）
（3）
（6分）
（4）由题知，
解得，（8分）
20．（8分）【详解】（1）证明：，，．
．
∵，
∴，即，
∴无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；（4分）
（2）解：∵，为方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，．（8分）
21．（10分）【详解】（1）解：名，
∴这次共抽取调查了40名学生；（2分）
（2）解：人，
∴选择C的人数为4人；
，
∴选择A的人数占比为 （6分）
补全统计图如下：
（8分）
（3）解：人，（10分）
∴估计七年级学生中对埃菲尔铁塔景点最感兴趣的有600人．
22．【详解】解：连接、，
∵分别与⊙O相切于点A、B，
∴，（2分）
∵，，
∴，（6分）
∴．（10分）
23．（10分）【详解】（1）解：由图象知，地和千垛景区相距千米，乙比甲慢出发1小时，比甲先到1小时；
故答案为：300；1，1；（3分）
（2）解：甲的速度为，乙的速度为，
设乙出发后x小时追上甲，则甲行驶的时间为小时，
由题意得：，
解得：，
即乙出发1.5后小时追上甲；（6分）
（3）解：甲出发，而乙未出发，两车相距，则乙行驶的时间为；
甲出发，与乙未相遇前，此时，甲在前，乙在后，相距，则乙行驶时间为，
由题意得：，
解得：；
甲乙相遇后乙未到终点前，乙在前，甲在后，相距，乙行驶时间为，
由题意得：，
解得：；
乙到终点，甲距终点，则甲行驶了，行驶时间为；
综上，或或或．（10分）
24．（10分）【详解】（1）解：将点、、代入得，
，解得，
∴该二次函数解析式为，
当时，，
当时，，
故答案为：，，；（3分）
（2）解：函数图象如图所示；
x 0 2 4 5
y 0 0
（4分）
（3）解：①由图可得，当时，函数值有最小值，最小值为，
故答案为：，小，；（7分）
②由图象可得，抛物线对称轴为，抛物线开口向上，
∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大，
∵点离对称轴较远，
∴，
故答案为：<；（8分）
③当时，，
∵抛物线对称轴为，
∴，即，
∴当时，x的值为、5，
故答案为：、5；（9分）
④∵抛物线的对称轴为，开口向上，
∴y的最小值是
由图可得，当时，则y的取值范围是，
故答案为：．（10分）
25．（10分）【详解】（1）解：由，得，
四边形正方形，
．
，；（4分）
（2）解：①，，，
，．
由平移知，四边形是正方形，得，．
四边形是矩形．
，，．
，
，．
，
．
．
当时，
．
（6分）
②当时，
由题意得，
解得或（舍去）；
当时，点与点N重合，
此时，
∴，
∴，
由题意得，
解得或（舍去）；
综上，的值是或．
故答案为：或．（10分）中小学教育资源及组卷应用平台
新九年级开学摸底考试卷数学试题（天津专用，人教版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列图形中是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程时，配方成的形式，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．无论m为何实数．直线与的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是
C．顶点坐标是 D．当时，有最大值是1
7．在平面直角坐标系中，把直线向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，小高进行如图步骤的尺规作图，根据操作，对结论判断正确的序号是（ ）
分别以B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于E、F，作直线分别交、于点D、G．
①；②平分；③；④．
A．②③④ B．① C．③④ D．①②④
11．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论：
①铺设草坪的面积可以是；
②种花的面积的最大值为；
③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13．已知点与关于原点对称，则 ．
14．计算的结果为 ．
15．如图，的图象上可以看出，当时，y的取值范围是 ．
16．已知是方程的一个根，则的值是 ．
17．如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为 ．
18．在中，AB是的直径，，，M是上一动点，的最小值是
．
三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）(1)（用配方法解）
(2)
(3)
(4)关于的一元二次方程 有实数根，求的取值范围.
