(共19张PPT)
第一章 安培力与洛伦兹力
8
专题：带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题
2
会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.
1
会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题.
重难点
重难点
带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解.
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长.
(3)速度v不同，比荷相同的粒子在同一磁场内周期相同，运动的圆心角越大，运动时间越长.
观察与思考
1.(2022·泸西县期中)如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向跟CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，忽略重力，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是
√
电子从EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度与EF平行，轨迹与EF相切，电子运动轨迹如图所示；
由几何知识得：R＋Rcos θ＝d
电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
电子要从EF边界射出，电子速度：v＞ ，故A正确，B、C、D错误.
2.(2021·宜宾市期末)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.(cos 53°＝0.6)
(1)若电子以速率v，从实线圆外沿半径方向射入磁场，为使电子不能进入内部无磁场区域，求磁场的磁感应强度最小值；
电子在磁场中做匀速圆周运动，如图甲所示，为使该电子不进入图中虚线圆围成的区域内，其轨迹半径最大时轨迹与虚线圆相切；
设电子运动轨迹的最大半径为r，
由几何关系得：(a＋r)2＝r2＋(3a)2
解得：r＝4a
(2)若电子以速率v，从圆心沿半径方向进入磁场，为使该电子的运动能被限制在图中实线圆围成的区域内，求磁场的磁感应强度最小值.
电子的运动轨迹如图乙所示，当电子在磁场中的运动轨迹和外圆相切时，电子在图中实线圆围成的区域内运动的半径最大.
设电子运动轨迹的最大半径为r1，
由几何关系得：r12＋a2＝(3a－r1)2，
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.
(1)找出多解的原因.
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.
观察与思考
考向1 磁场方向不确定形成多解
3.(多选)(2022·普宁市高二期中)如图所示，A点的粒子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束带负电荷的粒子，粒子重力忽略不计.为把这束粒子约束在OP之下的区域，可在∠POQ之间加垂直纸面的匀强磁场.已知OA间的距离为s，粒子比荷为 ，粒子运动的速率为v，OP与OQ间夹角为30°.则所加磁场的磁感应强度B满足
√
√
当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知：带负电粒子顺时针偏转.约束在OP之下的区域的临界条件是粒子运动轨迹与OP相切.如图所示，设其运动半径为r1.由几何关系得：s＋r1＝
解得：r1＝s
为把这束粒子约束在OP之下的区域，轨迹半径需小于s，
当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知：带负电粒子逆时针偏转.
约束在OP之下的区域的临界条件是粒子运动轨迹与OP相切.如图所示，设其运动半径为r2.由几何关系得：s－r2＝
考向2 临界状态不唯一形成多解
4.长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示.磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电.现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
√
欲使粒子不打在极板上，如图所示，带正电的粒子从左边
射出磁场时，其在磁场中圆周运动的半径R< ，粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据qvB＝
带正电的粒子从右边射出，如图所示，此时粒子的最小半径为R，由图可知.
故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足(共19张PPT)
6
专题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动
第一章 安培力与洛伦兹力
2
能熟练掌握带电粒子在匀强磁场中运动的分析方法.
1
会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动.
重点
重难点
直线边界
进出磁场具有对称性，入射方向和出射方向与磁场边界形成的夹角相等.(如图)
观察与思考
1.(多选)如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同，分别带正电和负电的粒子(不计重力)，从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则两个粒子在磁场中
A.运动轨迹的半径相同
B.重新回到边界所用时间相同
C.重新回到边界时速度大小和方向均相同
D.重新回到边界时与O点的距离相等
√
√
√
根据牛顿第二定律得qvB＝ ，解得r＝ ，由题知q、m、v、B大小均相同，则r相同；
粒子的运动周期T＝ ，由题知q、m、B大小均相同，则T相同；
正、负两粒子的运动轨迹如图所示，带正电的粒子逆时针偏转，带负电的粒子顺时针偏转，重新回到边界时，带正电的粒子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹对应的圆心角也为2π－2θ，运动
时间为t＝ ；
同理，带负电的粒子运动时间为t′＝ ，时间不等.
