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第2章 实数 章末练习（22个知识点+44题练习）
知识点合集
知识点1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
知识点2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
知识点3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
知识点4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
知识点5．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
知识点6．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
知识点7．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
知识点8．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
知识点9．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点10．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点11．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
知识点12．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
知识点13．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
知识点14．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点15．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝ （a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
知识点16．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
知识点17．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝ （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： ＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 ＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
知识点18．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
知识点19．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
知识点20．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
知识点21．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
知识点22．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
试题练习
一．平方根
1．（2024春 邵东市月考）的平方根是 ．
2．（2023秋 耒阳市校级期末）已知的平方根为，的平方根为，求的平方根．
二．算术平方根
3．（2024春 岷县校级月考）下列各数中，16的算术平方根是
A．4 B． C． D．
4．（2023秋 青原区期末）求的算术平方根．
三．非负数的性质：算术平方根
5．（2024春 玉溪期中）已知，满足，那么的平方根是
A． B． C．1 D．
6．（2024春 崇川区校级月考）已知，则可求得的值是 ．
四．立方根
7．（2024春 瓦房店市期末）的立方根是 ．
8．（2024春 开州区期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根．
五．计算器—数的开方
9．（2024春 南康区期中）利用计算器，得，，，，按此规律，可得的值约为 ．
10．（2022 惠阳区校级开学）用计算器求下列各式的近似值（精确到
（1）；
（2）．
六．无理数
11．（2024春 柳州期末）下列四个数中，是无理数的是
A．3.14 B． C． D．0
12．（2024春 周口期末）请写出满足条件的一个无理数 ．
七．实数
13．（2023秋 泉港区期末）下列实数中的有理数是
A． B． C． D．
14．（2023秋 泉州期末）一个正数的两个平方根分别是与．
（1）求和正数的值．
（2）求的立方根．
八．实数的性质
15．（2024春 上思县月考）一个数的相反数是最大的负整数，则这个数的平方根是
A． B．1 C． D．0
16．（2024 海陵区一模）的相反数是 ．
九．实数与数轴
17．（2024春 民权县期末）如图，数轴上点表示的实数是，计算的值是 ．
18．（2024春 于都县期末）如图，实数表示的点为，实数表示的点为．请解答下列问题：
（1）若，的相反数为 ，的绝对值为 ；
（2）若，．
①求点到点的距离；
②若点是线段的中点，则求点在数轴上所对应的数 ．
一十．实数大小比较
19．（2023秋 双牌县期末）下列各式比较大小正确的是
A． B． C． D．
20．（2023秋 阜平县期末）【阅读】要想比较和的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则．
【应用】（1）若，在实数范围内比较大小： （填“”、“ ”或“” ；
【拓展】（2）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和，用含的式子表示和，并用作差法比较与的大小．
一十一．估算无理数的大小
21．（2024 兴隆台区三模）估计的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
22．（2024春 城厢区校级月考）若的小数部分为，的整数部分为，则的值为 ．
一十二．实数的运算
23．（2024 包头模拟）在实数范围内定义一种新运算“”，其规则是，如果，那么的值是
A． B． C． D．
24．（2024春 襄城县月考）计算：
（1）；
（2）．
一十三．二次根式的定义
25．（2024春 崆峒区期末）下列各式中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
26．（2024春 南昌期中）代数式是二次根式时，的取值范围是 ．
一十四．二次根式有意义的条件
27．（2024春 徐闻县校级月考）要使二次根式有意义，应满足的条件是 ．
28．（2024春 四平期末）已知：，求代数式的值．
一十五．二次根式的性质与化简
29．（2024 东港区校级三模）下列计算正确的是
A． B． C． D．
30．（2024春 海东市期末）（1）计算： 3 ， ， ； ；
（2）根据（1）中的计算结果可知， ；
（3）实数、在数轴上的位置如图，利用上述规律化简：．
一十六．最简二次根式
31．（2024春 崇左期末）下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
32．（2024春 徐闻县期末）化为最简二次根式： ．
一十七．二次根式的乘除法
33．（2024春 中山区校级期末）计算 ．
34．（2023秋 静安区校级期末）计算：．
一十八．分母有理化
35．（2023秋 普陀区期末）的有理化因式是
A． B． C． D．
36．（2024春 武昌区校级期中）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）．
一十九．同类二次根式
