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第2章 一元二次方程 章末练习（12个知识点+40题练习）
知识点合集
知识点1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
知识点4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
知识点6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
知识点8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
知识点11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
知识点12．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
试题练习
一．一元二次方程的定义
1．（2024春 贺州期末）已知是关于的一元二次方程，则的值为
A． B．0 C．3 D．或3
2．（2024春 宁波期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
3．（2024春 池州校级月考）关于的方程，
（1）当满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
二．一元二次方程的一般形式
4．（2024春 淮北期末）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是
A．9，3 B．9， C．， D．，3
5．（2024春 南岗区校级月考）一元二次方程的一般形式为 ．
6．（2022秋 海东市期中）关于的一元二次方程化为一般形式后为，试求，的值．
三．一元二次方程的解
7．（2024 白云区模拟）若一元二次方程的一根为，则的值为
A． B．0 C．1或 D．2或0
8．（2024 大田县一模）若是方程的根，则代数式的值是 ．
9．（2024 广东三模）（1）解不等式组：；
（2）若（1）中不等式组的整数解是关于的一元二次方程的一个解，求的值．
10．（2024 潮阳区一模）先化简，再求值：，其中是方程的根．
四．解一元二次方程-直接开平方法
11．（2023秋 醴陵市期末）方程：的解是
A． B． C．， D．
12．（2023秋 澄城县期末）一元二次方程的两根分别是 ．
13．（2023秋 信丰县期末）解方程．
五．解一元二次方程-配方法
14．（2024春 莒南县期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为
A． B．10 C． D．9
15．（2023秋 东城区期末）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 ．
16．（2024春 太湖县期末）用配方法解方程，．
17．（2024 滨江区二模）（1）解方程：；
（2）解不等式：．
六．解一元二次方程-公式法
18．（2024 武都区校级二模）方程的一个根是
A． B． C． D．
19．（2024 海陵区一模）一元二次方程的解是 ．
20．（2023秋 酒泉期末）解方程：
（1）；
（2）．
七．解一元二次方程-因式分解法
21．（2024 张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为，；则这个方程为
A． B． C． D．
22．（2024春 任城区期末）小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
23．（2023秋 定州市期末）方程的解是
A． B． C．， D．，
24．（2024 齐齐哈尔一模）解方程：．
八．根的判别式
25．（2024 武威三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B．且 C．且 D．
26．（2024春 剑阁县月考）如果关于的一元二次方程为常数）有两个实数根，那么的取值范围是 ．
27．（2024 云梦县模拟）关于的一元二次方程没有实数根，写出一个符合条件的整数的值为 ．
28．（2024 乐山模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根为负数，求的取值范围．
九．根与系数的关系
29．（2024 博山区三模）若，是方程的两个根，则
A． B． C． D．
30．（2024 樊城区二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
31．（2024 遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
一十．由实际问题抽象出一元二次方程
32．（2024 金凤区校级一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是
A． B．
C． D．
33．（2024 渝中区模拟）某小区新增了一家快递店，据统计第一天揽件216件，第三天揽件253件．若设第二天，第三天的日平均增长率为，则可列方程为 ．
34．（2022秋 扶沟县校级期末）某市政府为落实“保障性住房政策”，2018年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2020年底，将累计投入13.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2020年底，这两年中投入资金的年平均增长率．（只列方程）
（2）设（1）中方程的两根分别为，，且的值为18，求的值．
一十一．一元二次方程的应用
35．（2024春 任城区期末）在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
36．（2024 武侯区校级一模）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当矩形的长和宽分别为3和2时，其“加倍矩形”的外接圆半径为 ．
37．（2024 金平区二模）2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，其中大运会吉祥物蓉宝广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套40元的价格购进一批蓉宝．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．设蓉宝每套的售价定为元，该商品销售量套．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若每天销售所获的利润为到4800元，求的值．
一十二．配方法的应用
38．（2024 宣城模拟）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是
A． B． C． D．
39．（2024 灌云县二模）已知，则的最小值为 ．
40．（2024春 相城区校级期末）阅读材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知等腰的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长；
（3）已知，，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元二次方程 章末练习（12个知识点+40题练习）
知识点合集
知识点1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
知识点4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
知识点6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
知识点8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
知识点11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
知识点12．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
试题练习
一．一元二次方程的定义
1．（2024春 贺州期末）已知是关于的一元二次方程，则的值为
A． B．0 C．3 D．或3
【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于的一元一次不等式及关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出的值．
【解答】解：是关于的一元二次方程，
，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2．（2024春 宁波期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：，，
，
解得：，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．（2024春 池州校级月考）关于的方程，
（1）当满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：（1）关于的方程是一元二次方程，
，
，
所以时关于的方程是一元二次方程；
（2）关于的方程是一元一次方程，
且，
，
时关于的方程是一元一次方程．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
