2023~2024学年宁夏吴忠青铜峡市青铜峡市第一中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年宁夏吴忠青铜峡市青铜峡市第一中学高二上学期期中数学
试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、直线 的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.不存在
2、椭圆 的焦点坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知空间向量 两两夹角均为60°，其模均为1，则 ＝（ ）
A.5
B.6
C.
D.
4、“方程 表示椭圆”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分条件又不必要条件
5、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P为椭圆C上一点，若 的周长
为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
6、若直线l的一个方向向量为 ， ， ，平面α的一个法向量为 ， ， ，则（ ）
A.l∥α或l α
B.l⊥α
C.l α
D.l与α斜交
7、阿基米德(公元前 年—公元前 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆
的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，且椭圆
的离心率为 ，面积为 则椭圆 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法中，正确的有（ ）
A.直线 的斜率为
B.直线 在y轴上的截距为3
C.直线 必过定点（-2，3）
D.直线 ： 与直线 ： 平行
10、如图，在长方体 中， ， ，若 为 的中点，则以下说法中正
确的是（ ）
A.线段 的长度为
B.异面直线 和 夹角的余弦值为
C.点 到直线 的距离为
D.三棱锥 的体积为
11、已知点 是圆 ： 上的动点，则下面说法正确的是（ ）
A.圆的半径为2
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 的最大值为6
12、为纪念法国天文学家乔凡尼·多美尼科·卡西尼，数学史上，把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的
轨迹称为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系内，曲线C是到两个定点 ， 的距
离之积为5的点的轨迹．以下结论正确的有（ ）
A.曲线C关于x轴对称
B.曲线C与y轴的交点为
C.对于曲线C上任意一点P，均满足
D.曲线C上存在点P，使得 的面积为3
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知空间向量 ， ，若 ，则实数 .
14、已知直线 过点 ，且 在两坐标轴上的截距相等，则直线方程 的方程为 ．
15、已知椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为 .
16、已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的面积取
最小值时直线 的方程为 ．（答案写成一般式）
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 经过点 ，分别求满足下列条件的直线 的方程：
(1)与直线 垂直；
(2)与圆 ： 相切 .
18、（本小题12分）
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为 ，长轴长 是短轴长的2倍；
(2)经过点 ，离心率为 ，焦点在x轴上；
(3)经过两点 ， .
19、（本小题12分）
已知圆心为 的圆经过点 ， 和 ，且圆心在直线 上，求：
(1)求圆心为 的圆的标准方程；
(2)设点 在圆 上，点 在直线 上，求 的最小值；
(3)若过点 ， 的直线被圆 所截得弦长为 ，求该直线的方程．
20、（本小题12分）
在平面直角坐标系xOy中，设直线 （ ）．
(1)求证：直线l经过第一象限；
(2)当原点O到直线l的距离最大时 ，求直线l的方程．
21、（本小题12分）
如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为 的正方形， .再从条件① 条件② 条件
③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.
条件①： ；条件②： ；条件③：平面 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成 角的正弦值.
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系xOy中，设动点P到两定点 ， 的距离的比值为2的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l过点M，且 点N到直线l的距离为1，求直线l的方程，并判断直线l与曲线C的位置关系．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
直线 的斜率为 ，
所以其倾斜角为 .
故选：B.
2、
<答 案>:
A
<解析>:
由 可得 ，
因此 ，且焦点在 轴上，
所以焦点坐标为 .
故选：A.
3、
<答 案>:
C
<解析>:
解：由题得
= .
因此正确答案为：C
4、
<答 案>:
A
<解析>:
由方程 表示椭圆，则满足条件为：
，解得 且
所以由 且 ，可以推出 ，但反过来不成立.
因此正确答案为：A
5、
<答 案>:
B
<解析>:
设焦距为 ．
因为 的周长为18，所以 ，所以 ．
因为长半轴长为5，即
所以椭圆C的离心率为
故选：B．
6、
<答 案>:
A
<解析>:
直线的一个方向向量为 ， ， ，平面α的一个法向量为 ， ， ，
， ，
或 ，
故选：A
7、
<答 案>:
A
<解析>:
解：通过题意，设椭圆C的方程为 ，
因为椭圆 的离心率为 ，面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ，
因此正确答案为：A.
8、
<答 案>:
D
<解析>:
由 得 ，表示以 为圆心，以 为半径的半圆，
其图象如下：
由图像可得，当直线 过点 时，
直线 与曲线 恰有一个公共点，此时 ；
当直线 过点 时，
直线 与曲线 恰有两个公共点，此时 ；
当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径，
即 ，且 ，解得 ，
因此，由图像可得，为使直线 与曲线 恰有一个公共点，
实数b的取值范围为 .
D. 故选：
二、多选题
9、
<答 案>:
C;D
<解析>:
对于A中. 由直线 ，当 时，直线的斜率为 ；当 时，直线的斜率不存在，所以A
不正确；
对于B中， 直线 在y轴上的截距为 ，所以B不正确；
对于C中，直线 ，可化为 ，
由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点 ，所以C正确；
对于D中，由直线 ： 与直线 ： ，
可得 ，所以直线 与 平行，所以D正确.
