2023~2024学年辽宁丹东高一上学期期中数学试卷（教学质量调研）（PDF版含解析）

2023~2024学年辽宁丹东高一上学期期中数学试卷（教学质量调研）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3、函数 的图像必经过点（ ）
A.
B.
C.
D.
4、我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛 羊各直
金几何？”大致意思是：有5头牛 2只羊，值金10两，2头牛 5只羊，值金8两，问牛 羊各值金多少两？（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知 ，则（ ）
A.
B.
C.c< a< b
D.
6、已知幂函数 的图象与坐标轴没有公共点，则 （ ）
A.
B.
C.2
D.
7、已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列结论中不正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
10、已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像关于点 对称
B. 在区间 单调递减
C. 的值域为
D. 的图像关于直线 对称
11、已知一元二次不等式 的解集为 或 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知 是定义在 上的连续函数，且满足 ，当 时， ，设
（ ）
A.若 ，则
B. 是偶函数
C. 在 上是增函数
D. 的解集是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数 的定义域是 .
14、已知 ，则 .
15、已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
16、已知函数 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知全集 ，集合 .
(1)求 ；
(2) 若 ，求 的取值范围.
18、（本小题12分）
已知正实数 满足 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
19、（本小题12分）
已知函数 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的值.
20、（本小题12分）
某公园内有一块场地，如下图所示，当地的文旅集团欲把 三块区域种植不同的花草
供游客欣赏，已知 ， ，设 ，（单位： ）.
(1)请用 表示 ；
(2)当 取何值时， 的面积最大，并求最大值.
21、（本小题12分）
已知函数 .
(1)若 在 上单调递减，求 的取 值范围；
(2)解关于 的不等式 .
22、（本小题12分）
已知二次函数 满足 ，且该函数的图象经过点 ，在 轴上截得的线段长为4，设
.
(1)求 的解析式 ；
(2)求函数 在区间 上的最小值；
(3)设函数 ，若对于 任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的
取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
C
<解析>:
因为 ，
所以 ，
故选：C
2、
<答 案>:
B
<解析>:
解：由 ，可得 或 ；
由 可得 且 ，
所以由 不能推出 ，但由 能推出 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3、
<答 案>:
D
<解析>:
由函数 ，令 ，即 ，可得 ，
所以函数 的图象必经过点 .
故选：D.
4、
<答 案>:
A
<解析>:
设每头牛值金 两，每只羊值金 两，
由题意可得 ，
解得 ，
所以每头牛值金 两，每只羊值金 两．
故选：A．
5、
<答 案>:
B
<解析>:
因为 ，且 ，
所以 .
故选：B
6、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 为幂函数，所以 ，解得 ，或 ，
又 的图象与坐标轴无公共点，故 ，所以 ，故 ，
所以 .
故选:A.
7、
<答 案>:
C
<解析>:
令 ，由 知，函数 单调递减，
由函数 （ ，且 ）在区间 上单调递增，
则 单调递减且 ，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：C
8、
<答 案>:
A
<解析>:
由于 的定义域为 ,
且 ，所以 为偶函数，
又当 时， 为单调递增函数，
故由 得 ，解得 ，
故选：A
二、多选题
9、
<答 案>:
B;C
<解析>:
A.因为 ，可知， ，则 ，故A正确；
B.若 ，满足 ，此时 ，故B错误；
C. ， ，满足 ，此时 ，故C 错误；
D. ，因为 ，所以 ， ，即
，即 ，故D正确.
故选：BC
10、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
化简得 ，
的可以看作是函数 先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出 的图象，再进行平移画出 的图象，
因为函数 为奇函数，关于点 对称，且在 和 上为单调递减函数，
则 经过平移后变成的 关于点 对称，且在 和 上为单调递减函数，
则 在 上单调递减，值域为 ，
若点 在 图象上，则 ，整理得 ，
即点 也在 图象上，可知 的图像关于直线 对称，
所以ABD正确； C错误.
故选：ABD.
11、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
一元二次不等式 的解集为 或 ，
则 是方程的两根 ，且 ，
则 ，得 ；
则 错误；
，B正确；
，C正确；
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故 ，D正确.
故选：BCD
12、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
对选项A：取 得到 ，即 ，
取 ， 得到 ，又 ， ，
解得 ，正确；
对选项B：取 得到 ，即 ，
g ，函数定义域为 ，函数为奇函数，错 误；
对选项C：设 ，则
，
时， ，故 ， ，故 ，
即 ，函数单调递增，正确；
对选项D： ， ，
当 时， ，则 ，故 ；
当 时，不成立；
当 时， ， 则 ，故 ；
综上所述： ，正确；
故选：ACD.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
因为对数的真数大于零，二次根式被开方数为非负实数，
所以有 ，
所以该函数的定义域为 .
故答案为：
14、
<答案 >:
<解析>:
，则 .
故答案为： .
15、
<答案 >:
1
<解析>:
因为正实数 满足 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
函数 在区间 上有两个零点，
即 在区间 上有两个不同的解，
即 在区间 上有两个不同的解，
转化成 与 在区间 上有两个不同的交点，
结合对勾函数的性质可知 在 单调递减，在 单调递增，
且 ，所以 ，解得 ，
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1) ，
(2) .
<解析>:
（1）由题意得，集合
所以 ， ；
（2）因为 ，所以
又因为 ，所以 ，即 .
所以 的取值范围为 .
18、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）将 两边平方得 ，
所以 .
2 （ ）因为 是正实数，令 ，
则 ，所以 ，
可得 ，
所以 .
19、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) 或
<解析>:
（1）证明：由 ，
因为 ，则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 ，
所以 .
（2）由 ，得 ，解得 ，或 ，
则 或 ，
即 或 ，
解得 或 .
20、
<答案 >:
(1)
(2)当 时， 的面积最大，最大值为
<解析>:
（1）因为 ，直角三角形 与直角三角形 全等，所以
，
在 中， ，
所以 ，
整理得
（2）由（1）得 的面积为
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 时， 的面积最大，最大值为
21、
<答案 >:
(1)
(2)答案见解析
<解析>:
（1）当 时， 的图像开口向上且对称轴方程为 ，
要使 在 上单调递减，需满足 ，
解得 ，所以 的取值范围为 .
（2）不等式 ，即
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，
不等式的解为 ；
当 时，不等式化为 ，
若 ，即 时，不等式的解为 或 ，
若 ，即 时，不等式的解为 ，
若 ，即 时，不等式的解为 或 ，
综上所述：
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解为 ，
当 时，不等式的解集为 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)答案见解析
(3)
<解析>:
（1）因为 ，则 的图象关于直线 对称，
且在 轴上截得的线段长为 ，
的图象与 轴的交点分别为 ，所以设 ，
该函数的图象经过点 ，所以 ，解得 ，所以 .
（2）因为 ，其对称轴方程为 ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
综上所述，当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
（3）若对于任意 ， 总存在 ，使得 成立，
等价于 ，
函数 ，
因为 ，所以 ，所以当 时， 取得最小值为 ，
当 时， ，所以 ，不成立；
当 时， ，所以 ，
解得 或 ，所以 ；
当 时， ，
所以 ，解得 ，所以 ；
综上所述， 的取值范围是 .