二．一元二次方程的一般形式
4．（2024春 淮北期末）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是
A．9，3 B．9， C．， D．，3
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：，
，
所以一次项系数、常数项分别为、3，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
5．（2024春 南岗区校级月考）一元二次方程的一般形式为 ．
【分析】首先去括号，然后移项，把等号右边化为0，再合并同类项即可．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
6．（2022秋 海东市期中）关于的一元二次方程化为一般形式后为，试求，的值．
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为，于是得到，，然后解方程得到、的值．
【解答】解：，
，
所以，，
解得，．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
三．一元二次方程的解
7．（2024 白云区模拟）若一元二次方程的一根为，则的值为
A． B．0 C．1或 D．2或0
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2024 大田县一模）若是方程的根，则代数式的值是 2023 ．
【分析】根据方程的根的定义可得，结合题意得到，所以在方程的两边同时除以，依此求得的值，从而求得答案．
【解答】解：是方程的根，
．
当时，不成立，
．
在方程的两边同时除以，得
．
．
．
故答案为：2023．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是掌握使方程等号两边相等的未知数的值是方程的解．
9．（2024 广东三模）（1）解不等式组：；
（2）若（1）中不等式组的整数解是关于的一元二次方程的一个解，求的值．
【分析】（1）求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可；
（2）判断出方程的解是1，可得结论．
【解答】解：（1），
由①得，，
由②得，，
；
（2）由题意，是的一个解，
，
．
【点评】本题考查二次方程的解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握不等式组的解法．
10．（2024 潮阳区一模）先化简，再求值：，其中是方程的根．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式，然后根据一元二次方程解的定义得到，最后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：原式
，
是方程的根，
，
即，
原式．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
四．解一元二次方程-直接开平方法
11．（2023秋 醴陵市期末）方程：的解是
A． B． C．， D．
【分析】这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求25的平方根．
【解答】解：移项得，，．故选：．
【点评】法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12．（2023秋 澄城县期末）一元二次方程的两根分别是 ， ．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：，
移项得，，
解得，，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．熟练掌握解一元二次方程的直接开平方法是解决问题的关键．
13．（2023秋 信丰县期末）解方程．
【分析】根据直接开方法解方程即可．
【解答】解：
，．
【点评】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握直接开方法．
五．解一元二次方程-配方法
14．（2024春 莒南县期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为
A． B．10 C． D．9
【分析】利用配方法将方程配成，然后求出的值即可．
【解答】解：，
，
，
即，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
15．（2023秋 东城区期末）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 10 ．
【分析】方程配方得到结果，即可确定出的值．
【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，即，
则．
故答案为：10．
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．（2024春 太湖县期末）用配方法解方程，．
【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：，
移项，得，
，
配方，得，即，
开方，得，
解得：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
17．（2024 滨江区二模）（1）解方程：；
（2）解不等式：．
【分析】（1）配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解出不等式即可．
【解答】解：（1），
，即，
，
，．
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
化系数为1，得：．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的解法、配方法解一元二次方程，掌握解一元一次不等式的一般步骤、配方法的一般步骤是解题的关键．
六．解一元二次方程-公式法
18．（2024 武都区校级二模）方程的一个根是
A． B． C． D．
【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．
【解答】解：，，，
△，
则，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
19．（2024 海陵区一模）一元二次方程的解是 ， ．
【分析】，，，△，然后代入求根公式进行计算即可．
【解答】解：，，，
△，
，
所以，．
故答案为，．
【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式为：；用求根公式求解时，先要把方程化为一般式，确定，，的值，计算出△，然后代入公式．
20．（2023秋 酒泉期末）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，再因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1），
，
即；．
（2），
，
，
即．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
七．解一元二次方程-因式分解法
21．（2024 张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为，；则这个方程为
A． B． C． D．
【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．
【解答】解：方程两根分别为，，
，，
方程为．
把方程的右边分解因式得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分解因式法解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．两根之和是，两根之积为．
22．（2024春 任城区期末）小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
【分析】由因式分解法解一元二次方程步骤因式分解即可求出．
【解答】解：，
，
，
，，
，，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解，本题的方程有些学生容易在方程两边除以，求出，忽略的情况，造成错解方程．
23．（2023秋 定州市期末）方程的解是
A． B． C．， D．，
【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
24．（2024 齐齐哈尔一模）解方程：．
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：，
，
则或，
解得，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
八．根的判别式
25．（2024 武威三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B．且 C．且 D．
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，△，
解得：且．
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
