第二章 一元二次方程 积累与提高课件(共36张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

(共36张PPT)
北师大版九年级数学上册课件
第二章 一元二次方程
积累与提高
只含有一个未知数
未知数的最高次数为2
是整式方程
降次
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
1.一元二次方程必须满足三个条件：①___________________；②______________________；③_____________.
2.解一元二次方程的基本思想是_______，基本方法有_______________，_______，_________，_____________.
3.一元二次方程 的求根公式为 ____________ .
名师讲解
4.一元二次方程 的根与判别式的关系：
当 时，方程有_____________的实数根；
当 时，方程有___________的实数根；
当 时，方程_____________.
两个不相等
两个相等
没有实数根
5.若一元二次方程 的两根为 ， ，则 ______， ____.
（1）弄清题意，确定适当的未知数；
（2）寻找等量关系；
（3）列出方程，注意方程两边的代数式的单位要相同；
（4）解方程，检验并写出答案.
6.列一元二次方程解应用题的一般步骤：
例1 关于 的一元二次方程 的一个根为0，则 ____.
【点拨】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到 且 ，然后解不等式和方程即可得到 的值.
对于含有字母系数的一元二次方程问题，要注意二次项系数不为0及未知数的最高次幂为2这两个条件，如已知方程的根，通常先将根代入方程，构建含字母系数的方程，进而求出字母系数的值，但此时要格外注意一元二次方程存在的前提条件，即排除二次项系数为0的情况.
例2 解方程：
（1） ；
【点拨】运用公式法或配方法求解；
【解】 ， ， ，
，方程有两个不相等的实数根.
.
， .
（2） .
【点拨】移项后提取公因式 ，再利用因式分解法求解.
移项，得 .
整理，得 .
解得 ， .
根据方程特点，选择适当的求根方法：
①若方程具有 的形式，可用直接开平方法求解；
②若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积，可用因式分解法求解；
③公式法是一种最常用的方法，使用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定 ， ， 的值，在 的条件下代入公式求解；
④当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法比较简单.
例3 已知关于 的一元二次方程 .
（1） 若方程有实数根，求实数 的取值范围；
【点拨】若一元二次方程有实数根，则根的判别式 ，由此建立关于 的不等式，求出 的取值范围；
【解】 方程 有实数根，
.
.
（2） 若方程的两实数根为 ， ，且满足 ，求实数 的值.
【点拨】由根与系数的关系可得到 ，再将已知条件变形易得出结果.
，
.
.
把 代入 ，
得 ，
解得 ，且满足 .
实数 的值为 .
本题考查了一元二次方程 的根的判别式 .当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根.也考查了一元二次方程根与系数的关系.解题的关键是熟记两根之和、两根之积与系数的关系.
例4 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知该商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
【点拨】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×销售件数，理解商品的销售件数与商品售价的关系是解答本题的关键.可设降价 元，表示出售价和销售量，列出方程求解，并要注意判断所求的解是否符合题意，不合题意的解应舍去.
【解】设降价 元，则销售单价为 元，销售量为 件.
根据题意得
.
解得 ， .
又顾客得实惠，故取 ，即定价为56元.
答：应将销售单价定为56元.
数学来源于生活，又应用于生活.当前的纳税、利息、分期付款、销售利润等问题，通常都与一元二次方程有关.解答这类问题时，不论背景如何变化，一定要抓住问题的本质，寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程的解进行合理的取舍.
易错示例 关于 的方程 的两根的平方和是5，则 的值是
( )
或5 B. C. D.
【错解】A
D
【点拨】解题时容易忽略题目中的隐含条件 ，而导致解答错误.
1. 一元二次方程 配方后可变形为( )
A. B. C. D.
C
2. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两个根，则该等腰三角形的周长是( )
A. B. C. D. 或9
A
3. 已知 ， 是关于 的方程 的两个根，下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D. ，
A
4. 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为______.
5. 若矩形 的两邻边长分别为一元二次方程 的两个实数根，则矩形 的对角线长为____.
5
6. 解方程.
（1） ；
解： ，
因式分解，得 ，
， .
（2） .
，
配方，得 ，
开平方，得 .
， .
7. 为了让学生亲身感受城市的变化，某中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动.某旅行社推出了如下收费标准：①如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；②如果超过30人，那么每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元.该班实际一共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
解： ，
该班参加研学游活动的学生数超过30人.
设九（1）班共有 人去旅游，则人均费用为 元，由题意得：
.
整理得 ，解得 ， .
当 时，人均旅游费用为 ，符合题意；
当 时，人均旅游费用为 ，不符合题意，应舍去.
答：该班共有35名同学参加了研学游活动.
8. 已知关于 的一元二次方程 .
（1） 求证：不论 为何值，方程总有实数根；
证明：
.
不论 为何值， ，
.
方程总有实数根.
（2） 当 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
解：解方程，得 ，
即 ， .
该方程有两个不相等的正整数根，
.
9. 李明准备进行如下操作试验，把一根长 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.
（1） 要使这两个正方形的面积之和等于 ，李明应该怎么剪这根铁丝？
当 时，较长的这段长 ；
当 时，较长的这段长 (舍去).
答：李明应该把铁丝剪成长分别为 和 的两段.
解：设剪成的较短的这段长 ，则较长的这段长 .由题意，得
.
解得 ， .
（2） 李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 ，你认为他的说法正确吗？请说明理由.
李明的说法正确.理由如下：
设剪成的较短的这段长 ，则较长的这段长 .由题意，得
.
变形为 .
，
原方程无实数根.
李明的说法正确，即这两个正方形的面积之和不可能等于 .
10. 已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 .
（1） 求 的值；
解： ， 是方程 的两个根，
， .
，
，解得 ， .
当 时， ，
不合题意，舍去；
当 时， ，
符合题意.
的值为 .
（2） 求 的值.
， .
.
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