两个粒子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据对称性可知，两粒子重新回到边界时速度大小与方向均相同；
根据几何知识得知，两粒子重新回到边界时与O点的距离均为2rsin θ，故选A、C、D.
平行边界
2.如图所示，某带电粒子(重力不计)由M点以垂直于磁场以及磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝30°.磁场的磁感应强度大小为B.由此推断该带电粒子
A.带正电
B.在磁场中的运动轨迹为抛物线
√
根据左手定则知，粒子带负电；该粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹是圆周的一部分，而非抛物线；
圆形边界
1.沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示.
观察与思考
2.不沿径向射入时速度方向与对应点半径的夹角相等(等角进出)，如图乙所示.
3.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出.
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 ；
由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷.粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，
则粒子轨迹半径R＝r，
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′的大小及此次粒子在磁场中运动的时间t.
设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°角，
故AD弧所对圆心角为60°，
由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径
此次粒子在磁场中运动的时间
4.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC＝90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d.下列说法中正确的是
A.该粒子带正电
D.直径AD长度为4d
√
由左手定则可判断，粒子带负电，A错误；
过P点和C点作速度方向的垂线，交点即为轨迹圆圆心.如图，由几何关系可知，OCO′P为菱形，∠COP＝∠CO′P＝60°，
直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，故选D.(共20张PPT)
11
专题：带电粒子在叠加场中的运动
第一章 安培力与洛伦兹力
重难点
2
学会应用动力学、功能关系和能量守恒定律解决带电粒子在叠加场中的运动问题.
1
知道叠加场的特点，掌握带电粒子在叠加场中两种常见的运动.
重点
处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路：
1.弄清叠加场的组成.电场、磁场和重力场共存，或其中某两场共存.尤其注意是否考虑带电粒子重力.
2.进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合.
观察与思考
3.画出粒子运动轨迹，灵活选择不同方向的运动规律.
(1)由于洛伦兹力的大小与速度有关，带电粒子在含有磁场的叠加场中的直线运动一定为匀速直线运动，根据平衡条件列式求解.
(2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解.
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解.
带电粒子在叠加场中的直线运动
1.(多选)(2022·呼伦贝尔市高二月考)如图所示，地面附近某真空环境中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直纸面向里，一个带正电的油滴，沿着一条与竖直方向成α角的直线MN运动，由此可以判断
A.油滴一定是从N点运动到M点
B.油滴沿直线一定做匀加速运动
C.油滴一定是从M点运动到N点
D.匀强电场方向一定是水平向左
√
√
油滴受到的洛伦兹力的方向为垂直MN向上(不能垂直MN向右下，否则无论电场力水平向左或向右，三个力的合力不可能沿MN方向).又因为油滴带正电，再结合左手定则，可知油滴一定是从M点运动到N点，故A错误，C正确；
油滴做直线运动，受重力、电场力和洛伦兹力作用，因为重力和电场力均为恒力，且电场力只能水平向左，油滴才能沿直线运动，根据物体做直线运动条件可知，油滴所受洛伦兹力亦为恒力，据F＝qvB可知，油滴必定做匀速直线运动，油滴的受力如图所示，故B错误；
电场力水平向左，而油滴带正电，所以电场方向水平向左，故D正确.