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设，为方程的两个实数根，且，求的值．
21．（10分）第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日在法国巴黎市开幕，法国巴黎市是世界的“浪漫之都”，有许多著名的景点；其中的四个景点：A．埃菲尔铁塔、B．卢浮宫、C．凯旋门、D．塞纳河，深受游客的喜爱；为了了解同学们对这四个景点的感兴趣程度，某中学数学兴趣小组成员从该校七年级学生中随机抽取了若干名同学，调查他们在这四个景点中最感兴趣的一个（每名同学必选且只选一个景点），并将调查结果整理后绘制成如图所示的两个不完整的统计图．
学生最感兴趣的景点条形统计图 学生最感兴趣的景点扇形统计图
请根据条形统计图和扇形统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)这次共抽取调查了______名学生；
(2)请把条形统计图和扇形统计图补充完整；
(3)若该校七年级共有1500名学生，估计七年级学生中对埃菲尔铁塔景点最感兴趣的有多少人？
22．（10分）已知分别与⊙O相切于点A、B，，C为上一点．求的大小．
23．（10分）甲、乙两人周末开汽车从地出发去兴化千垛景区，乙临时有事，甲先出发．设甲行驶的时间为，甲、乙两人行驶的路程分别为与，右图是与关于的函数图像．根据图像进行以下研究：
(1)地和千垛景区相距________千米；乙比甲晚出发________小时，却早到________小时；
(2)乙出发后几小时追上甲？
(3)经过多长时间，两车相距50？（直接写出结果）
24．（10分）二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
… 0 m n …
(1)该二次函数解析式为______，______，______；
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)根据图象直接回答下列问题：①当______时，y有最______值（填“大”或“小”），该最值是______；②若该二次函数图象上有两点和，比较和的大小，其结果是：______；③当时，x的值为______；④当时，则y的取值范围是______.
25．（10分）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点．
(1)如图①，求点的坐标；
(2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为．
①如图②，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与轴，交于点，与交于点，试用含的式子表示；
②若平移后重合部分的面积为，则的值是_______（请直接写出结果即可）．中小学教育资源及组卷应用平台
新九年级开学摸底考试卷数学试题（天津专用，人教版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列图形中是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找到图形的对称中心，使图形绕着对称中心旋转后能够与原图形完全重合的即是中心对称图形．
【详解】解：A选项绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；
B选项绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；
C选项绕着圆心旋转能与原图形完全重合，是中心对称图形；
D选项绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；
故选C．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，能够利用中心对称图形的性质进行辨析是解决本题的关键．
2．用配方法解一元二次方程时，配方成的形式，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
因此，，
故选C．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
3．无论m为何实数．直线与的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=-x+4中，k=-1<0，b=4＞0，
∴函数图象经过一二四象限，
∴无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
4．如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】连接，利用圆周角定理得到，，然后利用三角形内角和计算的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用第三天进馆人次=第一天进馆人次×(1+平均增长率) ×(1+平均增长率)，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是
C．顶点坐标是 D．当时，有最大值是1
【答案】C
【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
【详解】解：由得，开口向上，选项A不符合题意；
对称轴为直线，故选项B错误；
顶点坐标为，选项C符合题意；
当时，有最小值为1，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，把直线向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的平移规则“左加右减，上加下减”，求解即可．
【详解】解：把直线向左平移一个单位长度，可得
故选：A
【点睛】此题考查了函数平移，解题的关键是掌握函数平移的规则．
8．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的折叠．熟练掌握矩形的性质及折叠的性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．根据矩形的性质及折叠的性质推出，得到，再根据勾股定理列得，求出的长．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
解得，．
故选：C．
9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
10．在中，，小高进行如图步骤的尺规作图，根据操作，对结论判断正确的序号是（ ）
