请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
2024 年秋季上海市新七年级开学摸底模拟卷 20（1） 23（1）
数 学·答题卡
（2）
姓名：
（2） 贴条形码区
1．答题前，考生先将自己的姓名、准
考证号填写清楚，并认真检查监考
（3）
员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选
准考证号 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答
注
题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 21.（1）
意
体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
事
3．请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
项 内作答，超出区域书写的答案无 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
（2） 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
破。
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
5．正确填涂 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
24（1）
缺考标记 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 （3）
（2）
一、选择题（每小题 3 分，满分 18 分）
1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
（3）
3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
二、填空题（每小题 2 分，共 24 分）
22.（1）
7．____________________ 8．_ ___________________
9．____________________ 10．____________________
（2）
11．____________________ 12．____________________
13．____________________ 14． ___________________
15．____________________ 16． ___________________
17． ____________________ 18． ___________________
三、解答题（本大题共 8题，4+4+6+8+8+8+10+10 满分 58分）
19.（1） （2）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数 学 第 1 页（共 6 页）
数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页）
学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
2 5（1）
26（1）
（2）
（2）
（3）
（3）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！
数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页）中小学教育资源及组卷应用平台
参考答案
（试卷满分：100分 测试范围：六下、七上新教材整式的加减、整式的乘除）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．【答案】
8．【答案】
9．【答案】6或
10．【答案】/
11．【答案】
12．【答案】120
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】垂直
16．【答案】2701
17．【答案】
18．【答案】3
三、解答题（本大题共8题，4+4+6+8+8+8+10+10满分58分）
19.【答案】【答案】(1)
(2)15
20．【答案】(1)；
(2)．
21．【答案】(1)1，
(2)① ②，
22．【答案】(1)
(2)
23．
【答案】(1)1
(2)
(3)或8
24.【答案】（1）大型收割机每小时可收割小麦8亩，小型收割机每小时可收割小麦4亩；（2）见解析；（3） 最佳租赁方案是：租赁大型收割机3台，租赁小型收割机7台，总费用是18000元.
25．【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒．
26．
【答案】(1)5
(2)0
(3)中小学教育资源及组卷应用平台
2024年秋季上海市新七年级开学摸底模拟卷数学试题02
（试卷满分：100分 测试范围：六下、七上新教材整式的加减、整式的乘除）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．石墨烯是碳的同素异形体，具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学等方面具有重要的应用前景．单层石墨烯的厚度为，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句正确的有（ ）个
①正数、负数和0统称为有理数；
②若，则点为线段的中点；
③用四舍五入法将2.3971精确到0.01，结果为2.40；
④连接两点的线段叫做两点的距离；
⑤一个锐角的余角比它的补角的一半小，则这个角的度数是．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A． B． C． D．
4．现有两种礼包，甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具，乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具．现在需要37个毛绒玩具，18套文具，设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．在5个字母（均不为零）中，不改变字母的顺序，在每相邻两个子母之间都添加一个“”或者一个“”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“”或“”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“对括操作”．
例如：．
下列说法：
①存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等；
②不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0；
③所有的“对括操作”共有6种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．已知，化简 ．
8．已知多项式和的乘积中不含和的项，则的值为 ．
9．若关于x的多项式是完全平方式，则k的值等于 ．
10． ．
11．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
12．如图，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是 ．
13．如图，点与点在线段上，且，点、点分别是、的中点，若，则 ．
14．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是 个．
15．如图，在长方体-中，棱与平面的位置关系是 ．
16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，）．“智慧数”按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2024个“智慧数”是 ．
17．有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么 ．
18．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ．
三、解答题（本大题共8题，满分58分）
19.计算
(1)．
(2)．
20．解下列不等式组或方程组：
(1)；
(2)．
21．定义：如果（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作．
(1)根据D数的定义，填空： ， ．
(2)D数有如下运算性质：，、其中q＞p．根据运算性质，计算：
①若，求；
②若已知，，试求，的值（用a、b、c表示）
22．某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图．
(1)求长方体的体积；
(2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装8件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少（纸箱的表面积最小），并请求出你设计的纸箱的表面积．
23．对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即．
(1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______．
(2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长．
(3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值．
24．综合与实践
【问题情景】
农民王大爷，通过农村土地流转承包了520亩农田种植小麦，今年又是一个丰收年，王大爷看着即将收割的小麦，心里很高兴，可是如何租赁小麦收割机，王大爷犯了难，请你帮助王大爷设计一套租赁方案.
