请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
新八年级开学摸底考试卷（广东省专用，人教版）
17．（8 分） 19．（9 分）
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填
写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考
考生禁填： 缺考标记
证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用 2B 铅 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3． 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，
选择题填涂样例：
超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题
正确填涂
卷上答题无效。
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 18．（8 分） 20．（9 分）
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
第Ⅱ卷（请在各试题
的答题区内作答）
11．__________________ 12．__________________ 13．__________________
14．__________________ 15．__________________
16.（8 分）
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21．（9 分） ．（ 分） 23．（12 分） 23 12
请在各题目的答题区域内作答，超 出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色 矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B
2．C
3．D
4．D
5．B
6．D
7．A
8．C
9．D
10．A
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．
12．
13．
14．8
15．1
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．（1）；（2）或．
【分析】（）先进行立方根，化简绝对值，算术平方根运算，再进行加减运算即可；
（）根据平方根的定义，进行求解即可；
本题考查了考查了实数运算和平方根的概念，正确化简各数和正确理解平方根的概念是解题的关键．
【详解】解：（）原式
；
（）
或
或．
17．（1）；（2），数轴见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握二元一次方程组的解法及不等式组的解集求法是解题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1），
得：，
则，
将代入①得，
则，
所以，方程组的解为；
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，在数轴上表示为：
∴不等式组的解集是：．
18．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据的性质求出，，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质求出，再结合对顶角相等、三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：，
，，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
，
又，
．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．(1)，
(2)见详解，
(3)5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移、根据点的位置写出点的坐标、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据点的位置直接得到点的坐标；
（2）根据平移方式确定点对应点的坐标，然后描出，再顺次连接即可；
（3）利用割补法计算的面积即可．
【详解】（1）解：由题意知，，．
故答案为：，；
（2）如图所示，即为所求，其中；
（3）．
20．(1)20；
(2)画图见解析
(3)估计小西红柿个数在45个以上的西红柿植株有225棵.
【分析】本题考查的是从频数分布直方图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体；
（1）由D组数量除以其占比可得总量，再由组的占比乘以可得圆心角的大小；
（2）根据（1）的结果补全图形即可；
（3）由300棵乘以小西红柿个数在45个以上的百分比即可得到答案；
【详解】（1）解：，
∴组数量有，
∴组所对应扇形的圆心角的度数为；
（2）解：由B组有四个小西红柿，补全图形如下：
（3）解：“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，估计小西红柿个数在45个以上的西红柿植株有（株）；
21．(1)购买一根跳绳需要15元，一个排球需要40元
(2)该班共有3种购买方案，方案1：购买28根跳绳，26个排球；方案2：购买29根跳绳，25个排球；方案3：购买30根跳绳，24个排球；方案3，购买30根跳绳，24个排球更省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用；
（1）设购买一根跳绳需要元，一个排球需要元，根据“购买3根跳绳和5个排球共需245元；购买1根跳绳和4个排球共需175元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；
（2）设购买根跳绳，则购买个排球，根据“购买的总费用不超过1460元，且购买跳绳的数量不超过30根”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要元，一个排球需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要15元，一个排球需要40元；
（2）设购买根跳绳，则购买个排球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为28，29，30，
该班共有3种购买方案，
方案1：购买28根跳绳，26个排球；
方案2：购买29根跳绳，25个排球；
方案3：购买30根跳绳，24个排球．
选择方案1所需费用为（元；
选择方案2所需费用为（元；
选择方案3所需费用为（元．
，
购买30根跳绳，24个排球更省钱．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．(1)；理由见解析
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，坐标与图形性质，平行线的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义，坐标与图形性质，平行线的判定与性质是解决问题的关键.
（1）先由平分得, 再根据得, 据此即可得出答案；
(2)由（1）可知,则, 再根据得, 然后根据交平分线的定义可得的度数；
(3)过点作轴于, 设交轴于,根据点得,, 则再根据（1）可知, 则 , 则 即 ，由此得，进而可得点的坐标.
