2023~2024学年江西宜春宜丰县江西省宜丰县宜丰中学高二上学期期中数学试卷（11月）（PDF版含解析）

2023~2024学年江西宜春宜丰县江西省宜丰县宜丰中学高二上学期期中数
学试卷（11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、函数 在区间 上的最大值是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3、直线 与圆 的位置关系是（ ）
A.相交
B.相离
C.相切
D.无法判定
4、直线 的倾斜角是 ，则 的值是（ ）
A.
B.
C.
D.1
5、在正三棱锥 中， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则 （ ）
A.-2
B.-4
C.-8
D.-10
6、已知 ， ，O为坐标原点，动点 满足 ，其中 R，且
，则动点P的轨迹方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知 ， 分别是双曲线 的左、右两个焦点，点 在双曲线的右支上，且
，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知点 在抛物线 ： 上，过 作圆 的两条切线，分别交
于 ， 两点，且直线 的斜率为 ，若 为 的焦点，点 为 上的动点，点 是 的准线与坐标轴的
交点，则 的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知直线 过点 ，下列说法正确的是（ ）
A.若直线 的倾斜角为 ，则方程为
B.若直线 在两坐标轴上的截距相等，则方程为
C.直线 与圆： 始终相交
D.若直线 和以 为端点的线段有公共点，则直线 的斜率
11、已知方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A.当 时，表示圆心为 的圆
B.当 时，表示圆心为 的圆
C.当 时，表示的圆的半径为
D.当 时，表示的圆与 轴相切
12、如图，已知椭圆 ，过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，连 、
并延长分别交 于 、 两点，连接 ， 与 的面积分别记为 、 ．则下列说
法正确的是（ ）
A.若记直线 、 的斜率分别为 、 ，则 的大小是定值
B. 的面积 是定值
C.线段 、 长度的平方和 是定值
D.设 ，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、经过点 ，且与直线 平行的直线的方程是 .
14、已知向量 ，若 ，则m= .
15、如图，在直三棱柱 中， ，则直线 与直线 夹角的余
弦值为 .
16、如图，椭圆的焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上第一象限
的一个点 满足：直线 与直线 的交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，且射线 为
的角平分线，则 的面积为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 的顶点为 .
(1)求 边上高所在直线的方程；
(2)求 的外接圆的标准方程.
18、（本小题12分）
在 中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量 ， 且满足
.
(1)求A 的大小；
(2)若 ， ，求 的周长.
19、（本小题12分）
如图，在长方体 中．
(1)求证： ∥平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20、（本小题12分）
已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ， 为坐标原点，若 的面积为 ，求直线
的方程.
21、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
，点 为 的中点．
(1)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使直线 与平面 所成的角正弦值为 ，若存在求出 的长，若不
存在说明理由．
22、（本小题12分）
已知双曲线C： （ ， ）的焦距为 ，离心率 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上 异于点 的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为 ， ，若
，求证：直线PQ过定点.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
由 ，解得 ，所以 .
由 得 ，所以 ，
所以 .
故选：D
2、
<答 案>:
D
<解析>:
函数 在区间 上单调递增，
所以 .
故选：D
3、
<答 案>:
A
<解析>:
利用圆心到直线的距离与半径之间的关系判断即可.
圆 的圆心是 ，半径是 ，故圆心 到直线 的距离
，故直线与圆相交.
故选：A.
4、
<答 案>:
C
<解析>:
直线 的倾斜角是 ，得 ，
所以 .
故选：C
5、
<答 案>:
C
<解析>:
在正三棱锥 中， ，所以 ，
则 ，又 ，
，
所以
.
故选：C.
6、
<答 案>:
B
<解析>:
通过题意得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ．
因此正确答案为：B
7、
<答 案>:
A
<解析>:
由题意可得 ，
由双曲线的定义得 ，
而 ，
解得 ，
由余弦定理得
所以 .
故选：A.
8、
<答 案>:
A
<解析>:
由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线 对称，所以 ．
设 ， ， ，则 ，
同理可得 ， ，则 ，
得 ，所以 ，
由 ，得 ．
将 代入抛物线C的方程，得 ，解得 ，
故抛物线C 的方程为 ．
设 ，作 垂直准 线于 ，
由抛物线的性质可得 ，
所以 ，
当 最小时， 的值最大，
所以当直线MN与抛物线C相切时， 最大，即 最小．
由题意可得 ，
设切线MN的方程为 ，
联立方程组 消去 ，得 ，
由 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，
所以 ，即M的坐标为 ，所以 ， ，所以 的最
大值为 ．
故选：A
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B;D
<解析>:
对于A中，由向量 ，可得 ，
所以向量 与 不共线，所以A不正确；
对于B中，由向量 ，可得 ，
所以向量 与 不共线，所以B不正确；
对于C中，由向量 ，可得 ，
所以 ，所以C正确；
对于D中，由 ，可得 ，
所以向量 与 不垂直，所以D不正确.