37．（2024春 泗水县校级月考）下列二次根式中，与不属于同类二次根式的是
A． B． C． D．
38．（2024春 阿荣旗校级月考）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
二十．二次根式的加减法
39．（2024春 长乐区期末）计算： ．
40．（2024春 铁锋区期末）（1）计算：；
（2）化简：．
二十一．二次根式的混合运算
41．（2024 咸安区模拟）下列运算正确的是
A． B． C． D．
42．（2024春 孟村县月考）（1）计算：
（2）先阅读，再解答
由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
①的有理化因式是 ；
②请利用上面的知识化去式子分母中的根号：．
二十二．二次根式的化简求值
43．（2023秋 河北期末）在解决问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
44．（2023秋 丹江口市期末）已知，，那么代数式的值 ．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 实数 章末练习（22个知识点+44题练习）
知识点合集
知识点1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
知识点2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
知识点3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
知识点4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
知识点5．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
知识点6．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
知识点7．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
知识点8．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
知识点9．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点10．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点11．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
知识点12．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
知识点13．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
知识点14．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点15．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝ （a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
知识点16．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
知识点17．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝ （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： ＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 ＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
知识点18．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
知识点19．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
知识点20．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
知识点21．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
知识点22．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
试题练习
一．平方根
1．（2024春 邵东市月考）的平方根是 ．
【分析】根据平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：，
的平方根为，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2023秋 耒阳市校级期末）已知的平方根为，的平方根为，求的平方根．
【分析】先根据题意得出，，然后解出，，从而得出，所以的平方根为．
【解答】解：的平方根为，的平方根为，
，，
解得：，，
，
的平方根为．
【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
二．算术平方根
3．（2024春 岷县校级月考）下列各数中，16的算术平方根是
A．4 B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义：一般地说，若一个非负数的平方等于，则叫做的算术平方根求解即可．
【解答】解：，
的算术平方根的是4，
故选：．
【点评】本题考查算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．
4．（2023秋 青原区期末）求的算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：，
的算术平方根为．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
三．非负数的性质：算术平方根
5．（2024春 玉溪期中）已知，满足，那么的平方根是
A． B． C．1 D．
【分析】利用算术平方根的定义以及偶次方的性质得出，的值，再利用平方根的定义求出答案．
【解答】解：，满足，
，，
，
的平方根是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了平方根以及算术平方根的定义以及偶次方的性质，得出，的值是解题关键．
6．（2024春 崇川区校级月考）已知，则可求得的值是 1 ．
【分析】先根据非负数的性质得到，解方程组得到，据此代值计算即可得到答案．
【解答】解：，
，
，
解得，
，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了非负数的性质：算术平方根，非负数的性质：偶次方，解答本题的关键是熟练掌握消元的方法：代入消元法与加减消元法．
四．立方根
7．（2024春 瓦房店市期末）的立方根是 2 ．
【分析】一个数的立方等于，那么这个数即为的立方根，先求得的值，然后根据立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：，
，
的立方根是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根及立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．（2024春 开州区期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根．
【分析】根据题意可以求得、的值，从而可以求得的立方根．
【解答】解：的平方根是
，
解得，，
的算术平方根是4，，
，
，
解得，，
，
的立方根是2．