带电粒子在叠加场中的圆周运动
2.(多选)(2022·遂宁市期末)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平向右进入互相垂直的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场组成的叠加场中，在叠加场中小球在竖直面内做匀速圆周运动，重力加速度为g.则下列说法正确的是
√
√
小球在竖直平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，则知小球所受的电场力竖直向上，与电场方向相反，因此小球带负电，故A错误；
小球在竖直平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，则mg＝qE解得： ，故B正确；
3.(2022·永顺县高二期中)如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于xOy平面向里，电场线平行于y轴.一质量为m、电荷量为q的带正
电的小球，从y轴上的A点以初速度v0水平向右抛出，A距离x轴的高度为
，小球经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴
上的N点第一次离开电场和磁场区域，小球过M点时的速度方向与x轴方向的夹角为θ(未知).不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E的大小；
小球经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，电场力与重力等大反向，
则：qE＝mg
(2)夹角θ；
答案 30°
小球在A点以初速度v0水平向右抛出，根据平抛运动规律，竖直方向
vy2＝
联立解得：θ＝30°；
(3)N点到M点的距离.
小球进入电场和磁场中以后，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示.
由几何关系得d＝r
带电粒子在叠加场中的一般曲线运动
4.空间同时存在匀强电场和匀强磁场.匀强电场的方向沿y轴正方向，场强大小为E；磁场方向垂直纸面向外.质量为m、电荷量为＋q的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动.已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲线在P点附近的一小部分，可以看做是半径为2h的圆周上的一小段圆弧.则
A.粒子在y轴方向做匀加速运动
√
粒子受到电场力和洛伦兹力作用，不可能做匀加速运动，故A错误；(共25张PPT)
10
专题：带电粒子在组合场中的运动(二)
第一章 安培力与洛伦兹力
2
能处理带电粒子多次进出电场和磁场的问题.
3
能处理带电粒子在交变电场(磁场)中的运动问题.
1
进一步熟悉处理带电粒子在组合场中运动问题的方法.
重点
重难点
难点
带电粒子多次进出电场和磁场问题
在处理带电粒子多次进出电场和磁场问题时，一定要注意：
1.空间各处电场、磁场的方向及大小是否一致.
2.带电粒子是平行电场入射做匀变速直线运动还是垂直电场入射做类平抛运动等.
3.带电粒子在磁场中运动只改变速度方向不改变其大小，但在电场中运动速度大小要发生变化.
观察与思考
1.(2022·乌苏市高二开学考试)如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，在第Ⅰ、第Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等.有一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒
子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场，并且恰好与y轴正方向成60°角进入磁场，再经过一段时间又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场.已知OP之间的距离为d，不计粒子重力，求：
(1)电场强度E的大小；
粒子以垂直于x轴的初速度进入水平方向的匀强电场，
则粒子做类平抛运动，由进入磁场时的速度与y轴正方向成60°角，
vx＝at1
(2)带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间.
定性地画出粒子在电场和磁场中的运动轨迹，如图所示：
由类平抛运动的特点可知，粒子在电场中的运动时间为：t1＝
粒子进入磁场的速度为：v＝2v0
解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为：r＝
则粒子在磁场中的运动时间为：
因此带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间为t＝t1＋t2＝
.
带电粒子在交变电场(磁场)中的运动问题
1.带电粒子在交变电场、磁场中运动时，电场或磁场随时间做周期性变化，带电粒子的受力也做周期性变化，使粒子的运动具有周期性.先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，再判断周期性变化的电场或磁场对粒子运动的影响.
2.画出粒子的运动轨迹，在分析粒子运动时，要注意粒子的运动周期与电场周期、磁场周期的关系.