故选：CD.
10、
<答案 >:
B;C
<解析>:
根据题意，以 为坐标原点， 分别为 轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
，
则 ，所以线段 的长度为 ，故A错误；
又 ，设异面直线 和 夹角为 ，
则 ，故B正确；
设直线 上存在点 满足 ，且 ，
则 ，所以 ，
则 ，又 ，可得 ，
解得 ，则 ，所以点 到直线 的距离为
，故C正确；
因为 ，故D错误；
故选：BC
11、
<答案 >:
B;D
<解析>:
A： ，
因此该圆的半径为 ，所以本选项不正确；
B：因为点 是圆 ： 上的动点，
所以 ，
设 代入 中，化简得：
，因为该方程有实根，
所以 ，
因此 的最大值为 ，所以本选项正确；
C：由B可知： ，
，
由A可知： ，
因为点 在圆上，所以 ，于是
，其中 ，
显然 的最小值为 ，所以本选项不正确；
D：由B可知： ，
令 ，代入 中，化简得：
，因为该方程有实根，
所以 ，因此 的最大值为6，
所以本选项正确，
故选：BD
12、
<答案 >:
A;C
<解析>:
设曲线C上任意一点坐标为 ，
则由题意可得： ，
即曲线C的轨迹方程为 ，
用- 代 ，方程不变，故曲线C关于x轴对称,A 正确；
令 ，则 ，解得 ，曲线C与y轴 的交点为 ，B错误；
对于曲线C上任意一点P ，
，
当且仅当 时取等号，故C正确；
又 ,
令 ，
故曲线C上不在点P，使得 的面积为3，D错误,
故选：AC
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
由已知可得， ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
14、
<答案 >:
或
<解析>:
设直线 与 轴， 轴的截距分别为 .
当 时，设直线 为 ，
因为直线 过点 ，所以 ， ，故直线 为 .
当 时，设直线 为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，解得 ，故直线 为 .
故答案为： 或
15、
<答案 >:
<解析>:
由椭圆 ，显然 ，则 ， ， ，
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的长轴长 .
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
因为直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点，则可设直线 的斜率为 ，且 ，
所以直线 的方程为： 即 ，
令 ，得到 ，所以 ；令 ，得到 ，所以 .
由 ，则三角形AOB的面积为
,
当且仅当 ,即 ，因为 ，所以 ，
所以直线方程为 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2) 或 .
<解析>:
（1）解：因为直线 与直线 垂直，可设直线 的方程为 ，
又因为直线 过点 ，代入可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
（2）解：由题意知，直线 过点 ，
又由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径 ，
当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，
此时满足圆心到直线的距离等于半径，所以直线 与圆 相切；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，可得 ，解得 ，即 ，
综上可得，所求直线 的方程为 或 .
18、
<答案 >:
(1)
(2)
(3)
<解析>:
（1）根据题意可设椭圆的标准方程为： ，
所以由题设有： ，解得 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）根据题意可设椭圆的标准方程为： ，
所以由题设有： ，解得 ，
故椭圆的标准方程为： .
（3）根据题意可设椭圆的标准方程为： ，
所以由题设有： ，解得 ，
故椭圆的标准方程为： .
19、
<答案 >:
(1)
(2)
(3) 或
<解析>:
（1）设圆的标准方程为 ，因为圆经过 和点 ，且圆心在直线
上，
所以 解得：
所以圆的标准方程为 .
（2）因为圆 到直线 的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以 的最小值为 .
（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心 到直线 的距离为
根据点到直线的距离公式得： ，解得 .
当斜率不存在时，直线方程为 ，符合截圆所得的弦长为8
所以直线方程为 或 .
20、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）方程 可化为 ，
由 解得
所以直线l过定点 ，
因为 在第一象限，所 以直线l经过第一象限．
（2）由题意可得，当 时，原点O到直线l的距离 最大，
因为 ，所以直线l的方程为 ，
即 ．
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）选择①②通过线面垂直的判定定理来证得结论成立；选择①③通过面面垂直的性质定理来证得结论成立；
选择②③则 与 是否垂直无法判断，不合题意.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值.
(1)
选择 ①②：（1）因为 ， ， ，所以 .
又因为 ， ，所以 平面 .
选择①③：（1）因为 ， ， ，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
选择②③：（1）因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，则 ，但 与 是否垂直无法判断，所以选择②③不合题意.
(2)
由（ 1）知 ， ，因为四边形 是正方形，所以 .
如下图所示，以 为原点建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ，令 ，则 ， ，所以 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
22、
<答案 >:
(1)
(2) ，相交
<解析>:
（1）设 为所求曲线C上任意一点，由题意得 ．又 ， ，
所以 ，整理得 ．
故曲线C的方程为 ．
2 （ ）显然 的圆心坐标为 ，半径为 ，
当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
设直线l的方程为 ，
因为点N到直线l的距离为1．所以 ，解得 ．
所以直线l的方程为 ，即 ．
所以圆心C到直线l的距离为 ，
因为 ，所以直线l与曲线C相交．