2023~2024学年内蒙古呼和浩特新城区呼和浩特市第十四中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年内蒙古呼和浩特新城区呼和浩特市第十四中学高二上学期
期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、直线 对应的斜率分别为 ，对应的倾斜角分别为 ，若已知 ，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2、两条平行直线 与 之间的距离（ ）
A.
B.
C.
D.7
3、过点 且垂直于 的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ，则C的方程为
（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知点 ， ，若过 斜率为 的直线 与线段 相交，则实数 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
6、已知 ， 表示平面， ， 表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）
A.假设 ， ，那么 //
B.假设 ， ， // ，那么 //
C.假设 // ， ，那么 //
D.假设 ， ， // ， // ，那么 //
7、直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则直线 与平面 的夹角的余弦为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 ， 分别为椭圆的左、右焦
点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法正确的是（ ）
A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B.点 关于直线 的对称点为
C.直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
10、已知圆 与圆 ，则下列说法正确的是
（ ）
A.若圆 与 轴相切，则
B.若 ，则圆C1与圆C2相离
C.若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D.直线 与圆C1始终有两个交点
11、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形
的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD， ， ， ，则
下列结论正确的有（ ）
A.四面体P－ACD是鳖臑
B.阳马P－ABCD的体积为
C.阳马P－ABCD的外接球表面积为
D.D到平面PAC的距离为
12、平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 年卡西尼在研究土星及其卫星的
运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系 中， ， ，动点 满足 ，其轨
迹为一条连续的封闭曲线 ，则下列结论正确的是（ ）
A.曲线 与 轴的交点为 ，
B.曲线 关于 轴对称
C. 面积的最大值为
D. 的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知双曲线 ，则双曲线 的焦距为 ．
14、已知F1，F2为椭圆C 的左 右焦点，点P在椭圆C上， ，则
.
15、已知直线 与曲线 有两个交点，则 的取值范围为 .
16、已知点 是圆 ： 上动点， .若线段 的中垂线交 于点 ，则点 的轨迹方
程为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 的三个顶点是 ， ， .求：
(1)边 上的中线 所在直线方程；
(2)边 上的高 所在直线方程.
18、（本小题12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)、 平面AEC
(2)、平面AEC⊥平面PBD
19、（本小题12分）
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值
且 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平
面直角坐标系 中， ， ，动点 满足 .设点 的轨迹为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若曲线 和 无公共点，求 的取值范围.
20、（本小题12分）
椭圆 （ ）的左右焦点分别为 ， ，其中 ， 为原点．椭圆上任意一点到
， 距离之和为 ．
（1）求椭圆的标准方程 及离心率；
（2）过点 的斜率为2的直线 交椭圆于 、 两点．求的 面积．
21、（本小题12分）
在四棱锥 中， ， ， ， ，
为正三角形，且平面 平面ABCD.
(1)求二面角 的余弦值；
(2)线段 上是否存在一点 （不含端点），使得异面直线 和 所成的角的余弦值为 ？若存在，指出
点 的位置；若不存在，请说明理由.
22、（本小题12分）
过点 的直线 与圆 ： 交于 ， 两点， 为圆 与 轴正半轴的交点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2) 证明：直线 ， 的斜率之和为定值．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
C
<解析>:
由题知，如图所示：
直线的倾斜角为锐角时，斜率大于0且倾斜角越大斜率 越大，
直线的倾斜角为钝角时，斜率小于0且倾斜角越大斜率 越大；
故选：C.
2、
<答 案>:
C
<解析>:
由已知两条直线平行，得 ，所以 ，
所以直线 可化为 ，则两平行线间的距离 .
故选：C.
3、
<答 案>:
D
<解析>:
设过点 且垂直于 的直线方程为 ，
将点 代入，可得 ，解得 ，
所以所求直线方程为 .
故选：D.
4、
<答 案>:
D
<解析>:
通过题意得： ，解得： ，
故C的方程为： .
因此正确答案为：D
5、
<答 案>:
C
<解析>:
如图，若 与线段 相交，直线范围从 到 ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
故 ，
故选：C
6、
<答 案>:
C
<解析>:
选项A：假设 ， ，那么 // 或 在 内，故选项A错误；
选项B：假设 ， ， // ，那么 // 或 与 异面，故选 项B错误；
选项D：假设 ， ， // ， // ，且 、 相交才能判定 // ，故选 项C错误；
选项C：依照两平面平行的性质可知C正确．
故选：C
7、
<答 案>:
D
<解析>:
利用直线与平面的夹角坐标公式计算可得答案．
设直线 与平面 的夹角为
则
直线 与平面 的夹角的余弦为
故选：D
8、
<答 案>:
D
<解析>:
由椭圆的定义得 ，又∵ ，∴ ， ，
而 ，当且仅当点 在椭圆右顶点时等号成立，
即 ，即 ，则 ，即 .
故选：D．
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B;C
<解析>:
解：当直线的倾斜角为 时，直线不存在斜率，
所以所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率， 故A正确；
点 与 的中点坐标 满足直线方程 ，
并且两点的斜率为： ，
所以点 关于直线 的对称点为 ，
故B正确；
直线 在两坐标轴上的截距分别为：2， ，
与坐标轴围成的三角形的面积是： ，
故C正确；
经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 或 ，
所以D不正确；
故选:ABC.