观察与思考
3.解决此类问题的基本思路是：
2.(多选)(2022·长沙市期末)如图甲所示，以两虚线M、N为边界，中间存在平行于纸面且与边界垂直的电场，M、N间电压UMN的变化如图乙所示，电压的大小为U0，周期为T0；M、N两侧为相同的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度均为B.t＝0时，将一质量为m的带正电粒子从边界线M上的A处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T0.两虚线M、N间宽度很小，粒子在其间的运动时间忽略不计，不考虑粒子所受的重力.则
A.该粒子的比荷＝
B.粒子第1次在磁场区域Ⅰ中做圆周运动的的半径R1＝
C.粒子第1次和第3次到达磁场区域Ⅰ的左边界线N时，两位置间的距离为Δd＝
D.若粒子的质量增加为 ，电荷量不变，仍在t＝0时，将其从A处由静止释放，
则在t＝0至t＝2T0的时间内，粒子在M、N间的运动均为加速运动
√
√
由题意知粒子做圆周运动的周期也为T0可知：T＝T0，解得： ，故A错误；
由于不计粒子穿越MN间的时间，则可认为t＝0时刻出发的粒子穿越MN的过程中电压始终为U0，第1次加速后的速度为v1，根据动能定理可得：
qU0＝ ，解得：v1＝ ，
同理可得，之后粒子分别在Ⅱ和Ⅰ磁场中做圆周运动的半径分别为：R2＝ 、R3＝ ，粒子第1次和第3次到达磁场区域Ⅰ的左边界线N的两位置间的距离Δd(如图所示)；
从t＝0开始到t＝2T0为止的时间内，根据题图乙可知粒子共加速了2次，对应的时刻为：0、 ，共减速1次，时刻为 ，故D错误.
3.如图甲所示，直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有垂直坐标系平面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向.第三象限内有一发射装置(图中没有画出)沿y轴正方向射出一个比荷
＝100 C/kg的带正电的粒子(可视为质点且不计重力)，该粒子以v0＝20 m/s的速度从x轴上的点A(－2 m，0)进入第二象限，从y轴上的点C(0,4 m)进入第一象限.取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化.g＝10 m/s2.
(1)求第二象限内电场的电场强度大小；
答案 见解析
带电粒子在第二象限的电场中只受电场力，且电场力方向与初速度方向垂直，所以，粒子做类平抛运动；
(2)求粒子第一次经过x轴时的位置坐标.
答案 见解析
设粒子进入磁场时的速度为v，
则其竖直分量vy＝v0＝20 m/s，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得Bvq＝ ，
粒子在磁场中做圆周运动的半径
所以由题图乙可知，粒子每运动半个圆周则偏转方向相反，则粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
所以OD＝3 m，
则粒子第一次经过x轴时的位置坐标为(3 m,0).
因为 m＝8R，所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，由几何关系可知，粒子第一、二次经过x轴，在x轴上对应的弦长为 ＝1 m；(共25张PPT)
9
专题：带电粒子在组合场中的运动(一)
第一章 安培力与洛伦兹力
2
知道组合场的特点，学会分析带电粒子在组合场中的运动.
1
能够掌握带电粒子在电场和磁场中的受力和运动特点.
重点
重点
带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析
观察与思考
1.(多选)关于带电粒子(重力不计)在电场和磁场中的运动，下列说法正确的是
A.洛伦兹力只改变带电粒子速度方向，不改变带电粒子速度大小
B.电场力只改变带电粒子速度大小，不改变带电粒子速度方向
C.带电粒子垂直匀强磁场入射，一定做匀速圆周运动
D.带电粒子垂直匀强电场入射，也可能做匀速圆周运动
√
√
带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动.通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动.
观察与思考
2.(多选)一带负电的粒子的质量为m、电荷量为q，空间中一平行板电容器两极板S1、S2间的电压为U.将此粒子在靠近极板S1的A处无初速度释放，经电场加速后，经O点进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边界平行于极板S2)，图中虚线Ox垂直于极板S2，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角θ＝60°，如图所示，整个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则
考向1 带电粒子由电场进入磁场
A.极板S1带正电
B.粒子到达O点的速度大小为
C.此粒子在磁场中运动的时间t＝
D.若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O点后恰好不
能从右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d＝
√
√
粒子带负电，粒子在靠近极板S1的A处无初速度释放，在电场中加速运动，所以极板S1带负电，故A错误；
由于速度方向与Ox方向的夹角θ＝60°，则粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角也为60°，此粒子在磁场中运动的时间为：t＝ ，
故C正确；
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝ ，若粒子经过O点后恰好不能从右侧离开，则R＝d，解得：d＝ ，故D错误.
