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第22章 相似形 章末复习
知识点合集
知识点1．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
知识点2．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
知识点3．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
知识点4．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
知识点5．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
知识点6．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点7．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
知识点8．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
知识点9．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
知识点10．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
知识点11．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
知识点12．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
知识点13．射影定理
（1）射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
（2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD DC；
②AB2＝BD BC；AC2＝CD BC．
试题练习
一．比例的性质
1．（2022秋 临泉县校级期中）已知，下列变形正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质逐个判断即可．
【解答】解：、，
，
，故本选项不符合题意；
、，
，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项符合题意；
、，
，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果，那么．
2．（2020秋 合肥期末）如果，那么 ．
【分析】根据比例的性质直接求解即可．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（2023 安徽模拟）已知，求的值．
【分析】根据等比性质得出，再分两种情况进行讨论，当时和时，分别求出的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：，
由等比性质可得：，
当时，，
当时，，
，
或．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
二．比例线段
4．（2021秋 蜀山区校级期中）已知线段，，则，的比例中项是 4 ．
【分析】设线段，的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【解答】解：设线段，的比例中项为，
是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
，
即，
（负数舍去）．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么叫做与的比例中项．
5．（2024 鸠江区一模）已知四个数，，，成比例，且，，，那么的值为
A．2 B．3 C． D．
【分析】根据比的性质解答即可．
【解答】解：根据题意得，
即，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求的值．
6．（2023秋 全椒县期中）已知线段、、，且．
（1）求的值；
（2）若线段、、满足，求、、的值．
【分析】设，，．
（1）代入计算即可；
（2）构建方程求出即可．
【解答】解：设，则，，，
（1）；
（2），
，
，
，，．
【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键．
三．黄金分割
7．（2023秋 蚌埠期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少 7.6 处．，结果精确到
【分析】要求至少走多少米，根据黄金比，只需保证走到的倍处即可，因为此点为线段的一个黄金分割点．
【解答】解：根据黄金比得：米或米（舍去），
则主持人应走到离点至少7.6米处．
故答案为：7.6．
【点评】本题考查黄金分割的公式：记忆较短的线段原线段的，较长的线段原线段的．此题注意要求的是至少走多少，即为黄金分割中的较短线段是解题关键．
8．（2023秋 利辛县期末）如图，已知点是线段的黄金分割点（其中，，则线段的大小是
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义：
如图所示，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．即可求解．
【解答】解：设线段的长为，则，
根据黄金分割定义，得
，
解得，，（不符合题意，舍去），
所以．
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
9．（2023秋 金安区校级期中）已知顶角为的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比）．如图，，，都是黄金三角形，已知，求的长度．
【分析】由黄金三角形的定义得出，，，，即可求解．
【解答】解：，，都是黄金三角形，
，，，，，
，
．
【点评】本题考查了黄金三角形，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
四．平行线分线段成比例
10．（2023 芜湖模拟）如图，在中，，且，则的值为
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
11．（2023秋 庐阳区校级期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，且，，，求的长．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：，
，
，，，
，
．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12．（2023秋 蒙城县期末）如图，已知是的中点，是的中点．求的值．
【分析】过作交于，根据是的中点得：，同理得，可得结论．
【解答】解：过作，交于，
，
，
，是的中点，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查对平行线分线段成比例定理的理解和掌握，能通过作辅助线构建平行线是解此题的关键．
13．（2023秋 蜀山区校级期中）已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则 ．
【分析】作交于，由中点的定义得出，由平行线得出，，得出对应边成比例，，所以，即可得出结论．
【解答】证明：过点作交于，如图，
为的中点，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解决问题的关键．
五．相似图形
14．（2021秋 金寨县期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
15．（禹会区校级期中）若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的面积扩大为原来的 25 倍．
【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答．
【解答】解：把一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，得到的三角形与原三角形相似，且相似比为，
面积比为，
三角形的面积扩大为原来的25倍，
故答案为：25．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．
16．（安徽月考）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，，，，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，求的面积．
【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出是直角，求出的内切圆半径，进而的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出的边长，进而求出的面积．
【解答】解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长，交的延长线于点，
和对应的边的距离都为1，
，，
，，
，
即，同理，
，
观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
，，，
新矩形于原矩形不相似，
观点二不正确；
（2）如图（3），延长、交于点，
到、的距离都为1，
是的角平分线，
同理，是的角平分线，
点是的内心，
，，，
是直角三角形，
设的内切圆的半径为，
则，
解得，
过点作于点，交于，
，
，
，
，
同理，
，，
的面积为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合题，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
六．相似三角形的性质
17．（2023秋 金安区期末）如图，，，，则 ．
【分析】利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．
18．（2023秋 安庆期末）如图，，，那么与的相似比为 ．