【详解】（1），理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（3）依题意建立直角坐标，过点B作轴于F，设交y轴于H，如图所示：
∵点B、C的坐标分别为、，
∴，，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积与的面积之和，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
23．(1)；
(2)2；
(3)或；
(4)或．
【分析】本题主要考查了三角形的面积、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由“友好点”的意义进行计算可以得解；
（2）依据题意得，由点求出它的“友好点”，再根据轴，即可判断得解；
（3）依据题意，由“友好点”的意义求出，结合轴，可得、坐标，再由三角形的面积为2，求出高，进而可以判断得解；
（4）依据题意，设，设，再根据“友好点”的意义，求、，又，且点在过且与轴平行的直线上，进而画出图形，结合，可求出的长，最后分类讨论即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，由“友好点”的意义，
，．
的“友好点”为；
（2）解：由题意得，，
又，，
的“友好点”为．
，
∴轴．
；
（3）解：由题意，的“友好点”为，
．
∵轴，
．
．
，．
．
设点到直线的距离为．
，
．．
．
故当点在直线右侧时，；
当点在直线左侧时，．
或；
（4）解：由题意，点在轴上，
可设．
又点在轴上，设，
，
点的“友好点”为点，
．
，．
，
点在过且与轴平行的直线上．
如图，设点，过作轴交直线于点，则点在直线上，连接，
．
．
．
．
．
连接，则．
当点在线段上时，，
若点在点左侧，则，
，
．
．
当点在点右侧时，
，
，
．
综上所述，或．中小学教育资源及组卷应用平台
新八年级开学摸底考试卷数学试题（广东省专用，人教版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在实数，，，π，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：，
在实数，，，π，，中，无理数有，π，，共2个，
故选：B．
2．如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵，
∴，
故选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
故选项符合题意；
D、∵，，
∴，
故选项不符合题意；
故选：C．
3．下列的统计调查中，调查方式合理的是（ ）
A．为了了解全国参加中考的学生的身高情况，选择全面调查
B．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
D．为了了解某批次汽车的抗撞击能力，选择抽样调查
【答案】D
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A．为了了解全国参加中考的学生的身高情况，选择抽样调查，故不合理；
B．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择全面调查，故不合理；
C．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查，故不合理；
D．为了了解某批次汽车的抗撞击能力，选择抽样调查，故合理；
故选D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．y轴上的点的横坐标为0
B．点 到x轴的距离是5
C．若点在第四象限，那么
D．若，那么点在第一象限
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系，根据坐标轴与各象限上的点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解：A．y轴上的点的横坐标为0，说法正确，不合题意；
B．点到x轴的距离是5，说法正确，不合题意；
C．若点在第四象限，则，解得，说法正确，不合题意；
D．若，则，，或，，因此点在第一象限或第三象限，该选项说法不正确，符合题意；
故选D．
5．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的内角和、平行线的性质，先根据正多边形的内角和求出的度数，再由平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵图中是正五边形，
∴，
∵太阳光线互相平行，，
∴．
故选：B．
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，设有人，辆车，根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车”可得方程，根据“每辆车乘坐2人，则有9人步行”可得方程，即可解答．
【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得
．
故选：D
7．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解列出关于a的不等式组，解之即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组恰有3个整数解，
∴，
∴，
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知，一只瓢虫从点出发以1个单位长度/秒的速度沿循环爬行．则第30秒瓢虫所在点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标规律探究，求出长方形的周长，得到每20秒一个循环，进而求出第30秒瓢虫所在点的坐标即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∴瓢虫每20秒循环一次，
∵，
∴第30秒瓢虫恰好走到点的位置，
∴第30秒瓢虫所在点的坐标为；
故选C．
9．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解为； ②无论a为何值，y的值不变；③当时，则；④当时，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，①将代入方程组，求出方程组的解即可，②消去x得出y与a的关系式即可解决问题，③用a表示即可解决问题，④用x表示a即可解决问题．
【详解】解：将代入方程组得，，
解这个方程组得，．故①正确．
由得，，
将此等式与相减得，，
解得，
所以无论a为何值，y的值不变．故②正确．
将方程组中的两个方程相减得，，
即．
因为，
所以，
解得．
故③正确．
由得，，
将代入得，
，
则．
因为，
所以，
解得．
故④正确．
故选：D．
10．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可
【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图，
∵，相邻两条平行线间的距离为m，
∴直线c，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴的面积
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．比较大小： ．（填“、、或”）
【答案】
【分析】本题考查了比较无理数的大小，将两数平方后比较大小，可得答案．
【详解】解：，，，
．
故答案为：．
12．如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质进行计算即可．
【详解】解：由平移的性质可得，，，，
则阴影部分的周长为．
故答案为：．
13．已知关于，的方程组，其中，则的取值范围是
【答案】
【分析】本题主要列出了二元一次方程的解和解二元一次方程．把方程①减去方程②得到，然后根据，列出关于的不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