3.(2022·阜阳市临泉县高二月考)如图所示，平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场(电场强度E大小未知)，第Ⅳ象限在x轴与y＝－d之间的区域内存在垂直于平面向外的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子以初速度v0从y轴上P(0，h)点沿x轴正方向开始运
动，经过电场后从x轴上的点Q( ,0)进入磁场，粒子恰能从磁场的下边
界离开磁场.不计粒子重力.求：
(1)粒子在Q点速度的大小vQ与x轴正方向夹角θ；
答案 2v0 60°
设粒子从P到Q的过程中，加速度大小为a，运动时间为t，在Q点进入磁场时速度大小为vQ，方向与x轴正方向间的夹角为θ，vQ沿y轴方向的大小为vy，
解得：θ＝60°
(2)匀强磁场磁感应强度大小B；
设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向
心力：qvQB＝
粒子运动轨迹如图所示，
根据几何关系得：d＝R＋Rcos 60°
(3)粒子在电场、磁场中运动总时间.
根据几何关系，粒子在磁场中转过的圆心角为α＝120°
[总结提升]
带电粒子从电场射出的末速度是进入磁场的初速度，要特别注意求解进入磁场时的速度的大小和方向，这是正确求解的关键.
考向2 带电粒子由磁场进入电场
4.(多选)(2021·天津一中高二期末)如图，正方形abcd中△abd区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，△bcd区域内有方向平行于bc的匀强电场(图中未画出).一带电粒子从d点沿da方向射入磁场，随后经过bd的中点e进入电场，接着从b点射出电场.不计粒子的重力.则
A.粒子带正电
B.电场的方向是由b指向c
C.粒子在b点和d点的动能之比为5∶1
D.粒子在磁场、电场中运动的时间之比为π∶2
√
√
√
一带电粒子从d点沿da方向射入磁场，随后经过bd的中点e进入电场，带电粒子在磁场中向上偏转，粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力水平向右，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；
带电粒子从e点进入电场从b点射出电场，带电粒子在电场中所受电场力竖直向上，粒子带负电，粒子所受电场力方向与电场强度方向相反，电场方向由b指向c，故B正确；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可知粒子进入电场时速度方向与bd的夹角为45°，即粒子进入电场时速度方向水平向右，粒子在电场中做类平抛运动，
设粒子在d点时的速度大小为v0，粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子到达e点时速度大小仍为v0，设正方形abcd的边长为L，粒子从e到b过程粒子做类平抛运动，设粒子做类平抛运动的时间为t2，设粒子到达b点时沿电场方向的分速度为vy，水平方向位移： ＝v0t2，竖直方向位移：
，
解得：vy＝2v0，t2＝ ，
5.如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有竖直向上的匀强电场E，圆心O1在x轴上，半径为R且过坐标原点O，圆内有垂直纸面向外的匀强磁场B(图中未画出).一质量为m、带电荷量为q的正粒子从圆上P点正对圆心O1以速度v0射入磁场，从坐标原点O离开磁场，接着又恰好经过第一象限的Q(a，b)点.已知PO1与x轴负方向成θ角，不计粒子重力，求：
(1)匀强电场E及匀强磁场B的大小；
粒子运动轨迹如图所示：
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
粒子在电场中做类平抛运动，水平方向：a＝v0t2
(2)粒子从P点运动到Q点的时间.
粒子在磁场中做圆周运动的时间(共28张PPT)
12
章末复习
第一章 安培力与洛伦兹力
2
学会处理带电粒子在磁场中运动的问题.
1
能掌握求安培力与洛伦兹力的方法.
重点
3
会处理带电粒子在组合场和叠加场中运动的问题.
重点
4
会分析各种与洛伦兹力有关的仪器的使用原理.
重难点
重点
安培力下的平衡
通电导体棒在磁场中的平衡问题是一种常见的力电综合问题，这类题目的难点是题图往往具有立体性，安培力的方向不易确定等.因此解题时一定要先把立体图转化为平面图，通过受力分析建立各力的平衡关系.
