请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
新九年级开学摸底考试卷（广东省专用，北师大版）
17．（8 分） 19．（9 分）
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1． 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填
写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考
考生禁填： 缺考标记
证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用 2B 铅
必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂
或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3． 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，
选择题填涂样例：
超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题
正确填涂
卷上答题无效。
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 20．（9 分）
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 18．（8 分）
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
第Ⅱ卷（请在各试题
的答题区内作答）
． 11 __________________ 12．__________________ 13．__________________
． ． 14 __________________ 15 __________________
16.（8 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21．（9 分） ．（ 分） 23．（12 分） 22 12
请在各题目的答题区域内作答，超 出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色 矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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新九年级开学摸底考试卷数学试题（广东省专用，北师大版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：八下全册和九上第一章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日-8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，D为的中点，若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．如图， 的周长为，，和相交于点，交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
8．我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．如果，那么是直角三角形
B．若分式方程有增根，则
C．如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是
D．若，则
10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形：
②存在无数个正方形；
③当时，存在唯一的矩形；
④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．如图，在菱形中，，连接，则 度．
12．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ．
13．如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则 ．
14．关于x的不等式组无解，a的取值范围为 ．
15．在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．计算
(1)解不等式组
(2)解方程
17．化简：
(1)；
(2)，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，按要求解答问题：
(1)将向左平移7个单位，得到，画出图形；
(2)将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形；
(3)直接写出的长度．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F．
(1)求证：AD是线段CE的垂直平分线；
(2)若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长．
20．仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
(1)若二次三项式可分解为，则______．
(2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
21．鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达500至600万枝，成为全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜花饼、火腿月饼，火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数量和用42元购买鲜花饼的数量相同．
(1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？
(2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，应怎样购买，费用最少为多少元？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．
(1)证明平行四边形是菱形；
(2)若，连结、，①求证：；②求的度数；
23．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由．
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新九年级开学摸底考试卷数学试题（广东省专用，北师大版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：八下全册和九上第一章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义：一般地，形如，A、B表示整式，且B中含有字母的式子叫做分式，判断即可．
【详解】解∶A．是整式，不符合题意；
B．是整式，不符合题意；
C．是整式，不符合题意；
D．是分式，符合题意；
故选∶D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质，即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
当，时，；当，时，；当，时，；
∴不一定成立；
B、∵，
∴；
∴B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴C符合题意；
D、∵
∴当时，；当时，；
∴D不符合题意；
故选：C．
3．第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日-8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握：轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此分析即可得解．
【详解】解：A．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．此图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、是整式乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
5．如图，在中，，D为的中点，若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，据此解答，熟练掌握直角三角形斜边中线性质是解题的关键．
【详解】解：∵，D为的中点，
∴
故选：C．
6．如图， 的周长为，，和相交于点，交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的两组对边分别相等，对角线互相平分，可说明是线段的中垂线，由中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则，再利用平行四边形的周长为可得，进而可得的周长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
又，
是线段的中垂线，
，
，
的周长为，
∴，
的周长为，
故选：B．
7．已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴三角形的形状是直角三角形，
故选：．
8．我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，设6210元购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【详解】解：设6210文能买x株椽，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故选：C．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．如果，那么是直角三角形
B．若分式方程有增根，则
C．如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是
D．若，则
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A，把分式方程的增根代入去分母后的方程可判定B，根据不等式的性质可判定C，把条件化为，，再代入计算可判定D，从而可得答案
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
若关于x的方程有增根，
∴增根为
方程去分母得：，代入，解得，故B不符合题意；
∵关于x的不等式的解集是，
∴，
∴；故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
∴，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，分式方程的增根问题，不等式的性质，条件分式的求值，掌握相关的基础知识是解本题的关键.