分别以B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于E、F，作直线分别交、于点D、G．
①；②平分；③；④．
A．②③④ B．① C．③④ D．①②④
【答案】B
【分析】根据图中作图可得是的垂直平分线，所以是的是中线，可得，可判定①正确；再根据得不是的平分线，可判定②错误；根据是的垂直平分线，不是的垂直平分线，得，所以 ，可判定③错误；因为，，所以，可判定④错误．
【详解】解：由图中作图可知：是的垂直平分线，
∴，即是的是中线，
∴，故①正确；
在中，，
∴，
∴不是的平分线，故②错误；
∵是的垂直平分线，不是的垂直平分线，
∴，
∴ ，故③错误；
∵，，
∴，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作线段垂直平分线，熟练掌握等腰三角形三线合一的条件，三角形不等边对不等角，三角形外角的性质是解题的关键．
11．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论：
①铺设草坪的面积可以是；
②种花的面积的最大值为；
③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，结合图象表示出函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为
∴
则种花的面积的最大值为；故②正确
当时，即
即
∴，
∴铺设草坪的面积可以是；故①正确
当时，即
∴
解得：，故③正确，
故选：D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b，从而可判断答案．
【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13．已知点与关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】利用关于原点对称“横、纵坐标分别互为相反数”求得m的值．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称点的坐标变化规律是解题关键．
14．计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式运算，利用平方差公式展开后，由二次根式的性质即可求解；掌握，（）是解题的关键．
【详解】解：原式
；
故答案：．
15．如图，的图象上可以看出，当时，y的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据图象可直接进行求解．
【详解】解：由图象可知：当时，y的取值范围是；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
16．已知是方程的一个根，则的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查一元二次方程的解，整式的化简求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．由a是方程的一个根，推出．推出，整体代入求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴．
∴，
，
，
故答案为：0．
17．如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理及其逆定理等；连接、，由勾股定理得 ，，，由勾股定理逆定理得，是等腰直角三角形，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解；掌握相关性质及判定方法，根据题意构建出等腰直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
四边形是正方形，
∴，，，
，
，
，
同理可求：，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案：．
18．在中，AB是的直径，，，M是上一动点，的最小值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．作点C关于的对称点，连接与相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．
【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M，
此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合
由垂径定理，，
∴，
∵，为直径，
∴为直径，
即
∴的最小值是．
故答案为：8．
三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）(1)（用配方法解）
(2)
(3)
(4)关于的一元二次方程 有实数根，求的取值范围.
【答案】(1) ; (2) ;(3) ;(4)
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；
（2）移项后，运用因式分解法求解即可；
（3）运用因式分解法求解即可；
（4）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】(1)
，
，
x－1=±,
所以
(2)
（3）
（4）由题知，
解得，
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设，为方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式,即可得出，结合可得出，进而可证出：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
【详解】（1）证明：，，．
．
∵，
∴，即，
∴无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，为方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，熟练掌握以上知识解题的关键．
21．（10分）第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日在法国巴黎市开幕，法国巴黎市是世界的“浪漫之都”，有许多著名的景点；其中的四个景点：A．埃菲尔铁塔、B．卢浮宫、C．凯旋门、D．塞纳河，深受游客的喜爱；为了了解同学们对这四个景点的感兴趣程度，某中学数学兴趣小组成员从该校七年级学生中随机抽取了若干名同学，调查他们在这四个景点中最感兴趣的一个（每名同学必选且只选一个景点），并将调查结果整理后绘制成如图所示的两个不完整的统计图．
学生最感兴趣的景点条形统计图 学生最感兴趣的景点扇形统计图
