苏州市2015-2016年初三上数学期终复习(锐角三角函数和解直角三角形)

课时作业三、锐角三角函数和解直角三角形
考点一：锐角三角函数的概念
（1）在Rt△ABC中，∠C=90 ，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则sinA= ；cosA= ；tanA= 。
(2) sinA, cosA, tanA是比值，注意比的顺序；(3) sinA, cosA, tanA没有单位
考点二：锐角三角函数之间的关系
sin(90°-A)=cosA cos(90°-A)=sinA tan(90°-A)=cotA cot(90°-A)=tanA
平方关系：sin2A+cos2A=1 倒数关系：tanA tan(900-A)=1
正余弦及正切之间的关系：tanA= sinA/ cosA
考点三：特殊的三角函数值的计算
sina cosa tana
30
45
60
①正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
②正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大。
考点四：解直角三角形
解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
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(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小 ( http: / / www.21cnjy.com )于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），
南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
练习：
一、选择题
1． cos 30°＝(　　)A. B. C. D.
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是(　　)
A. B. C. D.
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是(　　)
A.sin 30°（第2题） ( http: / / www.21cnjy.com )（第4题） ( http: / / www.21cnjy.com )（7题）
4．如图，直径为10的⊙A经过点C(0 ( http: / / www.21cnjy.com ),5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为(　　) A. B. C. D.
5． Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于(　　)
A．acos A＋bsin B B．asin A＋bsin B C.＋ D.＋
二、填空题
6． sin 30°的值为________．
7．右图是市民广场到解百地下通道的 ( http: / / www.21cnjy.com )手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________m.
8．如图，在高出海平面100米的悬 ( http: / / www.21cnjy.com )崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝________米．
( http: / / www.21cnjy.com )（8题） ( http: / / www.21cnjy.com )（9题） ( http: / / www.21cnjy.com )（10题）
9．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发 ( http: / / www.21cnjy.com )，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地相距___________m.
10．如图，某小岛受到了污 ( http: / / www.21cnjy.com )染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD(点D为切点)上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，则直径AD＝________米．(结果精确到1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
三、解答题
11．靠墙摆放的梯子，当 ( http: / / www.21cnjy.com )50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为6m的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字，sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64)
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12．如图，在A岛周围25海里水域有暗 ( http: / / www.21cnjy.com )礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？ (参考数据：≈1.414，≈1.732)
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13．一副直角三角板如图放置，点C在F ( http: / / www.21cnjy.com )D的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°， ∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
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14．青青草原上，灰太狼每天都想着 ( http: / / www.21cnjy.com )如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃．如图所示，一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC＝40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？(结果精确到个位)
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15．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和 ( http: / / www.21cnjy.com )横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°.
(1)求垂直支架CD的长度；(结果保留根号)
(2)求水箱半径OD的长度．(结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.41，≈1.73)
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16．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．
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课时作业三参考答案：
一、选择题
1．C；2．答案　A，解析　在Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝；3．答案　D，解析　因为tan45°＝1，tan60°＝，所 tan45°＝×1＝，而1.5( http: / / www.21cnjy.com )（4题） ( http: / / www.21cnjy.com )（5题）
5．答案　B，解析　如图，画CD⊥AB ( http: / / www.21cnjy.com )于D，在Rt△ACD中，sinB＝sin∠ACD＝，所以AD＝bsinB，同理，BD＝a·sinA，故C＝AB＝AD＋BD＝asinA＋bsinB。
二、填空题
6．；7．5，解析　过C画C ( http: / / www.21cnjy.com )E⊥AB于E，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，BC＝5 ，则BE＝CE＝5，即h＝5；8．100，解析　如图，AD∥BC，则∠ABC＝∠BAD＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，BC＝AC＝100；9．200，解析　如图，在△ABC中，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∠BAC＝90°－60°＝30°，所以∠C＝30°＝∠BAC，BC＝AB＝200；10．260，解析　设AD＝x，在Rt△ABD中，∠B＝30°，则BD＝AD＝x。在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，则CD＝＝＝x.又∵BD－CD＝BC，∴x－x＝300，得x＝300，x＝150 ≈260(米)．
三、解答题
11．解　由题意知，当α越大，梯子的顶 ( http: / / www.21cnjy.com )端达到的最大高度越大．因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α＝70°时AC最大。在Rt△ABC中，AB＝6米，α＝70°，sin 70°＝，即0.94≈，解得AC ≈5.6。答：梯子的顶端能达到的最大高度AC约5.6m.
12．解　根据题意，有∠AOC＝30°，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC＝45°， ∠ACB＝90°，∴BC＝AC，在Rt△AOC中，由tan 30°＝，得＝，解得AC＝≈27.32(海里)。∵27.32(海里)>25(海里)，∴轮船不会触礁。13．解　过点B作BM⊥FD于点M.
( http: / / www.21cnjy.com )
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan 60°＝10 ，
∵AB∥CF，∴∠BCM＝30°.∴BM＝BC·sin 30°＝10 ×＝5 ，
CM＝BC·cos 30°＝10 ×＝15. 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 .∴CD＝CM－MD＝15－5 .即CD的长为15－5 .
14．解　在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°－30°＝60°，∴＝tan 60°，则BD＝CD.
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°，∴＝tan 60°，即＝，
∴CD＝20.∴t＝≈＝7.故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊．
15．解　(1)在Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76，∵sin∠CED＝，
∴CD＝DE·sin∠CED＝38 (厘米)．答：垂直支架CD的长度为38 厘米．
(2)设水箱半径OD＝x厘米，则OC＝(38 ＋x)厘米，AO＝(150＋x)厘米，
∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°，∴AO＝2×OC，即：150＋x＝2(38 ＋x)．
解得，x＝150－76 ≈18.52≈18.5(厘米)．答：水箱半径OD的长度为18.5厘米．
16．解　(1)证明：∵四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°.∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°.又∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE。
(2)解：在Rt△DEF中，sin∠D ( http: / / www.21cnjy.com )FE＝＝，∴设DE＝a，EF＝3a，则DF＝＝2 a。∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a，AB＝4a, ∠EBC＝∠EBF.。又由(1)得，△ABF∽△DFE，∴＝＝＝，∴tan∠EBF＝＝，
∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝。