重庆市渝西南七校2023-2024学年联考高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·重庆市期末）已知集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，集合，则.
故答案为：B.
【分析】解不等式求得集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二下·重庆市期末）树人中学国旗班共有名学生，其中男女比例，平均身高，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为的样本，若样本中男生的平均身高为，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为( )
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】A
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：易知样本中男生人数为，女生人数为8，
则样本中女生的平均身高为．
故答案为：A．
【分析】根据分层抽样求样本女生人数，再根据平均数的计算法求样本中女生的身高即可．
3．（2024高二下·重庆市期末）“”成立的一个充分条件可以是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】充分条件；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以，
A、，即不一定有，故A错误；
B、由，则，则或，故B错误；
C、因为，且，所以，故C正确；
D、，则或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质结合充分条件逐项判断即可.
4．（2024高二下·重庆市期末）有名男生、名女生站成一排，则这名男生互不相邻的站法共有种
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先安排名女生，有种不同的排法；4名女生形成5个空，3名男生插空，有种不同的安排方法，
则这名男生互不相邻的站法共有种.
故答案为：C.
【分析】利用插空法，结合排列组合求解即可.
5．（2024高二下·重庆市期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，
则
，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为13.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求最值即可.
6．（2024高二下·重庆市期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，经过次传球后，球恰好在甲手中的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；概率的基本性质
【解析】【解答】解：设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，
设“次传球后球在甲手中”，则，
则．
即，
所以，且，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，则，
故次传球后球在甲手中的概率为．
故答案为：C.
【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求的表达式，即可求的值.
7．（2024高二下·重庆市期末）设，不等式在上恒成立，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式，
设，，则函数在上单调递增，
因为，，所以，
即对任意的恒成立，因此只需，
设，，则函数在上单调递增，
所以，所以，即m的最大值是e.
故答案为：B.
【分析】将原问结合函数的单调性转化为对任意的恒成立，结合导函数的性质求解实数的最大值即可.
8．（2024高二下·重庆市期末）已知数列共有项，其中，且对每个，都有，则满足上述条件的数列一共有个。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：令，则对每个符合条件的数列，
满足条件，且，
反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列，
记符合条件的数列的个数为.显然，中有个；从而，有个2，个1，
当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0、1、2，
故.
故答案为：D.
【分析】由题意，结合组合数公式求解即可.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·重庆市期末）下列命题中，正确的有( )
A．若随机变量X~B(5，)，则D(X)=
B．若随机变量X~N(5，)，且P(3X5)=0.3，则P(X7)=0.2
C．若10件产品中有4件次品和6件正品.现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为随机变量X，无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，D(X)相等
D．从2，4，5，7，9，11，13，15，17，19中任取一个数，这个数比a大的概率为，若a恰为以上数据的第m百分位数，则m的值可能是60
【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、若随机变量，则，故A正确；
B、若随机变量，且，
则，故B正确；
C、若是有放回的抽取，则，则，；
若是无放回的抽取，则可能取，，，，其对应的概率为，，，，
则，
，故C错误；
D、 从2，4，5，7，9，11，13，15，17，19中任取一个数，这个数比a大的概率为 ，则数据a次大于11小于13，，则第60百分位数为12，符合题意，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据二项分布的方差公式，判断A；根据正态分布的对称性可判断B；利用二项分布的方差及超几何分布的期望和方差计算即可判断C；根据百分位数的定义即可判断D.
10．（2024高二下·重庆市期末）袋中装有张相同的卡片，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取张卡片表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是”，则( )
A． B．
C．与相互独立 D．
【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、易知事件结果有， 事件结果有，
，，，，
，故A错误；
B、，故B正确；
C、根据题意可知第一次抽取和第二次抽取是相互独立的，故A与B相互独立，故C正确；
D、由A 可得，故D正确.
故选：BCD．
【分析】根据相互独立事件的概率计算方法计算，逐项判断即可.
11．（2024高二下·重庆市期末）设，，，则下列结论中正确的是( )
A．
B．若，，则
C．当，时，
D．当时，
【答案】A,C
【知识点】二项式定理；二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：A、令，得，
令，则
，
所以，故A正确；
B、展开式的通项为，
由得，，即，解得，
又，所以，故B错误；
C、当，时，，
，故C正确；
D、，
，
令得，，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】分别令和，即可判断A；利用二项展开式通项得出，由此列出不等式组，求解即可判断B；列出的前3项即可判断C；对求两次导，将代入即可判断D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·重庆市期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
【答案】或
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，所以，
因此，解得或，
则不等式的解集为或.
故答案为：或.