请根据条形统计图和扇形统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)这次共抽取调查了______名学生；
(2)请把条形统计图和扇形统计图补充完整；
(3)若该校七年级共有1500名学生，估计七年级学生中对埃菲尔铁塔景点最感兴趣的有多少人？
【答案】(1)40
(2)见解析
(3)600人
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体等等：
（1）用选择D的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；
（2）分别求出选择C的人数和选择A的人数占比，进而补全统计图即可；
（3）用1500乘以样本中选择A的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：名，
∴这次共抽取调查了40名学生；
（2）解：人，
∴选择C的人数为4人；
，
∴选择A的人数占比为
补全统计图如下：
（3）解：人，
∴估计七年级学生中对埃菲尔铁塔景点最感兴趣的有600人．
22．（10分）已知分别与⊙O相切于点A、B，，C为上一点．求的大小．
【答案】
【分析】连接、，根据切线性质和四边形的内角和为可求得，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接、，
∵分别与⊙O相切于点A、B，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和为，熟练掌握切线的性质和圆周角定理，求得的度数是解答的关键．
23．（10分）甲、乙两人周末开汽车从地出发去兴化千垛景区，乙临时有事，甲先出发．设甲行驶的时间为，甲、乙两人行驶的路程分别为与，右图是与关于的函数图像．根据图像进行以下研究：
(1)地和千垛景区相距________千米；乙比甲晚出发________小时，却早到________小时；
(2)乙出发后几小时追上甲？
(3)经过多长时间，两车相距50？（直接写出结果）
【答案】(1)300；1，1
(2)乙出发1.5后小时追上甲
(3)或或或
【分析】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用；
（1）观察图象即可完成；
（2）由图象可得两人的速度，乙出发后x小时追上甲，根据两人行驶的距离相等建立方程即可求解；
（3）分四种情况：甲出发，而乙未出发；甲出发，与乙未相遇前；甲乙相遇后乙未到终点前；乙到终点，甲距终点；分别列方程即可求解．
【详解】（1）解：由图象知，地和千垛景区相距千米，乙比甲慢出发1小时，比甲先到1小时；
故答案为：300；1，1；
（2）解：甲的速度为，乙的速度为，
设乙出发后x小时追上甲，则甲行驶的时间为小时，
由题意得：，
解得：，
即乙出发1.5后小时追上甲；
（3）解：甲出发，而乙未出发，两车相距，则乙行驶的时间为；
甲出发，与乙未相遇前，此时，甲在前，乙在后，相距，则乙行驶时间为，
由题意得：，
解得：；
甲乙相遇后乙未到终点前，乙在前，甲在后，相距，乙行驶时间为，
由题意得：，
解得：；
乙到终点，甲距终点，则甲行驶了，行驶时间为；
综上，或或或．
24．（10分）二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
… 0 m n …
(1)该二次函数解析式为______，______，______；
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)根据图象直接回答下列问题：①当______时，y有最______值（填“大”或“小”），该最值是______；②若该二次函数图象上有两点和，比较和的大小，其结果是：______；③当时，x的值为______；④当时，则y的取值范围是______.
【答案】(1)，，
(2)作图见解析
(3)①，小，；②<；③、5；④
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再分别把、代入求值即可；
（2）利用五点法作图即可；
（3）根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】（1）解：将点、、代入得，
，解得，
∴该二次函数解析式为，
当时，，
当时，，
故答案为：，，；
（2）解：函数图象如图所示；
x 0 2 4 5
y 0 0
（3）解：①由图可得，当时，函数值有最小值，最小值为，
故答案为：，小，；
②由图象可得，抛物线对称轴为，抛物线开口向上，
∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大，
∵点离对称轴较远，
∴，
故答案为：<；
③当时，，
∵抛物线对称轴为，
∴，即，
∴当时，x的值为、5，
故答案为：、5；
④∵抛物线的对称轴为，开口向上，
∴y的最小值是
由图可得，当时，则y的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查画二次函数图象、用待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数图象是解题的关键．
25．（10分）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点．
(1)如图①，求点的坐标；
(2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为．
①如图②，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与轴，交于点，与交于点，试用含的式子表示；
②若平移后重合部分的面积为，则的值是_______（请直接写出结果即可）．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答；
（2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解；
②分当和时两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：由，得，
四边形正方形，
．
，；
（2）解：①，，，
，．
由平移知，四边形是正方形，得，．
四边形是矩形．
，，．
，
，．
，
．
．
当时，
．
②当时，
由题意得，
解得或（舍去）；
当时，点与点N重合，
此时，
∴，
∴，
由题意得，
解得或（舍去）；
综上，的值是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，二次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键．
