2023~2024学年辽宁沈阳高二上学期期中数学试卷（五校协作体）（PDF版含解析）

2023~2024学年辽宁沈阳高二上学期期中数学试卷（五校协作体）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、方程 表示的曲线是
A.一个圆和一条直线
B.一个圆和一条射线
C.一个圆
D.一条直线
2、已知 是坐标原点，空间向量 ， ， ，若线段 的中点为 ，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3、“ ”是“圆 与圆 相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、如图，在四面体 中， ， 分别是 ， 的中点， 为 上一点，且 ，若
， ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5、直线 过点 且与椭圆 相交于 ， 两点，若点 为弦 的中点，则直线 的斜率为
（ ）
A.
B.
C.
D.1
6、已知 为椭圆C： 的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，
N两点，若 等于 的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知点 在直线 上运动， 是圆 上的动点， 是圆 上的动
点，则 的最小值为（ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
8、正方体 的棱长为2，P是空间内的动点，且 ，则 的最小值
为（ ）.
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法正确的是（ ）
A.过点 ，在 轴上的截距与在 轴上的截距相等的直线有两条
B.过点 作圆 的切线，切线方程为
C.经过点 ，倾斜角为 的直线方程为
D.直线 的一个方向向量为
10、已知椭圆 分别为它的左、右焦点， 为椭圆的左、右顶点，点 是椭圆上异于
的一个动点，则下列结论中正确的有（ ）
A． 的周长为20 B．若 ，则 的面积为9
C． 为定值 D．直线 与直线 斜率的乘积为定值
11、若实数x，y满足曲线C： ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C.直线 与曲线C恰有1个交点，则实数
D.曲线C上有4个点到直线 的距离为1.
12、如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－ 的表面上一个动点，则（ ）
A.当P在平面 上运动时，四棱锥P－ 的体积不变
B.当P在线段AC上运动时， 与 所成角的取值范围是[ ， ]
C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D.若F是 的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面 时，PF长度的最小值是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若坐标原点O在方程 所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为 ．
14、已知直线l的倾斜角为 π，直线l1经过点A(3，2)，B(a，-1)，且l1与l垂直，直线l2:4x+by+1=0与直线l1平
行，则a+b等于 .
15、在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均
为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2， ， ， ，
均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90 ，则图中异面直线
与 所成角的余弦值为 ．
16、已知椭圆 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点， ，则
.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ， 是
上一点，且 ．
(1)证明： 面 ；
(2)求点 到平面 的距 离；
18、（本小题12分）
已知圆E经过点 ， ，圆E恒被直线 平分；
(1)求圆E的方程；
(2)过点 的直 线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．
19、（本小题12分）
在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，侧面 底面
，且 分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成 的角为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
20、（本小题12分）
已知椭圆 的上顶点到右顶点的距离为 ，点 在 上，且点 到右焦点距离的最
大值为3，过点 且不与 轴垂直的直线 与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)记 为坐标原 点，求 面积的最大值.
21、（本小题12分）
如图1，等腰梯形 是由三个全等的等边三角形拼成，现将 沿 翻折至 ，使得
，如图2所示.
(1)求证： ；
(2)在直线 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
22、（本小题12分）
已知椭圆 的两个焦点分别为 ，短轴的一个端点为 内切圆的半径
为 ，设过点 的直线 被椭圆 截得的线段为 ，当 轴时， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)在 轴上是否存在一点 ，使得当 变化时，总有 与 所在直线关于 轴对称？若存在，请求出点 的坐
标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
由题意 可化为 或 ），
在 的右方，
）不成立， ，
方程 表示的曲线是一条直线.
故本题正确答案为
2、
<答 案>:
C
<解析>:
由题意 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
3、
<答 案>:
A
<解析>:
略
4、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ， ．
因为 ，
所以
．
故选：D．
5、
<答 案>:
A
<解析>:
设 ， 因为点A，B在椭圆上，
所以 ，
两式相减得 ，
即 ，
因为点 为弦 的中点，
所以直线 的斜率为 ，
因此正确答案为：A
6、
<答 案>:
B
<解析>:
为椭圆C： 的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得 .
过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N 两点，
.
等于 的最小值的3倍，
.
椭圆中 ，
，即 ，
则 .
，
，解得 或 （舍）.
因此正确答案为：B.
7、
<答 案>:
D
<解析>:
略
8、
<答 案>:
C
<解析>:
取 的中点M，连接 ，
则 ，则 ，即 ，
故动点P的轨迹为以M为球心， 为半径的球.
由正方体 的棱长为2，可知 正方体 外接球的半径为3，
即动点P的轨迹为正方体 的外接球.
取 的中点N，连接 ，
则
.
由题可知， ，则 ， ，
则 .
所以 的最小值为 ，
故选：C
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B;D
<解析>:
A选项，当直线过原点时，直线方程为 ；当直线不过原点时，设直线方程为 ，代入点 ，
得 ， ，直线方程为 ，
所以过点 ，在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条，A选项正确；
B选项，由于 ，所以 在圆 上，圆心为 ， ，过点 作圆
的切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ，B选项正确；
C选项，当 时， 不存在，所以C选项错误；
D选项，直线 的斜率为2，一个方向向量为 ，所以D选项正确，
故选：ABD．
10、
<答案 >:
BCD
<解析>:
略
11、
<答案 >:
A;B
<解析>:
对于A:曲线 即 的图象是以 ， 为圆心，2为半径的半圆，如图，
，选项A正确；
B: 对于 代表曲线半圆上的点与 的斜率，由图可知，曲线取点 时，斜率最小，
，选项B正确；
对于C：直线 过定点 ，由图可知，当直线位于 之间，或者直线
与曲线C相切时恰有1个交点，
相切时 ，解得： 或 ，故实数 ， ，选项C错误；
对于D：如图，曲线上最多有2个点到直线 的距离为1，D错误；
故选：AB.