10、
<答案 >:
B;D
<解析>:
因为 ， ，
对A，故若圆 与x轴相切，则有 ，故A有误；
对B，当 时， ，两圆相离，故B无误；
对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程 ，故C有误；
对D，直线 过定点 ，而 ，故点 在圆
内部，所以直线 与圆 始终有两个交点，故D无误.
因此正确答案为：BD
11、
<答案 >:
B;D
<解析>:
设 ， ， ，
由侧棱PD⊥底面ABCD， ， ， ，
可得 ，解得
即 ， ， ．
对于A，由 ， ， 可得△PAC不是直角三角形，故A有误；
对于B， ，故B无误；
对于C，将阳马 － 补形为长为2，宽为1，高为1的长方体，
可知其外接球直径为 ，
故阳马 － 的外接球半径 ，
表面积 ，故C有误；
对于D，设D到平面 的距离为h，
由 ， ，
可得 的面积为 ，
由等体积法 ，
可得 ，
解得 ，故D无误．
因此正确答案为：BD.
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
设点 ，依题意， ，
整理得： ．
对于A，当 时，解得 ，
即曲线 与 轴的交点为 ， ，A正确；
对于B，因为 ，
用 代换 ，方程不变，曲线 关于 轴对称，B正确；
对于C，当 时， ，
即点 在曲线 上，
又 ， ，C不正确；
对于D，由 得： ，
解得 ，
于是得 ，
解得 ，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13、
<答案 >:
4
<解析>:
由双曲线方程 ，可得 ， ，
， ，故焦距为4.
故答案为：4.
14、
<答案 >:
<解析>:
由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定理可得|PF |21 ＋|PF |22 －2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F 21F2| ，
所以 ，
解得3|PF1|·|PF2|＝4，即 ，
故答案为：
15、
<答案 >:
，
<解析>:
，即 过定点 ，
，即曲线 为原点为圆心，2为半径的半圆，
如图所示，设 与曲线 切于点C，曲线 与横轴负半轴交于点B，
则 ， ，故 ， .
故答案为： ， .
16、
<答案 >:
<解析>:
由题意，可作图如下：
因为 为线段 中垂线上一点，所以 ，则 ，
显然 为圆 ： 的半径，则 ，
则动点 的轨迹为以定点 为焦点的椭圆，其中 ， ，
解得 ，故其轨迹方程为 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由题知 的中点 ，所以直线 的斜率 ，
则边 上的中线 所在直线的方程为 ，化简得 .
（2）由题意得直线AC的斜率 ，且 ，所以 .
则边 上的高 所在直线的方程为 ，化简得 .
18、
<答案 >:
(1)、
证明见解析
(2)、
证明见解析
<解析>:
(1)、设 ,连接 ,如图所示:
因为O,E分别为 , 的中点，所以 ,又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ．
(2)、连接 ,如图所示:
因为 , 为 的中点，所以 ,又因为四边形 为菱形，所以 ,因为 平面
, 平面 ,且 ,所以 平面 ,又因为 平面 ,所以平面 平面
．
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）设 ，然后根据 列方程化简计算即可得曲线 的方程，
（2）先求出两圆的圆心和半径，再通过题意可得两圆外离或内含，从而可得 或
，从而可求出 的取值范围
（1）
设 ，
因为 ， ，动点 满足 ，
所以 ，
化简得 ，即 ，
所以曲线 的方程为 ，
（2）
曲线 的圆心为 ，半径为4，
的圆心为 ，半径为 ，
因为曲线 和 无公共点，
所以两圆外离或内含，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 的取值范围为
20、
<答案 >:
（1） ， ；（2）
<解析>:
（1）通过题意， ， ，
所以椭圆的标准方程为 ，离心率为 ；
（2）直线 的方程为 ，代入椭圆方程得
设 ，则 ， ，
∴ ，
又∵点 到直线 的距离
即 的面积为 .
21、
<答案 >:
(1)
(2)存在，点 位置为
<解析>:
（1）设 是 中点， 为正三角形，则 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又 平面 ，所以 面ABCD.
又因为 ， ，
所以 为正三角形，
所以 ，以 为原点，分别以 为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， 于是
， ， .
设平面 的法向量为 ，
由
即 可取 .
平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，
则
由图知为 为钝角，所以二面角 的余弦值为 .
（2）设 ，
则 ， ，
，
所以 ，
解得 或0（舍），
所以存在点M使得 .
22、
<答案 >:
(1) 或
(2)证明见解析
<解析>:
（1）①直线 垂直于 轴时，可得出直线 为 ，
此时直线 与圆 的两交点距离 为 ，满足题意 ；
②当直线 不垂直 轴时，设直线方程为 ，
因为 ，所以半弦长为 ，由勾股定理得弦心距 ，
又有点到直线的距离公式可得弦心距 ，解得 ，
此时直线方程为 ，
所以满足题设条件的直线 的方程为 或
（2）由题设容易得到点 坐标 ，
设直线方程为 ，联立圆的 方程，可得关于 的一元二次方程：
，
设点 ， ，由根与系数的关系（韦达定理）可得 ， ，
的斜率 ，
的斜率 ，
则
，
所以 与 的斜率之和为定值，从而结论得证．