【调研发现】
市场上有大小两种小麦收割机可供租赁，一台大型收割机的租赁费用是每天2500元，一台小型收割机的租赁费用是每天1500元，不足一天按一天计算，一天工作10小时；一台大型收割机的工作效率是一台小型收割机工作效率的两倍，2台大型收割机和3台小型收割机2个小时可收割小麦56亩.
【分析问题】
（1）两种收割机每小时分别可以收割多少亩小麦？
【解决问题】
（2）由于道路的原因，有220亩小麦只能用小型收割机收割，王大爷要求一天把小麦全部收割完，并且租来的收割机都工作满10个小时，现计划租用大型收割机台，小型收割机台，请你帮王大爷设计一下有哪几种租赁方案？
（3）为了节省租赁费用，在（2）的条件下，请直接写出最佳方案.
25．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为．
素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）；
探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间．
26．阅读材料：
若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若满足，求的值．
(2)，求．
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
2024年秋季上海市新七年级开学摸底模拟卷数学试题02
（试卷满分：100分 测试范围：六下、七上新教材整式的加减、整式的乘除）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．石墨烯是碳的同素异形体，具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学等方面具有重要的应用前景．单层石墨烯的厚度为，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．根据科学记数法定义即可得到答案．
【详解】解：根据科学记数法定义得：，
故选B．
2．下列语句正确的有（ ）个
①正数、负数和0统称为有理数；
②若，则点为线段的中点；
③用四舍五入法将2.3971精确到0.01，结果为2.40；
④连接两点的线段叫做两点的距离；
⑤一个锐角的余角比它的补角的一半小，则这个角的度数是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的定义，中点的定义，近似数，两点的距离，余角和补角的定义，根据相关定义逐项进行判断即可．
【详解】解：①正有理数、负有理数和统称为有理数，故①错误；
②M、A、B、有可能不在同一直线上，故②错误；
③用四舍五入法将2.3971精确到0.01，结果为2.40，③正确；
④连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故④错误；
⑤设这个角的度数为x，则，解得，故⑤正确；
综上，正确的有2个，
故选：B.
3．小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【详解】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．
故选：B．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．解题的关键是掌握基本图形的展开图．
4．现有两种礼包，甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具，乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具．现在需要37个毛绒玩具，18套文具，设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题的关键．设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，根据甲种礼包的数量4乙种礼包的数量3，甲种礼包的数量1乙种礼包的数量2，列方程组即可．
【详解】解：设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件， 根据题意得
，
故选：C．
5．在5个字母（均不为零）中，不改变字母的顺序，在每相邻两个子母之间都添加一个“”或者一个“”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“”或“”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“对括操作”．
例如：．
下列说法：
①存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等；
②不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0；
③所有的“对括操作”共有6种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查了去括号，整式的加减计算，由于，据此可判断①；任意两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后字母的系数始终是2，据此可判断②；分当添加符号为时，当添加符号为时，两种情况分别求出添加括号并去括号后的结果即可得到答案．
【详解】解：当添加符号为时，则添加括号后可以为 ，
∵，
∴存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等，故①正确；
∵不管怎么添加符号和添加括号，字母的系数始终是1，
∴任意两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后字母的系数始终是2，
∴不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0，故②正确；
当添加符号为时，
，
，
，
，
当添加符号为时，
，
，
，
，
综上所述，所有的“对括操作”共有6种不同运算结果，故③正确，
故选：D．
6．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键．
根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可．
【详解】图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，所以图①可以验证平方差公式；
图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的矩形，因此面积为，所以有，所以图②可以验证平方差公式；
图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有
，所以图③可以验证平方差公式；
图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即’，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，所以图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故选∶C．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．已知，化简 ．
【答案】
【分析】此题考查了绝对值的化简、整式的加减、不等式的性质，先求出代数式的范围，再化简绝对值，最后合并同类项即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
8．已知多项式和的乘积中不含和的项，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的无关项问题、负整数指数幂等知识点，掌握多项式乘多项式的运算法则是本题的关键．先根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据不含和的项，即可他们的系数为0即可求得m、n，然后代入计算即可．
【详解】解：
，
∵不含和的项，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
9．若关于x的多项式是完全平方式，则k的值等于 ．
【答案】6或
【分析】本题主要考查根据完全平方式求参数的值，根据完全平方式的特点“首平方，尾平方，首尾的2倍在中央”进行求解即可．
根据完全平方公式的特点即可解得．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴，解得：或．
故答案为：6或．
10． ．
【答案】/
【分析】本题考查了运算与技巧，先将公因数提出来，然后将分母进行裂项即可求解，根据式子的特点进行运算是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，求出不等式的解集，可得，据此即可求解，由不等式组解集的情况得到是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