12、
<答案 >:
A;B;C
<解析>:
A选项，底面正方形 的面积不变，P到平面 的距离为正方体棱长，故四棱锥P－ 的
体积不变，A选项正确；
B 选项， 与 所成角即 与 所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为 ，当P在AC中点时，
3
所成角最大，为 ，故B选项正确；
2
1
C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的 圆弧如图，4
故P的轨迹长度为 ，C正确；
D选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为 6，D选项错误.
故选：ABC.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
因为 ，则 ，解得 ；
又因为点 在圆的外部，则 ，解得 ；
所以实数m的取值范围为 ．
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
由直线l的倾斜角为 ，则 的斜率 ，由l1与l垂直，
则 且 的斜率 ，得 ，
又由 与 平行，则 斜率 ，得 ，则 .
故答案为：
15、
<答案 >:
/
<解析>:
设上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，连接 ， ， ，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为
轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，则 ， ，
所以 ，
又因为异面直线所成角的范围为 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
由题意椭圆 为两个焦点，可得 ，
则 ①，即 ，
由余弦定理得 ，
，故 ，②
联立①②，解得： ，
而 ，所以 ，
即 .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）∵ 平面 ， 面 ，∴ ，
又∵ ， 面 ， ，
∴ 平面 ．
（2）解法1：过 做 于 ，
∵ 平面 ， 面 ，∴ ，
又 ， 面PAC，∴ 面 ，
为点 到平面 的距离，
在 中， ，
∵ ，又∵ ，∴ 为 的中点，
∴点 到平面 的距离为 ．
解法2：∵ 平面 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
由 ，得 ，∴ ．
∵ ，又∵ ，∴ 为 的中点．
∴点 到平面 的距离为 ．
解法3：分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，
， ， ，
则 ， ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
由 ，知 ，
∴ ， 为 中点，
∴ ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
∴ ，取 ，得 ，
∴ 是平面 的一 个法向量．
∴点 到平面 的距离为 ．
18、
<答案 >:
(1)
(2) ， .
<解析>:
（1）由直线方程 知： ，故直线恒过点 ，
因为圆E恒被直线 平分，所以圆E的圆心为 ，
因为 在圆上，故圆 的半径 ，
综上，圆E的方程为： ；
（2）
因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理得： ，
所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧．
因为 、 ，以EP为直径的圆的方程为 ，
由 ，
所以M的轨迹方程为： ， .
19、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：取 中点 ，连接 ，
为 的中点，
，又 ，
，
四边形 为平行四边 形：
，
平面 平面 ，
平面 ；
（2）平面 平 面 ，平面 平面 平面 ， 平面
，
取 中 点 ，连接 ，则 平面 ，
，
，又 ，
如图以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面 的一个法向量， ，
则 ，取 ，则 ，
平面 的一个法向量可取 ，
设平面 与平面 所成的夹角为 ，
,平面 与平面 所成的夹角的余弦为
20、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由题意得， ，解得 ，故 的方程为 .
（2）设 ，直线 ，
联立 ，整理得： .
由 得 ，且 ，
，
点 到直线 的距离 ，
，
令 ，故 ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 面积的最大值为 .
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) 或
<解析>:
（1）在图1连接 交 于 点，
在图2中，易知 、 都 是等边三角形，
易得 ， ，又 ， 平面 ，
可得 平面 ；
又直线 平面 ，
所以 .
（2）解法一：
假设存在点 ， 符合题意.
设 ，则 ，则 在 中，由 ，
由余弦定理得 ，
由（1）得直线 平面 ， 又 ，∴直线 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面
作 ，垂足为 ，则 平面 ，
在 ，由 ， ，
所以
如图3，取 中点 ，连接 ， ，
由 ， 得四边形 为平行四边形，
因为 平面 ，所以 平面 ，
则直线 与平面 所成角 为 ，且 .
由已知 ，即 ，
由 ，得
在 中，设 ，由余弦定理得
即 ，解得 或
所以存在点 ，使得直线 与平面 所成角的余弦值为 ，
此时 或
解法二（等体积法）：
设 ，则 ，
则在 中，由 ， ，由余弦定理得 ，
作 ，垂足为 ，连接 ，得 ，∴
由（1）得直线 平面 ，又 ，∴直线 平面 ，
∴ ，所以 是直角三角形，
所以 的面积为 ，
设点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，所以
所以 ，得 ，
在 中，设 ，由余弦定理得
即 ，解得 或
所以存在点 ，使得直线 与平面 所成角的余弦值为 ，
此时 或
解法三（向量法） 由解法一知 ，如图3，以 的中点 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴正
方向，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ，
因此， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，令 ，则 ；
即向量 ，
设存在点 ， ，满足题意，
则 ，
所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，所以
所以
，
解得 ，
所以存在点 ，使得直线 与平面 所成角的余弦值为 ，
此时 或
22、
<答案 >:
(1)
(2)存在，
<解析>:
（1）由内切圆的性质，得 ，得 .
将 代入 ，得 ，所以 .
又 ，所以 ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线 垂直于 轴时，显然 轴上任意一点 都满足 与 所在直线关于 轴对称.
当直线 不垂直于 轴时，假设存在 满足条件，
设 的方程为 .
联立方程，得 得 ，
由根与系数的关系得 ①，其中 恒成立，
由 与 所在直线关于 轴对称，得 （显然 的斜率存在），
即 ②.
因为 两点在直线 上，
所以 ， 代入②得
，
即 ③，
将①代入③得 ④，则 ，
综上所述，存在 ，使得当 变化时，总有 与 所在直线关于 轴对称.