观察与思考
(1)求解安培力作用下导体平衡问题的关键
画受力图 三维立体图 二维平面图，即通过画俯视图、剖面图、侧视图等，将立体图转换为平面受力图.
(2)求解安培力作用下导体平衡问题的基本思路
①选定研究对象；
②变三维图为二维图，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意F⊥B、F⊥I；
③列平衡方程.
1.(2022·杭州市高二期中改编)如图所示，宽为L、电阻不计的光滑导轨与水平面成α角，质量为m、长为L、电阻为R的金属杆水平放置在导轨上，已知电源的电动势为E，内阻为r，空间存在着匀强磁场，调节电阻箱R′接入电路的阻值使回路总电流为I1时，此时金属杆恰好处于静止状态，重力加速度为g，求：
(1)磁感应强度B至少为多大？此时方向如何？画出此时金属杆的受力分析示意图.
答案 见解析
金属杆受力分析图如图甲所示
由金属杆的受力分析可知，当安培力平行于斜面向上时有最小值，即磁感应强度B有最小值，此时安培力F＝mgsin α
即I1LB＝mgsin α
磁场方向垂直导轨平面向上
(2)若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，变阻器接入电路的阻值R′调到多大仍能使金属杆保持静止？
答案 见解析
金属杆受力分析图如图乙所示
由平衡条件可得
I2LB＝mgtan α
又根据闭合电路的欧姆定律可知E＝I2(R′＋R＋r)
带电粒子在磁场中运动的临界问题
1.带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题的分析思路和方法
观察与思考
分析思路 分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
分析方法 (1)利用临界条件求极值；
(2)利用边界条件求极值；
(3)利用矢量图求极值
从关键词找突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件
2.临界问题的一般解题流程
2.(多选)(2021·海南卷)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0， )点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°).当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场.不计粒子的重力.则
A.粒子一定带正电
B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场
√
√
√
根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，故A正确；
当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲
若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙
根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，故B错误，C正确；
粒子离开磁场距离O点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙
带电粒子在叠加场中的运动
带电粒子在叠加场中运动的分析方法
观察与思考
3.(2022·荆州市高二期末)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件.当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态.如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v.当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭.则元件的
A.前表面的电势比后表面的低
B.前、后表面间的电压U与a无关
C.增大磁感应强度B，前、后表面间的电压U增大
D.将磁场方向变为与元件的上、下表面平行，U不变
√
由左手定则可知，自由电子往后表面偏转，故前表面的电势比后表面的高，故A错误；
稳定时，自由电子不再偏转，满足 ＝evB，解得U＝avB，故前、后表面间的电压U与a有关，增大磁感应强度B，前、后表面间的电压U增大，故B错误，C正确；
将磁场方向变为与元件的上、下表面平行，自由电子不再往前、后表面偏转，故前、后表面间的电压U为零，故D错误.
4.如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里.一带正电的粒子(不计重力)从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t0时间从P点射出.
(1)求电场强度的大小和方向；
答案 见解析
设带电粒子的质量为m，电荷量为q，初速度为v，电场强度为E.
可判断出粒子受到的洛伦兹力沿x轴负方向，于是可知电场强度沿x轴正方向且有：
qE＝qvB
又R＝vt0
(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射入，经 时间恰从半圆形区域的边界射出.求粒子运动加速度的大小；
答案 见解析
仅有电场时，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动
(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，改变粒子进入磁场的速度，使得带电粒子在磁场的圆周运动的轨道半径为r＝ ，求粒子在磁场中运动的时间.(注：(2)、(3)两问结果均用R、t0表示)
答案 见解析
仅有磁场时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，(共27张PPT)
4
专题：洛伦兹力与现代科技
第一章 安培力与洛伦兹力
掌握速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件的工作原理.