【分析】根据不等式的解集可以知道不等式系数之间的关系，利用这些关系化简求解即可.
13．（2024高二下·重庆市期末）年月日至日“一节一赛”水上运动大赛在重庆彭水举行，甲、乙、丙、丁、戊名志愿者承担调度服务、安检服务、驾驶服务个项目志愿服务，每名志愿者需承担项工作，每项工作至少需要名志愿者，甲不承担驾驶服务，则不同的安排方法有 种用数字作答
【答案】100
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：因为甲不承担语言服务，第一类是从乙 丙 丁 戊中选1人承担语言服务，则有种，再把剩下的4人分为2组承担医疗服务 驾驶服务，则有种，共有种；
第二类是从乙 丙 丁 戊中选2人承担语言服务，则有种，再把剩下的3人分为2组承担医疗服务 驾驶服务，
则有种，共有种；
第三类是从乙 丙 丁 戊中选3人承担语言服务，则有种，再把剩下的2人分为2组承担医疗服务 驾驶服务，
则有种，共有种；
综上不同的安排方法有种.
故答案为：100.
【分析】根据甲不承担语言服务，分别从乙 丙 丁 戊中选1人，2人或3人承担语言服务，再把剩下的人分为2组承担医疗服务 驾驶服务求解即可.
14．（2024高二下·重庆市期末）已知函数的图像在其中为自然对数的底数处的切线斜率为若，且对任意恒成立，则的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为函数的图象在点处的切线斜率为3，所以，即，
解得，即，则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则（），令，
则，所以函数在上单调递增，
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足，
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则整数的最大值是3．
故答案为：3.
【分析】求导，利用导数的几何意义即可求出实数的值，由题意得对任意恒成立，令，利用导数求出，即可求得的最大值.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·重庆市期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，恒成立且不恒为，所有在上单调递增；
当时，令，解得或者，
所以在和上单调递增，
令，解得，
所以在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（2）解：因为函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点，
所以，，，即，则，
令，解得，
则在上单调递减，
故在上的最大值为，最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，分，利用导数判断导函数的单调性；
（2）由题意，可得，求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可.
16．（2024高二下·重庆市期末）某从业者绘制了他在岁岁年年之间各年的月平均收入单位：千元的散点图：
附注：
参考数据：，，，，，，，其中，取，
参考公式：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，
，其中
（1）由散点图知，可用经验回归方程拟合月平均收入与年龄代码的关系，试根据附注中提供的有关数据求出所选经验回归方程
（2）若把月收入不低于万元称为“高收入者”试利用的结果，估计他岁时能否称为“高收入者”
给定以下列联表的数据，依据的独立性检验，能否认为年龄高于岁与成为高收入者有关系
为高收入者 不为高收入者
高于岁
不高于岁
【答案】（1）解：令，则，
则，
；
，，
则回归方程为；
（2）解：把带入千元万元，
则他岁时能称为“高收入者”，
设年龄高于岁与成为高收入者没有关系
高收入者 不高收入者 合计
高于岁
不高于岁
合计
计算，
所以有的把握认为年龄与收入有关系．
【知识点】线性回归方程；独立性检验
【解析】【分析】（1）分别计算出，，带入即可得回归直线方程；
（2）将2代入比较即可，计算观测值，与临界值比较判断即可．
17．（2024高二下·重庆市期末）已知集合，集合．
（1）若存在，使得，求的取值范围
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：集合，
若存在，使得，只需集合在内有解，
即大于在内的最小值，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在内的最小值为，
所以，解得，
所以的范围为；
（2）解：由得，，，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
分类讨论如下：
，即时，，不符题意；
，即时，，
此时等号不同时成立，解得，时，满足是的真子集；
，即时，，
此时等号不同时成立，解得，时，满足是的真子集，
综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围；
（2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可.
18．（2024高二下·重庆市期末）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
【答案】（1）解：若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为，则
，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望为.
（2）解：若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）解：因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，
即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.
19．（2024高二下·重庆市期末）给出以下三个材料：
若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数，一般地，阶导数的导数叫做的阶导数，即，
若，定义
若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式例如，在点处的阶泰勒展开式为根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）若，在点处的阶泰勒展开式分别为，，求出，
（2）比较中与的大小
（3）证明：．
【答案】（1）解：，求导可得，，，
则，，，
，
同理可得：；
（2）解：由知：，，
令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即，
故；
（3）证明：令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求解即可；
（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，比较与的大小关系即可；
（3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，证明不等式成立.