①②得：，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，在中，，，，点D，E分别在AB，BC上，且，，连接DE，过点C作，交DE的延长线于点F，则．的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，连接，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，三角形的中线平分面积，求出的面积，再证明，即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：8．
15．已知当，都是实数，且满足时，称点为“如意点”．如：由点得解得满足，因此，点是为“如意点”；若点是“如意点”，则 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了点的坐标，直接利用“如意点”的定义得出的值．
【详解】解：∵点是“如意点”，
解得：，
将，代入中得：
即
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（）先进行立方根，化简绝对值，算术平方根运算，再进行加减运算即可；
（）根据平方根的定义，进行求解即可；
本题考查了考查了实数运算和平方根的概念，正确化简各数和正确理解平方根的概念是解题的关键．
【详解】解：（）原式
；
（）
或
或．
17．（1）解方程组；
（2）解不等式组：（并在数轴上表示解集）
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握二元一次方程组的解法及不等式组的解集求法是解题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1），
得：，
则，
将代入①得，
则，
所以，方程组的解为；
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，在数轴上表示为：
∴不等式组的解集是：．
18．如图，点B、C、E在同一直线上，，．
(1)试说明： ．
(2)若，，求的度数；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据的性质求出，，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质求出，再结合对顶角相等、三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：，
，，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
，
又，
．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格格点上，其中点的坐标为．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ；
(2)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．请在图中画出，并写出它的三个顶点的坐标．
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)见详解，
(3)5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移、根据点的位置写出点的坐标、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据点的位置直接得到点的坐标；
（2）根据平移方式确定点对应点的坐标，然后描出，再顺次连接即可；
（3）利用割补法计算的面积即可．
【详解】（1）解：由题意知，，．
故答案为：，；
（2）如图所示，即为所求，其中；
（3）．
20．某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了部分西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数.并将收集的数据整理分析，共分为四组（....），绘制了如图两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，共调查了__棵西红柿植株，在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为____________________________度；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计小西红柿个数在45个以上的西红柿植株有多少棵.
【答案】(1)20；
(2)画图见解析
(3)估计小西红柿个数在45个以上的西红柿植株有225棵.
【分析】本题考查的是从频数分布直方图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体；
（1）由D组数量除以其占比可得总量，再由组的占比乘以可得圆心角的大小；
（2）根据（1）的结果补全图形即可；
（3）由300棵乘以小西红柿个数在45个以上的百分比即可得到答案；
【详解】（1）解：，
∴组数量有，
∴组所对应扇形的圆心角的度数为；
（2）解：由B组有四个小西红柿，补全图形如下：
（3）解：“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，估计小西红柿个数在45个以上的西红柿植株有（株）；
21．为响应国家开展“阳光体育运动”的号召，增强学生体质，促进学生身心健康发展．某校积极行动，给各班购买跳绳和排球作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个排球共需245元；购买1根跳绳和4个排球共需175元．
(1)求购买一根跳绳和一个排球分别需要多少元；
(2)某班需要购买跳绳和排球的总数量是54，且购买的总费用不超过1460元，若要求购买跳绳的数量不超过30根，求共有哪几种购买方案，并比较哪一种购买方案更省钱．
【答案】(1)购买一根跳绳需要15元，一个排球需要40元
(2)该班共有3种购买方案，方案1：购买28根跳绳，26个排球；方案2：购买29根跳绳，25个排球；方案3：购买30根跳绳，24个排球；方案3，购买30根跳绳，24个排球更省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用；
（1）设购买一根跳绳需要元，一个排球需要元，根据“购买3根跳绳和5个排球共需245元；购买1根跳绳和4个排球共需175元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；
（2）设购买根跳绳，则购买个排球，根据“购买的总费用不超过1460元，且购买跳绳的数量不超过30根”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要元，一个排球需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要15元，一个排球需要40元；
（2）设购买根跳绳，则购买个排球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为28，29，30，
该班共有3种购买方案，
方案1：购买28根跳绳，26个排球；
方案2：购买29根跳绳，25个排球；
方案3：购买30根跳绳，24个排球．
选择方案1所需费用为（元；
选择方案2所需费用为（元；
选择方案3所需费用为（元．
，
购买30根跳绳，24个排球更省钱．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．如图，已知直线平分交于点E，且．
(1)判断直线与是否平行？并说明你的理由；
(2)若于D，，求的度数（用含α的代数式表示）．
(3)连接，以点D为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、，且的面积等于的面积与的面积之和，求点A的坐标．
【答案】(1)；理由见解析
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，坐标与图形性质，平行线的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义，坐标与图形性质，平行线的判定与性质是解决问题的关键.
（1）先由平分得, 再根据得, 据此即可得出答案；
(2)由（1）可知,则, 再根据得, 然后根据交平分线的定义可得的度数；
(3)过点作轴于, 设交轴于,根据点得,, 则再根据（1）可知, 则 , 则 即 ，由此得，进而可得点的坐标.