重难点
速度选择器
速度选择器是近代物理学研究中常用的一种实验工具，其功能是可以选择某种速度的带电粒子.如图，两极板间存在匀强电场和匀强磁场，二者方向互相垂直，带电粒子从左侧射入，不计粒子重力.
观察与思考
1.带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB.即v＝___.
2.速度选择器中偏转情况：
(1)当v＞ 时，粒子向F洛方向偏转，F电做负功，粒子的动能减小，电势能增大.
(2)当v＜ 时，粒子向F电方向偏转，F电做正功，粒子的动能增大，电势能减小.
某粒子在速度选择器中匀速运动，若只改变其电性或电荷量，粒子能否匀速通过？
思考与讨论
答案 粒子仍能匀速通过.由qvB＝qE，知速度选择器只对选择的粒子速度有要求，而对粒子的电荷量及电性无要求.
1.(2022·台州市高二期中改编)如图，在两水平金属板构成的器件中，存在匀强电场与匀强磁场，电场强度E和磁感应强度B相互垂直，以某一水平速度从左向右进入的带电粒子(不计重力)恰好能沿直线运动，下列说法正确的是
A.粒子一定带负电
B.若粒子改为从右侧进入，只要速度v＝ ，粒子也能通过速度选择器
C.若电场与磁场同时改为反向，带电粒子仍沿直线运动
D.若增大粒子速度，粒子一定会向上偏转
√
粒子做直线运动，若粒子带正电荷，受到的电场力方向向下，洛伦兹力方向向上，电场力与洛伦兹力能平衡；若粒子带负电荷，电场力方
向向上，洛伦兹力方向向下，电场力与洛伦兹力也能平衡；所以粒子电性不能确定，故A错误；
若粒子改为从右侧进入，无论粒子带正电还是带负电，洛伦兹力方向和电场力方向都相同，所以粒子一定会做曲线运动，故B错误；
若电场与磁场同时改为反向，则带电粒子所受电场力和洛伦兹力同时反向，仍然受力平衡，沿直线运动，故C正确；
若粒子带正电荷，受到的电场力方向向下，洛伦兹力方向向上，若增大粒子速度，则洛伦兹力增大，粒子会向上偏转；若粒子带负电荷，电场力方向向上，洛伦兹力方向向下，若增大粒子速度，则洛伦兹力增大，粒子会向下偏转，故D错误.
磁流体发电机
磁流体发电机的发电原理图如图甲所示，其平面图如图乙所示.
观察与思考
将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)以速度v喷入磁场，磁场的磁感应强度为B，极板间距离为d，开关断开，电
路稳定时极板间电压为U，重力不计，根据F洛＝F电，有qvB＝qE＝____，
得U＝Bdv.上极板是正极.
若平行金属板M、N的面积均为S，磁感应强度为B，两板间的垂直距离为d，等离子体的电阻率为ρ，电路电阻为R，闭合开关后电路中电流多大？
思考与讨论
2.(2022·合肥市第十中学高二期中)如图所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场.一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场.把P、Q与电阻R相连接.下列说法正确的是
A.Q板的电势高于P板的电势
B.R中有由b向a方向的电流
C.若仅增强磁场，则R中电流不变
D.若增大粒子入射速度，则R中电流增大
√
等离子体进入磁场，根据左手定则，正电荷向上偏，打在上极板上，负电荷向下偏，打在下极板上，所以上极板带正电，下极板带负电，则P板的电势高于Q板的电势，流过电阻的电流方向由a到b，故A、B错误；
根据静电力等于洛伦兹力，即 ＝qvB，则有U＝Bdv，再由闭合电路
的欧姆定律得I＝ ，可知电流与磁感应强度成正比，若仅增
强磁场，则R中电流增大；若增大粒子入射速度，则R中电流也增大，故C错误，D正确.
电磁流量计
如图甲、乙所示是电磁流量计的示意图.