故选：ABD.
10、
<答案 >:
A;C
<解析>:
对于A中，当直线 的倾斜角为 ，则过点 的直线方程为 ，所以A正确；
对于B中，当直线 过原点时，过点 的直线方程为 ，此时在坐标轴上的截距 相等；
当直线不过原点时，设所求直线方程为 ，将点 代入方程，求得 ，此时直线方程为
，所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 或 ，所以B错误；
对于C中，由 ，可得点 在圆 内，所以直线与圆： 始终相交 ，所以 C正
确；
对于D中，根据题意，设 ，可得 ，
要使得直线 和以 为端点的线段有公共点，
如图所示，则满足 ，所以D错误.
故选：AC.
11、
<答案 >:
B;D
<解析>:
由题意，方程 ，可化为 ，
可得圆的圆心坐标为 ，
A中，当 时，此时 ，所以A错误；
B中，当 时，此时 ，表示圆心为 的圆，所以B正确；
C中，当 时，表示的圆的半径为 ，所以C错误；
D中，当 时，可得 ，方程表示的圆半径为 ，
又圆心坐标为 ，所以圆心到 轴的距离等于半径，所以圆与 轴相切，所以D正确．
故选：BD．
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
对于A选项，抛物线 的焦点为 ，
若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，则 ，
，A对；
对于B选项，设 ，则 ，
联立 可得 ，解得 ，
不妨设点 在第三象限，则 ，
设点 在第四象限，同理可得 ，
点 到直线 的距离为 ， ，
所以， ，B对；
对于C选项，
，C错；
对于D选项，
，
当且仅当 时，等号成立，D对.
故选：ABD.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
解：设所求方程为： ，
因为所求直线经过点 ，
所以 ，
故所求直线方程为： ，
故答案为：
14、
<答案 >:
<解析>:
由 ，得 解得
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
在直三棱柱 中，由 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ，
以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设 ，
则 ，
可得 ，
所以 ，所以直线 与直线 夹角的余弦值为 .
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
设椭圆的方程为 ，
则 ， ，解得 ， ，
故椭圆的方程为 ；
在 和 中，由正弦定理得
，
，
又射线 为 的角平分线，
可得 ，
则在直角 中， ，
故 ，
所以直线 ： ，
点 为直线 与椭圆的交点，联立方程 ，
解得 （舍负），
故 .
因此正确答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1） 所在直线的斜率： ，
设 边上高所在直线的斜率为 ，
则 ，
故 边上高所在直线的方程为： ，
即：
（2）设 的外 接圆的方程为： ，
点 在圆上，
则 ，解得： .
故 的外接圆的方程为：
即：
18、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）因为向量 ， 且满足 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）在 中，由余弦定理 及 ， 得，
，所以 ，所以 ， 所以 ，
所以 的周长为 .
19、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：长方体 中， ， ，
所以 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）以 为原点， 、 、 的方向为 、 、 轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示
由 ， ，则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ；令 ，得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
20、
<答案 >:
（1） ；（2） 或 .
<解析>:
解：（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 .①
又因为椭圆经过点 ，所以有 .②
联立①②可得， ， ，所以椭圆 的方程为 .
（2）通过题意可知，直线 的斜率 存在，设直线 的方程为 .
由 消去 整理得， .
因为直线 与椭圆 交于不同的两点 ，
所以 ，即 ，所以 .
设 ， ，则 ， .
通过题意得， 的面积
，
即 .
因为 的面积为 ，所以 ，即 .
化简得， ，即 ，解得 或 ，均满足 ，所以
或 .
所以直线 的方程为 或 .
21、
<答案 >:
(1)
(2)存在，
<解析>:
（1）如图，取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又因 ，所以 ，
如图，以点 为原点建立空间直角 坐标系，
，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
因为 平面 ，
所以 即为平面 的一条法向量，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ；
（2）假设存在，设 ，
，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，
令 ，则 ，
所以 ，
因为直线 与平面 所成的角正弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以存在， .
22、
<答案 >:
(1)
(2)证明过程见解析
<解析>:
（1）因为双曲线C： （ ， ）的焦距为 ，离心率 ，
所以有 ；
（2）由题意可知直线 存在斜率，所以直线 的方程设为 ，
，
则有 ，
设 ，则有 ，
显然 的坐标为 ，
所以由
，
把 代入上式，得
，或
当 时，直线方程为 ，过定点 ，
当 时，直线方程为 ，过定点 ，
不符合题意，
因此直线 过 定点 .