【详解】（1），理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（3）依题意建立直角坐标，过点B作轴于F，设交y轴于H，如图所示：
∵点B、C的坐标分别为、，
∴，，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积与的面积之和，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
23．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“友好点”．例如：点的“友好点”是点．
(1)求点的“友好点”坐标；
(2)点B在第二象限，点B到x轴的距离为1个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，点B的“友好点”为点C，求线段的长度；
(3)点的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形的面积为2，求点F的坐标；
(4)点G在x轴上，点G的“友好点”为点H，点H在y轴上，点，三角形的面积大于6，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)2；
(3)或；
(4)或．
【分析】本题主要考查了三角形的面积、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由“友好点”的意义进行计算可以得解；
（2）依据题意得，由点求出它的“友好点”，再根据轴，即可判断得解；
（3）依据题意，由“友好点”的意义求出，结合轴，可得、坐标，再由三角形的面积为2，求出高，进而可以判断得解；
（4）依据题意，设，设，再根据“友好点”的意义，求、，又，且点在过且与轴平行的直线上，进而画出图形，结合，可求出的长，最后分类讨论即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，由“友好点”的意义，
，．
的“友好点”为；
（2）解：由题意得，，
又，，
的“友好点”为．
，
∴轴．
；
（3）解：由题意，的“友好点”为，
．
∵轴，
．
．
，．
．
设点到直线的距离为．
，
．．
．
故当点在直线右侧时，；
当点在直线左侧时，．
或；
（4）解：由题意，点在轴上，
可设．
又点在轴上，设，
，
点的“友好点”为点，
．
，．
，
点在过且与轴平行的直线上．
如图，设点，过作轴交直线于点，则点在直线上，连接，
．
．
．
．
．
连接，则．
当点在线段上时，，
若点在点左侧，则，
，
．
．
当点在点右侧时，
，
，
．
综上所述，或．
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
新八年级开学摸底考试卷数学试题（广东省专用，人教版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在实数，，，π，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列的统计调查中，调查方式合理的是（ ）
A．为了了解全国参加中考的学生的身高情况，选择全面调查
B．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
D．为了了解某批次汽车的抗撞击能力，选择抽样调查
4．下列说法不正确的是（ ）
A．y轴上的点的横坐标为0
B．点 到x轴的距离是5
C．若点在第四象限，那么
D．若，那么点在第一象限
5．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知，一只瓢虫从点出发以1个单位长度/秒的速度沿循环爬行．则第30秒瓢虫所在点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解为； ②无论a为何值，y的值不变；③当时，则；④当时，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．比较大小： ．（填“、、或”）
12．如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为 ．
13．已知关于，的方程组，其中，则的取值范围是
14．如图，在中，，，，点D，E分别在AB，BC上，且，，连接DE，过点C作，交DE的延长线于点F，则．的面积为 ．
15．已知当，都是实数，且满足时，称点为“如意点”．如：由点得解得满足，因此，点是为“如意点”；若点是“如意点”，则 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
17．（1）解方程组；
（2）解不等式组：（并在数轴上表示解集）
18．如图，点B、C、E在同一直线上，，．
(1)试说明： ．
(2)若，，求的度数；
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格格点上，其中点的坐标为．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ；
(2)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．请在图中画出，并写出它的三个顶点的坐标．
(3)求的面积．
20．某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了部分西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数.并将收集的数据整理分析，共分为四组（....），绘制了如图两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，共调查了__棵西红柿植株，在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为____________________________度；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计小西红柿个数在45个以上的西红柿植株有多少棵.
21．为响应国家开展“阳光体育运动”的号召，增强学生体质，促进学生身心健康发展．某校积极行动，给各班购买跳绳和排球作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个排球共需245元；购买1根跳绳和4个排球共需175元．
(1)求购买一根跳绳和一个排球分别需要多少元；
(2)某班需要购买跳绳和排球的总数量是54，且购买的总费用不超过1460元，若要求购买跳绳的数量不超过30根，求共有哪几种购买方案，并比较哪一种购买方案更省钱．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．如图，已知直线平分交于点E，且．
(1)判断直线与是否平行？并说明你的理由；
(2)若于D，，求的度数（用含α的代数式表示）．
(3)连接，以点D为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、，且的面积等于的面积与的面积之和，求点A的坐标．
23．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“友好点”．例如：点的“友好点”是点．
(1)求点的“友好点”坐标；
(2)点B在第二象限，点B到x轴的距离为1个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，点B的“友好点”为点C，求线段的长度；
(3)点的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形的面积为2，求点F的坐标；
(4)点G在x轴上，点G的“友好点”为点H，点H在y轴上，点，三角形的面积大于6，直接写出m的取值范围．
试卷第1页，共3页