1 / 1重庆市渝西南七校2023-2024学年联考高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·重庆市期末）已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高二下·重庆市期末）树人中学国旗班共有名学生，其中男女比例，平均身高，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为的样本，若样本中男生的平均身高为，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为( )
A．人 B．人 C．人 D．人
3．（2024高二下·重庆市期末）“”成立的一个充分条件可以是( )
A． B． C． D．
4．（2024高二下·重庆市期末）有名男生、名女生站成一排，则这名男生互不相邻的站法共有种
A． B． C． D．
5．（2024高二下·重庆市期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为( )
A． B． C． D．
6．（2024高二下·重庆市期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，经过次传球后，球恰好在甲手中的概率为( )
A． B． C． D．
7．（2024高二下·重庆市期末）设，不等式在上恒成立，则的最大值为( )
A． B． C． D．
8．（2024高二下·重庆市期末）已知数列共有项，其中，且对每个，都有，则满足上述条件的数列一共有个。
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·重庆市期末）下列命题中，正确的有( )
A．若随机变量X~B(5，)，则D(X)=
B．若随机变量X~N(5，)，且P(3X5)=0.3，则P(X7)=0.2
C．若10件产品中有4件次品和6件正品.现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为随机变量X，无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，D(X)相等
D．从2，4，5，7，9，11，13，15，17，19中任取一个数，这个数比a大的概率为，若a恰为以上数据的第m百分位数，则m的值可能是60
10．（2024高二下·重庆市期末）袋中装有张相同的卡片，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取张卡片表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是”，则( )
A． B．
C．与相互独立 D．
11．（2024高二下·重庆市期末）设，，，则下列结论中正确的是( )
A．
B．若，，则
C．当，时，
D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·重庆市期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
13．（2024高二下·重庆市期末）年月日至日“一节一赛”水上运动大赛在重庆彭水举行，甲、乙、丙、丁、戊名志愿者承担调度服务、安检服务、驾驶服务个项目志愿服务，每名志愿者需承担项工作，每项工作至少需要名志愿者，甲不承担驾驶服务，则不同的安排方法有 种用数字作答
14．（2024高二下·重庆市期末）已知函数的图像在其中为自然对数的底数处的切线斜率为若，且对任意恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·重庆市期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点求函数在区间上的最大值和最小值．
16．（2024高二下·重庆市期末）某从业者绘制了他在岁岁年年之间各年的月平均收入单位：千元的散点图：
附注：
参考数据：，，，，，，，其中，取，
参考公式：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，
，其中
（1）由散点图知，可用经验回归方程拟合月平均收入与年龄代码的关系，试根据附注中提供的有关数据求出所选经验回归方程
（2）若把月收入不低于万元称为“高收入者”试利用的结果，估计他岁时能否称为“高收入者”
给定以下列联表的数据，依据的独立性检验，能否认为年龄高于岁与成为高收入者有关系
为高收入者 不为高收入者
高于岁
不高于岁
17．（2024高二下·重庆市期末）已知集合，集合．
（1）若存在，使得，求的取值范围
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（2024高二下·重庆市期末）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
19．（2024高二下·重庆市期末）给出以下三个材料：
若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数，一般地，阶导数的导数叫做的阶导数，即，
若，定义
若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式例如，在点处的阶泰勒展开式为根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）若，在点处的阶泰勒展开式分别为，，求出，
（2）比较中与的大小
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，集合，则.
故答案为：B.
【分析】解不等式求得集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：易知样本中男生人数为，女生人数为8，
则样本中女生的平均身高为．
故答案为：A．
【分析】根据分层抽样求样本女生人数，再根据平均数的计算法求样本中女生的身高即可．
3．【答案】C
【知识点】充分条件；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以，
A、，即不一定有，故A错误；
B、由，则，则或，故B错误；
C、因为，且，所以，故C正确；
D、，则或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质结合充分条件逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先安排名女生，有种不同的排法；4名女生形成5个空，3名男生插空，有种不同的安排方法，
则这名男生互不相邻的站法共有种.
故答案为：C.
【分析】利用插空法，结合排列组合求解即可.
5．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，
则
，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为13.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求最值即可.
6．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；概率的基本性质
【解析】【解答】解：设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，
设“次传球后球在甲手中”，则，
则．
即，
所以，且，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，则，
故次传球后球在甲手中的概率为．
故答案为：C.
【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求的表达式，即可求的值.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式，
设，，则函数在上单调递增，
因为，，所以，
即对任意的恒成立，因此只需，
设，，则函数在上单调递增，
所以，所以，即m的最大值是e.
故答案为：B.
【分析】将原问结合函数的单调性转化为对任意的恒成立，结合导函数的性质求解实数的最大值即可.