【点评】本题考查立方根、平方根、算术平方根，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
五．计算器—数的开方
9．（2024春 南康区期中）利用计算器，得，，，，按此规律，可得的值约为 22.36 ．
【分析】由已知数据得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此求解可得．
【解答】解：由题意知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
，
，
故答案为：22.36．
【点评】本题主要考查计算器数的开方，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律．
10．（2022 惠阳区校级开学）用计算器求下列各式的近似值（精确到
（1）；
（2）．
【分析】利用计算器计算后按要求取近似值可得．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查计算器数的开方，解题的关键是掌握计算器的使用．
六．无理数
11．（2024春 柳州期末）下列四个数中，是无理数的是
A．3.14 B． C． D．0
【分析】根据有理数和无理数的定义，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：对于选项，3.14是有理数，不合题意；
对于选项，是有理数，不合题意；
对于选项，是无理数，符合题意；
对于选项，0是有理数，不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的意义，熟练掌握有理数和无理数的定义是解决问题的关键．
12．（2024春 周口期末）请写出满足条件的一个无理数 （答案不唯一） ．
【分析】根据无理数的概念和取值范围即可求解．
【解答】解：，
，
无理数可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数的概念和实数的大小比较，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
七．实数
13．（2023秋 泉港区期末）下列实数中的有理数是
A． B． C． D．
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．
【解答】解：、是无理数，故错误；
、是无理数，故错误；
、是有理数，故正确；
、是无理数，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数．
14．（2023秋 泉州期末）一个正数的两个平方根分别是与．
（1）求和正数的值．
（2）求的立方根．
【分析】（1）根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有，解方程得，即一个正数的两个平方根分别为和1，利用平方根的定义即可得到这个正数；
（2）根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：（1）一个正数的两个平方根分别为和，
，
，
这个正数为．
；
（2），，
，
的立方根为．
【点评】本题考查了平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键．
八．实数的性质
15．（2024春 上思县月考）一个数的相反数是最大的负整数，则这个数的平方根是
A． B．1 C． D．0
【分析】由于最大的负整数是，本题即求的相反数，进而求其平方根．
【解答】解：最大的负整数是，的相反数），
则的相反数是1，则这个数是1，1的平方根是，
这个数的平方根是．
故选：．
【点评】本题考查了实数的性质，平方根，正确掌握相关定义是解题的关键．
16．（2024 海陵区一模）的相反数是 ．
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
【解答】解：的相反数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
九．实数与数轴
17．（2024春 民权县期末）如图，数轴上点表示的实数是，计算的值是 ．
【分析】根据勾股定理，求出，再计算的值即可．
【解答】解：，
点表示的实数是，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，从数轴上获取有用信息是解题的关键．
18．（2024春 于都县期末）如图，实数表示的点为，实数表示的点为．请解答下列问题：
（1）若，的相反数为 ，的绝对值为 ；
（2）若，．
①求点到点的距离；
②若点是线段的中点，则求点在数轴上所对应的数 ．
【分析】（1）运用实数相反数、绝对值进行求解；（2）①根据数轴上两点间距离是表示该两点实数差的绝对值进行求解；②运用求表示点，的实数的平均数进行求解．
【解答】解：（1）由题意得，的相反数为，的值为，故答案为：；；（2）①，
，
即点到点的距离是，
故答案为：；②点是线段的中点，点在数轴上所对应的数为：，
故答案为：．
【点评】此题考查了实数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用实数相反数、绝对值、数轴表示等知识进行正确地求解．
一十．实数大小比较
19．（2023秋 双牌县期末）下列各式比较大小正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较．
【解答】解：、，，故本选项正确；
、，，，，，，故本选项错误；
、，，故本选项正确；
、，，故本选项错误．
故选：．
【点评】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小．
20．（2023秋 阜平县期末）【阅读】要想比较和的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则．
【应用】（1）若，在实数范围内比较大小： （填“”、“ ”或“” ；
【拓展】（2）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和，用含的式子表示和，并用作差法比较与的大小．
【分析】（1）作差，根据完全平方公式即可作出判断；
（2）分别求出，，然后作差，根据是正整数即可做出判断；
【解答】解：（1），
，
，
故答案为：；
（2），
，
．
，
，
．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，整式的加减，偶次方的非负性，用作差法比较两个代数式的大小等，熟练掌握偶次方的非负性是解题的关键．
一十一．估算无理数的大小
21．（2024 兴隆台区三模）估计的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出答案．
【解答】解：由于，即，
所以的值在3和4之间，
故选：．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
22．（2024春 城厢区校级月考）若的小数部分为，的整数部分为，则的值为 ．
【分析】根据，，确定，的值代入计算即可解题．
【解答】解：，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．
一十二．实数的运算
23．（2024 包头模拟）在实数范围内定义一种新运算“”，其规则是，如果，那么的值是
A． B． C． D．
【分析】按照定义的新运算可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
24．（2024春 襄城县月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先根据除法的性质计算，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此类问题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
一十三．二次根式的定义