观察与思考
设圆管的直径为D，磁感应强度为B，a、b两点间的电势差是由于导电液体中电荷受到洛伦兹力作用，在管壁的上、下两侧堆积产生的.到一定程度后，a、b两点间的电势差达到稳定值U，上、下两侧堆积的电荷不再
增多，此时，洛伦兹力和静电力平衡，有qvB＝qE＝ ____，所以v＝____，
又圆管的横截面积S＝ πD2，故流量Q＝Sv＝_____.
3.(多选)(2021·北京市高二期末)为监测某化工厂的污水(含有离子)排放情况，在排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a＝1 m、b＝0.2 m、c＝0.2 m，左、右两端开口，在垂直于前、后面的方向加磁感应强度为B＝1.25 T的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N作为电极，污水充满装置以某一速度从左向右匀速流经该装置时，用电压表测得两个电极间的电压U＝1 V.下列说法中正确的是
A.金属板M电势一定高于金属板N的电势
B.污水中离子浓度的高低对电压表的示数有影响
C.污水的流量(单位时间内流出的污水体积)Q＝0.8 m3/s
D.若污水的流量增大，电压表的示数将变大
√
√
根据左手定则，知负离子所受的洛伦兹力方向向下，则向下偏转，N板带负电，正离子向上偏转，M板带正电，则M板的电势比N板电势高，故A正确；
最终离子在静电力和洛伦兹力作用下平衡，有qvB＝ ，解得U＝Bvc，与离子浓度无关，故B错误；
霍尔元件
如图所示，厚度为h、宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流通过导体板时，在导体板的上面A和下面A′之间会产生电势差U，这种现象称为霍尔效应.
观察与思考
霍尔效应可解释如下：外部磁场对运动电子的洛伦兹力使电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成电场.电场对电子施加与
洛伦兹力方向相反的静电力.当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两面之间就会形成稳定的电势差.电流是自由电子的定向移动形成的，电子的平均定向移动速率为v，电荷量为e.回答下列问题：
(1)达到稳定状态时，导体板上面A的电势 (选填“高于”“低于”或“等于”)下面A′的电势.
低于
电子向左做定向移动，由左手定则知电子受洛伦兹力的方向向上，故上面A聚集电子，下面A′会出现多余的正电荷，上面的电势低于下面的电势.
(2)电子所受洛伦兹力的大小为 .
evB
F洛＝evB.
(3)当导体板上、下两面之间的电势差为UH时，电子所受静电力的大小
为 .
(4)上、下两面产生的稳定的电势差U＝ .
Bhv
当A、A′间电势差稳定时，洛伦兹力与静电力达到平衡，evB＝ ，
故U＝Bhv.
4.(2021·北京市昌平区高二期末)如图所示，一个很小的矩形半导体薄片上，制作四个电极E、F、M、N，它就成了一个霍尔元件.在E、F间通入恒定的电流I，同时外加与薄片垂直的磁场B，则薄片中的载流子(能够自由移动的带电粒子)就在洛伦兹力的作用下，向着与电流和磁场都垂直的方向移动使M、N间出现了电压，称为霍尔电压UH.当磁场方向和电流方向如图所示时，下列说法正确的是
A.若只改变半导体薄片的厚度d，UH不变
B.若只改变半导体薄片的宽度b，UH不变
C.若将半导体薄片换成形状相同、载流
子密度更大的导体薄片，UH变大
D.无论半导体中载流子带电性质如何，电极N的电势一定高于电极M的电势
√
设半导体薄片的厚度为d，宽度为b，单位体积内的载流子个数为n，载流子定向运动的速度大小为v.根据平衡条件可得 ＝qvB，根据电流的微观表达式可得I＝nqSv
横截面积S＝bd，联立解得UH＝ ，故A、C错误，B正确；
如果载流子带负电，根据左手定则可知载流子向N电极偏转，则电极N的电势低于电极M的电势，如果载流子带正电，则电极N的电势高于电极M的电势，故D错误.