10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形：
②存在无数个正方形；
③当时，存在唯一的矩形；
④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④．
【详解】解：连接，且令，相交于点O，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴只要满足，那么四边形就是平行四边形，
∵点E，F是上的动点，
∴存在无数个平行四边形，故①正确；
只要，则四边形是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故②错误；
只要，则四边形是矩形，
∵，
∴当时，不存在矩形，故③错误；
当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确，
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．如图，在菱形中，，连接，则 度．
【答案】
【分析】此题考查了菱形的性质、等边对等角，解题的关键是熟练掌握菱形的四条边都相等，对角相等．
【详解】解：∵是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
12．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次不等式，去分母把分式方程化成整式方程，解方程后得出且，解不等式组即可得出答案．根据题意得出不等式组是解决问题的关键．
【详解】解：
去分母得：
移项得：
合并同类项得：，
∵，且，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则 ．
【答案】1
【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、等角对等边等知识，利用三角形中位线性质得到，，利用中点定义得到，再利用平行线的性质和角平分线得到，则，即可得到的长度．
【详解】解：∵点D、E分别为的中点，，
∴是的中位线，，
∴，，
∴，
∵平分交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
14．关于x的不等式组无解，a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组无解，
∴，解得：
故答案为：．
15．在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．分两种情况考虑，①当时，②当时，然后过F作于G，根据勾股定理进行求解．
【详解】解：①如图所示，当时，过F作于G，则，
在中，，
又∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴中，；
②如图所示，当时，过F作于G，则，
在中，，
又∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴中，中，，
故答案为：或．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．计算
(1)解不等式组
(2)解方程
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握各解法是解题的关键：
（1）先分别求出每一个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
（2）先去分母解整式方程，再检验即可．
【详解】（1）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为
（2）去分母，得，
解得，
检验：当时，
∴分式方程的解是．
17．化简：
(1)；
(2)，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值．
【答案】(1)
(2)，当时，原式；当时，原式
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的乘除法法则计算；
（2）根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的添加确定x的值，代入计算得到答案．
【详解】（1）
；
（2）
，
，，
当时，原式；
当时，原式．；
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，按要求解答问题：
(1)将向左平移7个单位，得到，画出图形；
(2)将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形；
(3)直接写出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，勾股定理，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解此题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：如图：即为所作，
；
（3）解：由勾股定理得：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F．
(1)求证：AD是线段CE的垂直平分线；
(2)若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形：
（1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线；
（2）解：∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的长为4．
20．仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
(1)若二次三项式可分解为，则______．
(2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
【答案】(1)4
(2)另一个因式为，b值为1
【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系：
（1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案；
（2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴另一个因式为，b值为1．
21．鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达500至600万枝，成为全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜花饼、火腿月饼，火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数量和用42元购买鲜花饼的数量相同．
(1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？
(2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，应怎样购买，费用最少为多少元？
【答案】(1)鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；
(2)这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
（1）设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼个，购买总费用为w元，根据题意列出函数关系式，再由题意确定不等式得出，根据一次函数的基本性质求解即可．
【详解】（1）解：设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；
（2）解：设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼个，购买总费用为w元，
则，
∵购买火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，
∴，
解得，
∵，
∴当时，w有最小值为，
此时，
答：这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．
(1)证明平行四边形是菱形；
(2)若，连结、，①求证：；②求的度数；
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，证明，即可得到答案；
（2）①先判断，根据等腰三角形的性质得出，进而证明，即可证明结论；②由①知，证明是等边三角形，即可得到答案．
【详解】（1）证明：平行四边形，
，
，
的平分线交于点E，交的延长线于F，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）①证明：由题知，，
在平行四边形中，，
由（1）知，平行四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
②解：，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
．
23．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)不变；4
【分析】（1）可证得，进而证得，从而；
（2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出；
（3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图1，
设直线交于，
由（1）得，，
，
，
，
；
（3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下，
连接，作，交于，作于，
∴，
∴，
由（2）可知，，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
由得：
，
，
，
∴四边形的面积为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D
2．C
3．C
4．D
5．C
6．B
7．D
8．C
9．D
10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．
12．
13．1
14．
15．或
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．(1)
(2)
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握各解法是解题的关键：
（1）先分别求出每一个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
（2）先去分母解整式方程，再检验即可．
【详解】（1）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为
（2）去分母，得，
解得，
检验：当时，
∴分式方程的解是．
17．(1)
(2)，当时，原式；当时，原式
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的乘除法法则计算；
（2）根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的添加确定x的值，代入计算得到答案．
【详解】（1）
；
（2）
，
，，
当时，原式；
当时，原式．；
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，勾股定理，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解此题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：如图：即为所作，
；
（3）解：由勾股定理得：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形：
（1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线；
（2）解：∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的长为4．
20．(1)4
(2)另一个因式为，b值为1
【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系：
（1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案；
（2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴另一个因式为，b值为1．
21．(1)鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；
(2)这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
（1）设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼个，购买总费用为w元，根据题意列出函数关系式，再由题意确定不等式得出，根据一次函数的基本性质求解即可．
【详解】（1）解：设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；
（2）解：设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼个，购买总费用为w元，
则，
∵购买火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，
∴，
解得，
∵，
∴当时，w有最小值为，
此时，
答：这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，证明，即可得到答案；
（2）①先判断，根据等腰三角形的性质得出，进而证明，即可证明结论；②由①知，证明是等边三角形，即可得到答案．
【详解】（1）证明：平行四边形，
，
，
的平分线交于点E，交的延长线于F，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）①证明：由题知，，
在平行四边形中，，
由（1）知，平行四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
②解：，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)不变；4
【分析】（1）可证得，进而证得，从而；
（2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出；
（3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图1，
设直线交于，
由（1）得，，
，
，
，
；
（3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下，
连接，作，交于，作于，
∴，
∴，
由（2）可知，，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
由得：
，
，
，
∴四边形的面积为：4．