25．（2024春 崆峒区期末）下列各式中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答．
【解答】解：．没有意义，故该选项不符合题意；
．是三次根式，故该选项不符合题意；
．是二次根式，故该选项符合题意；
．当时，是二次根式，当时，无意义，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
26．（2024春 南昌期中）代数式是二次根式时，的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
一十四．二次根式有意义的条件
27．（2024春 徐闻县校级月考）要使二次根式有意义，应满足的条件是 ．
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：二次根式有意义，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
28．（2024春 四平期末）已知：，求代数式的值．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而得出答案．
【解答】解：，，
，
，
，
原式．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出，的值是解题关键．
一十五．二次根式的性质与化简
29．（2024 东港区校级三模）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：，本选项错误；
．，本选项正确；
，本选项错误；
，本选项错误；
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，熟记二次根式的性质是解答此题的关键．
30．（2024春 海东市期末）（1）计算： 3 ， ， ； ；
（2）根据（1）中的计算结果可知， ；
（3）实数、在数轴上的位置如图，利用上述规律化简：．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）观察（1）中的结果，即可得出结论；
（3）由数轴可得：，进一步判断出，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1），，，，
故答案为：3，6，，0；
（2）由（1）中的计算结果可知：，
故答案为：；
（3）由数轴可得：，
，
．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
一十六．最简二次根式
31．（2024春 崇左期末）下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式满足的条件对各选项进行判断．
【解答】解：，，，
只有为最简二次根式．
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式：把满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
32．（2024春 徐闻县期末）化为最简二次根式： ．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．
一十七．二次根式的乘除法
33．（2024春 中山区校级期末）计算 ．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
34．（2023秋 静安区校级期末）计算：．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．
一十八．分母有理化
35．（2023秋 普陀区期末）的有理化因式是
A． B． C． D．
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．
【解答】解：，
所以的有理化因式是，
故选：．
【点评】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键．
36．（2024春 武昌区校级期中）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）．
【分析】（1）根据完全平方公式把要求的式子进行变形，然后代值计算即可得出答案；
（2）根据平方差公式把要求的式子进行变形，然后代值计算即可得出答案．
【解答】解：（1），，
；
（2）．
【点评】此题考查了分母的有理化，用到的知识点是完全平方公式和平方差公式，解题的关键是根据给出的式子进行变形．
一十九．同类二次根式
37．（2024春 泗水县校级月考）下列二次根式中，与不属于同类二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】先把各个选项化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同，即可作答．
【解答】解：、与的被开方数是相等的，不符合题意；
、与的被开方数是相等的，不符合题意；
、与的被开方数是相等的，不符合题意；
、与的被开方数是不相等的，符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
38．（2024春 阿荣旗校级月考）若与最简二次根式是同类二次根式，则 2 ．
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：，
又是最简二次根式，
根据同类二次根式的性质有：，
解得．
故答案为：2．
【点评】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，难度一般．
二十．二次根式的加减法
39．（2024春 长乐区期末）计算： ．
【分析】直接利用合并同类二次根式法则求出即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
40．（2024春 铁锋区期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并即可；
（2）先化简各二次根式，再合并即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算法则是解本题的关键．
二十一．二次根式的混合运算
41．（2024 咸安区模拟）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、与不能合并，不符合题意；
、，不符合题意；
、，符合题意；
，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
42．（2024春 孟村县月考）（1）计算：
（2）先阅读，再解答
由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
①的有理化因式是 ；
②请利用上面的知识化去式子分母中的根号：．
【分析】（1）按照二次根式的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（2）①按题中材料进行求解即可；
②将所求式子分母有理化，然后化简即可．
【解答】解：（1）
；
（2）①，
的有理化因式是，
故答案为：；
②，
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，读懂题中材料是解题的关键．
二十二．二次根式的化简求值
43．（2023秋 河北期末）在解决问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：，，
，故甲同学的说法正确；
，故丙同学的说法正确；
，故乙同学的说法正确．
故选：．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，由结论可以写出推导过程．
44．（2023秋 丹江口市期末）已知，，那么代数式的值 ．
【分析】先计算出和的值，再把因式分解得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