12．如图，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是 ．
【答案】120
【分析】本题考查了钟表里的旋转角的问题，根据钟表表盘被分成12大格，每一大格为，由8时整，即分针和时针之间有4大格，即可求解．
【详解】解：钟表表盘被分成12大格，
每一大格为，
8时整，即分针和时针之间有4大格，
8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是，
故答案为：120．
13．如图，点与点在线段上，且，点、点分别是、的中点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设，则，，，再利用中点的含义分别表示，，利用，列方程求解，进而求得．
【详解】解：设，则，，
，
，
解得，
点、点分别是、的中点，
，，
，
故答案为：．
14．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是 个．
【答案】
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【详解】解：由题中所给出的主视图知几何体共列且都是最高两层；由左视图知共三列，其中左边两列都是个小正方体，右边一列是个小正方体，其余位置没有小正方体，俯视图如图，
∴组成这个几何体的小正方体的个数最少为：（个）．
故答案为：．
【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握几何体的三视图是解题的关键．
15．如图，在长方体-中，棱与平面的位置关系是 ．
【答案】垂直
【分析】本题考查了认识立体图形，关键是掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个面垂直．
根据，，而与在同一平面内，即可判断．
【详解】解：∵，，而与在同一平面内，
∴ 棱与平面的位置关系是垂直，
故答案为：垂直．
16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，）．“智慧数”按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2024个“智慧数”是 ．
【答案】2701
【分析】本题考查了探索规律的问题，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案．根据题意观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1．归纳可得第n组的第二个数为，又因为，所以第2024个智慧数是第675组中的第2个数，从而得到．
【详解】解：观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1．
归纳可得第n组的第二个数为，
∵，
∴第2024个智慧数是第675组中的第2个数，
即为．
故答案为：2701．
17．有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么 ．
【答案】
【分析】由得到当，时，利用，得到，，，，然后根据此规律得到．
【详解】解： (其中，，)，
，
(此时，，)，
，
(此时，，)，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了有理数加减混合运算：有理数加减法统一成加法，也考查了学生的阅读理解能力．读懂题意找到规律是解题的关键．
18．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键．
先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可．
【详解】解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，
∴，
∵
∴
整理得，
∵a，b均为正整数
∴当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
∴n的值为0，，，共3个．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8题，满分58分）
19.计算
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)15
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方、括号里的减法，再计算乘除，然后去括号计算减法即可，熟练掌握有理数的混合运算、正确计算是解题的关键；
（2）此题考查了有理数的混合运算，计算乘方和除法后，再进行四则混合运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
20．解下列不等式组或方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解一元一次不等组和解二元一次方程组，掌握相关解法是解题的关键．
（1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：，
得：，
∴，
把代入得：，
∴，
∴方程组的解为．
21．定义：如果（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作．
(1)根据D数的定义，填空： ， ．
(2)D数有如下运算性质：，、其中q＞p．根据运算性质，计算：
①若，求；
②若已知，，试求，的值（用a、b、c表示）
【答案】(1)1，
(2)① ②，
【分析】本题主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力.
（1）根据新定义进行求解即可；
（2）①先计算出，然后代入计算即可；②转化为， 然后代入计算即可.
【详解】（1）解：∵
，
，
，
故答案为:，；
（2）
，
，
；
，
；
．
22．某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图．
(1)求长方体的体积；
(2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装8件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少（纸箱的表面积最小），并请求出你设计的纸箱的表面积．
【答案】(1)，详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题考查几何体的展开图、几何体的表面积等知识，
（1）根据已知图形得出长方体的高进而得出答案；
（2）根据长方体的表面积公式计算即可．
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】（1）设长方体的高为，则长方形的宽为，根据题意可得：
，
解得：，
所以长方体的高为，宽为，长为，
长方体的体积为：；
（2）因为长方体的高为，宽为，长为，
所以装8件这种产品，应该尽量使得的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
这样的话，8件这种产品可以用的包装纸箱，再考虑的面积最大，所以的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
所以设计的包装纸箱为规格，该产品的侧面积分别为：
，
，
纸箱的表面积为：．
23．对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即．
(1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______．
(2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长．
(3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)或8
【分析】本题考查了对题干的理解，线段的和差，绝对值和平方式的非负性，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据题意可得，再由点G在线段上即可解题；
（2）根据题意可得，从而得到点H的位置，再根据即可得出，从而求得线段的长；
（3）根据即可得出m、n的值，再根据推出点Q不在线段上，再分类讨论当点Q在点M的左侧时和当点Q在点N的右侧时两种情况即可解题．
【详解】（1）解：由题可得：，
点G在线段上，即，
，
故答案为：1；
（2）解：如图1，
，，
，
，
，
；
（3） ，
，，
，
又，
，
点Q不在线段上，
①如图2，当点Q在点M的左侧时，
，
，，，
，
点Q在轴的负半轴，
；
②如图3，当点Q在点N的右侧时，
，
，，，
，
点Q在轴的正半轴上，
．
或8．
24．综合与实践
【问题情景】
农民王大爷，通过农村土地流转承包了520亩农田种植小麦，今年又是一个丰收年，王大爷看着即将收割的小麦，心里很高兴，可是如何租赁小麦收割机，王大爷犯了难，请你帮助王大爷设计一套租赁方案.