26．（2024春 剑阁县月考）如果关于的一元二次方程为常数）有两个实数根，那么的取值范围是 ．
【分析】利用判别式的意义得到△且，然后解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得△且，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
27．（2024 云梦县模拟）关于的一元二次方程没有实数根，写出一个符合条件的整数的值为 （答案不唯一） ．
【分析】先根据根和的判别式得出△，求出，再找出一个符合的数即可．
【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根，
△，
，
取．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，能根据根的判别式得出是解此题的关键．
28．（2024 乐山模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根为负数，求的取值范围．
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得的取值范围．
【解答】（1）证明：，，，
△
．
对任意实数，，
对任意实数，方程总有两个实数根；
（2）解：，
，．
方程的一根为负数，
，
．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
九．根与系数的关系
29．（2024 博山区三模）若，是方程的两个根，则
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，进行判断即可．
【解答】解：，是方程的两个根，
，．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．
30．（2024 樊城区二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 0 ．
【分析】根据题意可得，，即可解答．
【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次函数的根，一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题的关键．
31．（2024 遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
【分析】（1）先确定、、，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论；
（2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于的方程，求解即可．
【解答】解：（1），
这里，，，
△
．
，
△．
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为，，
则，．
，即，
．
整理，得．
．
解得，．
的值为或1．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键．
一十．由实际问题抽象出一元二次方程
32．（2024 金凤区校级一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
33．（2024 渝中区模拟）某小区新增了一家快递店，据统计第一天揽件216件，第三天揽件253件．若设第二天，第三天的日平均增长率为，则可列方程为 ．
【分析】利用第三天揽件数量第一天揽件数量该快递店揽件日平均增长率），即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：第一天揽件216件，第三天揽件253件，设该快递店揽件的日平均增长率是，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是要找到等量关系，同时要注意增长率问题的一般规律．
34．（2022秋 扶沟县校级期末）某市政府为落实“保障性住房政策”，2018年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2020年底，将累计投入13.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2020年底，这两年中投入资金的年平均增长率．（只列方程）
（2）设（1）中方程的两根分别为，，且的值为18，求的值．
【分析】（1）等量关系为：2018年某市用于保障房建设资金增长率）年用于保障房建设资金，把相关数值代入求得合适的解即可．
（2）利用上题得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得的值即可．
【解答】解：（1）设到2020年底，这两年中投入资金的平均年增长率为，
根据题意得：；
（2）由（1）得，，
由根与系数的关系得，，，
又，，，，
解得，或．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
一十一．一元二次方程的应用
35．（2024春 任城区期末）在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【分析】设参加聚会的同学有人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加聚会的同学有人，则每人需赠送出份礼物，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
参加聚会的同学有10人．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
36．（2024 武侯区校级一模）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当矩形的长和宽分别为3和2时，其“加倍矩形”的外接圆半径为 ．
【分析】设“加倍矩形”的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，列出一元二次方程，解方程得出“加倍矩形”的长和宽，再根据勾股定理求出对角线的长，即可解决问题．
【解答】解：设“加倍矩形”的长为，则宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
即“加倍”的长为，宽为，
“加倍矩形”的外接圆如图：
矩形的对角线即为外接圆的直径，
四边形是矩形，
，
，
“加倍矩形”的外接圆半径为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及三角形的外接圆，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
37．（2024 金平区二模）2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，其中大运会吉祥物蓉宝广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套40元的价格购进一批蓉宝．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．设蓉宝每套的售价定为元，该商品销售量套．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若每天销售所获的利润为到4800元，求的值．
【分析】（1）利用日销售量，即可找出与之间的函数关系式；
（2）利用总利润每套的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，
即；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：的值为80或100．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
一十二．配方法的应用
38．（2024 宣城模拟）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】由题意①，②可知，①②得，即，①②得，即．再用作差法进行比较、、的大小．，，因此．
【解答】解：①，②，
①②得，即，
①②得，即．
，
．
又，
，
．
故选：．
【点评】此题考查的是用作差的方法比较大小，掌握完全平方公式是解题的关键．
39．（2024 灌云县二模）已知，则的最小值为 ．
【分析】先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解．
【解答】解：，
当时，取得最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是得到．
40．（2024春 相城区校级期末）阅读材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知等腰的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长；
（3）已知，，求的值．
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．
【解答】解：（1），
，
，
，，
解得，，
则；
（2），
，
，
则，，
解得，，，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
的周长为；
（3），
，
则，
，
，
则，，
解得，，，
．
【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．