8．【答案】D
【知识点】数列的递推公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：令，则对每个符合条件的数列，
满足条件，且，
反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列，
记符合条件的数列的个数为.显然，中有个；从而，有个2，个1，
当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0、1、2，
故.
故答案为：D.
【分析】由题意，结合组合数公式求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、若随机变量，则，故A正确；
B、若随机变量，且，
则，故B正确；
C、若是有放回的抽取，则，则，；
若是无放回的抽取，则可能取，，，，其对应的概率为，，，，
则，
，故C错误；
D、 从2，4，5，7，9，11，13，15，17，19中任取一个数，这个数比a大的概率为 ，则数据a次大于11小于13，，则第60百分位数为12，符合题意，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据二项分布的方差公式，判断A；根据正态分布的对称性可判断B；利用二项分布的方差及超几何分布的期望和方差计算即可判断C；根据百分位数的定义即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、易知事件结果有， 事件结果有，
，，，，
，故A错误；
B、，故B正确；
C、根据题意可知第一次抽取和第二次抽取是相互独立的，故A与B相互独立，故C正确；
D、由A 可得，故D正确.
故选：BCD．
【分析】根据相互独立事件的概率计算方法计算，逐项判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】二项式定理；二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：A、令，得，
令，则
，
所以，故A正确；
B、展开式的通项为，
由得，，即，解得，
又，所以，故B错误；
C、当，时，，
，故C正确；
D、，
，
令得，，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】分别令和，即可判断A；利用二项展开式通项得出，由此列出不等式组，求解即可判断B；列出的前3项即可判断C；对求两次导，将代入即可判断D．
12．【答案】或
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，所以，
因此，解得或，
则不等式的解集为或.
故答案为：或.
【分析】根据不等式的解集可以知道不等式系数之间的关系，利用这些关系化简求解即可.
13．【答案】100
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：因为甲不承担语言服务，第一类是从乙 丙 丁 戊中选1人承担语言服务，则有种，再把剩下的4人分为2组承担医疗服务 驾驶服务，则有种，共有种；
第二类是从乙 丙 丁 戊中选2人承担语言服务，则有种，再把剩下的3人分为2组承担医疗服务 驾驶服务，
则有种，共有种；
第三类是从乙 丙 丁 戊中选3人承担语言服务，则有种，再把剩下的2人分为2组承担医疗服务 驾驶服务，
则有种，共有种；
综上不同的安排方法有种.
故答案为：100.
【分析】根据甲不承担语言服务，分别从乙 丙 丁 戊中选1人，2人或3人承担语言服务，再把剩下的人分为2组承担医疗服务 驾驶服务求解即可.
14．【答案】3
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为函数的图象在点处的切线斜率为3，所以，即，
解得，即，则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则（），令，
则，所以函数在上单调递增，
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足，
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则整数的最大值是3．
故答案为：3.
【分析】求导，利用导数的几何意义即可求出实数的值，由题意得对任意恒成立，令，利用导数求出，即可求得的最大值.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，恒成立且不恒为，所有在上单调递增；
当时，令，解得或者，
所以在和上单调递增，
令，解得，
所以在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（2）解：因为函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点，
所以，，，即，则，
令，解得，
则在上单调递减，
故在上的最大值为，最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，分，利用导数判断导函数的单调性；
（2）由题意，可得，求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可.
16．【答案】（1）解：令，则，
则，
；
，，
则回归方程为；
（2）解：把带入千元万元，
则他岁时能称为“高收入者”，
设年龄高于岁与成为高收入者没有关系
高收入者 不高收入者 合计
高于岁
不高于岁
合计
计算，
所以有的把握认为年龄与收入有关系．
【知识点】线性回归方程；独立性检验
【解析】【分析】（1）分别计算出，，带入即可得回归直线方程；
（2）将2代入比较即可，计算观测值，与临界值比较判断即可．
17．【答案】（1）解：集合，
若存在，使得，只需集合在内有解，
即大于在内的最小值，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在内的最小值为，
所以，解得，
所以的范围为；
（2）解：由得，，，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
分类讨论如下：
，即时，，不符题意；
，即时，，
此时等号不同时成立，解得，时，满足是的真子集；
，即时，，
此时等号不同时成立，解得，时，满足是的真子集，
综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围；
（2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可.
18．【答案】（1）解：若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为，则
，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望为.
（2）解：若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）解：因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，
即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.
19．【答案】（1）解：，求导可得，，，
则，，，
，
同理可得：；
（2）解：由知：，，
令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即，
故；
（3）证明：令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求解即可；
（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，比较与的大小关系即可；
（3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，证明不等式成立.
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