【调研发现】
市场上有大小两种小麦收割机可供租赁，一台大型收割机的租赁费用是每天2500元，一台小型收割机的租赁费用是每天1500元，不足一天按一天计算，一天工作10小时；一台大型收割机的工作效率是一台小型收割机工作效率的两倍，2台大型收割机和3台小型收割机2个小时可收割小麦56亩.
【分析问题】
（1）两种收割机每小时分别可以收割多少亩小麦？
【解决问题】
（2）由于道路的原因，有220亩小麦只能用小型收割机收割，王大爷要求一天把小麦全部收割完，并且租来的收割机都工作满10个小时，现计划租用大型收割机台，小型收割机台，请你帮王大爷设计一下有哪几种租赁方案？
（3）为了节省租赁费用，在（2）的条件下，请直接写出最佳方案.
【答案】（1）大型收割机每小时可收割小麦8亩，小型收割机每小时可收割小麦4亩；（2）见解析；（3） 最佳租赁方案是：租赁大型收割机3台，租赁小型收割机7台，总费用是18000元.
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，整数解的应用，不等式的应用；
（1） 设大型收割机每小时可收割小麦亩，小型收割机每小时可收割小麦亩，由一台大型收割机的工作效率是一台小型收割机工作效率的两倍，2台大型收割机和3台小型收割机2个小时可收割小麦56亩,再建立方程求解即可；
（2）设租赁大型收割机台，租赁小型收割机台，结合题意可得，再利用方程的正整数解解决问题即可；
（3）分别计算各方案的费用，再比较即可；
【详解】（1） 解：设大型收割机每小时可收割小麦亩，小型收割机每小时可收割小麦亩，
由题意得：，解得：
答：大型收割机每小时可收割小麦8亩，小型收割机每小时可收割小麦4亩.
（2） 设租赁大型收割机台，租赁小型收割机台，
由题意得：
整理得：
又
有题意可知为自然数，可知是偶数，则为奇数
或或或
有4种租赁方案：①租赁大型收割机3台，租赁小型收割机7台；
②租赁大型收割机2台，租赁小型收割机9台；
③租赁大型收割机1台，租赁小型收割机11台；
④租赁大型收割机0台，租赁小型收割机13台.
（3） ∵一台大型收割机的租赁费用是每天2500元，一台小型收割机的租赁费用是每天1500元，
∴方案①的费用为：（元），
方案②的费用为：（元），
方案③的费用为：（元），
方案④的费用为：（元），
∴最佳租赁方案是：租赁大型收割机3台，租赁小型收割机7台，总费用是18000元.
25．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为．
素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）；
探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间．
【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒．
【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识．
探索1：根据时间路程速度，即可求解；
探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解；
探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解．
【详解】解：探索1：点表示，点表示，
，，
在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半，
在段速度为个单位长度/秒，
从点运动至点的时间为：（秒）；
探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍，
在段速度为个单位长度/秒，
由探索1可得：在段运动时间为：秒，
，
点表示，
表示的数为：；
探索3：设秒后，
①当在上时，
，
，
，
，
，
，
（秒）；
②当在上时，
，
，
，
，
（秒）．
综上：动点运动的时间为秒或秒．
26．阅读材料：
若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若满足，求的值．
(2)，求．
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)5
(2)0
(3)
【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案；
（2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案；
（3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）设，，
则，
；
（2）解：设，，
则，
，
，
，
；
（3）解：根据题意可得，，，
，
，
设，，
则，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