【分析】只需要求出的值即可得到答案．
【解答】解：，
，
，
，，
与的相似比为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，求出的值是解题的关键．
19．（2023秋 淮北期末）已知△，若的三边长分别为1，，，△的其中两边长分别为和．则△的第三边长为
A． B．2 C． D．
【分析】先找出两相似三角形的对应边，然后根据对应边成比例求出第三边．
【解答】解：的三边长1，，，△其中的两边长分别为和，
，与，分别是对应边，
设△的第三边长是，
则
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了三角形相似的性质，分清对应边是解决本题的关键．
20．（2020秋 蜀山区校级月考）如图，在，，分别是，上的点，，相似比为，的角平分线交于点，交于点，求与的比．
【分析】根据相似三角形的性质得出，，因为是的平分线，所以，然后根据三角形外角的性质求得，即可判定，根据相似三角形的性质求得，即可求得．
【解答】解：，
，，
是的平分线，
，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键．
七．相似三角形的判定
21．（包河区校级期中）如图，是的边上的一点，，，
（1）与相似吗？请说明理由．
（2）若，求的长．
【分析】（1）利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判定；
（2）根据相似三角形的性质计算的长．
【解答】解：（1）．理由如下：
，，，
，，
，
而，
；
（2），
，即，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
22．（2022秋 蚌山区校级期中）如图，给出下列条件：①；②；③；④，其中不能判定的条件为
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
【解答】解：，，
，
故①不符合条件；
，，
，
故②不符合条件；
，
，
，
，
故④不符合条件；
③中不是已知的比例线段的夹角，故③不能判定，
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
23．（2020秋 潜山市期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是
A． B．
C． D．
【分析】由图可得，，，然后分别求得，，，中各三角形的最大角，继而求得答案．
【解答】解：如图：，，，
、最大角，对应两边分别为：1，，
，
此图与相似；
、最大角，
与不相似；
、最大角，
与不相似；
、最大角，
与不相似．
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
24．（2022秋 凤阳县期末）如图，，直角边上有一动点（不与点、重合），过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线至少有 4 条．
【分析】过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于的另一个角即可．
【解答】解：①过点作的垂线段，则；
②过点作的平行线，交于，则
③过点作的平行线，交于，则；
④作，则．
故答案为：4
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的两个三角形相似．
八．相似三角形的判定与性质
25．（2024 合肥二模）已知，点是的中点，平分，，若，，则长为
A． B． C． D．
【分析】过点作于点，设，则，利用等腰直角三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得值，则可求，再利用等腰直角三角形的性质求得，则结论可求．
【解答】解：过点作于点，如图，
，平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，．
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
．
点是的中点，
．
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
26．（2022秋 定远县期末）如图，在平行四边形中，点是中点，与相交于点，如果的面积是1，那么的面积是 6 ．
【分析】首先证明，，利用等高模型解决问题即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
的面积是1，
的面积为2，的面积为4，
的面积为．
故答案为6．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．（2023秋 临泉县期末）如图，已知，，若，，三点共线，线段与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
【分析】（1）由，可得，，可得，所以，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似可得结论；
（2）由，易证，所以，由此可得结论．
【解答】（1）证明：，
、、、四点共圆，
，
，
，
，，
，即，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
九．相似三角形的应用
28．（2023秋 包河区期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度为
A． B． C． D．
【分析】求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
【解答】解：，，
，
，
，
，
外径为，
，
．
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的长．
29．（2022秋 迎江区期中）如图，小明在时测得垂直于地面的树的影长为4米，时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．
【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意，作，
树高为，且，，，
易得：，
有，即，
代入数据可得，
，
答：树的高度为米．
故答案为：．
【点评】本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用，难度适中．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
30．（2023秋 泗县期中）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量水平地面上树的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，垂直于地面，测得，边离地面的距离为，求树高．
【分析】利用直角三角形和直角三角形相似，求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
【解答】解：，，
，
，
．
，
，
．
答：树高．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
一十．作图-相似变换
31．（2022秋 庐阳区校级期中）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点△，使△，且相似比为；
（2）在图2中画一个格点△，使△，且相似比为．
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可；
（2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
【解答】解：（1）如图1所示，
（2）如图2所示，，，，
，，，
，
【点评】本题考查作图与相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
32．（2022秋 固镇县校级期中）如图1，在方格纸中，的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上．
（1）请在图2中画一个三角形，使它与相似，且相似比为；
（2）请在图3中画一个三角形，使它与相似，且相似比为．
【分析】（1）利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案；
（2）利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图2所示：△即为所求；
（2）如图3所示：△即为所求．
【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键．
一十一．位似变换
33．（2023秋 亳州期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为
A． B． C． D．
【分析】根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：与位似，
，，
与的周长之比是，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
34．（2022秋 蒙城县月考）如图，，相交于点，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）直接回答与是不是位似图形？
（3）若，，，求的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据位似变换的概念判断；
（3）根据，得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】（1）证明，，
；
（2）解：与不是位似图形，
因为它们的对应点的连线不平行；
（3）解：，
，又，
，
，即，
解得，．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
35．（2023秋 怀宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，与△的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）
【分析】过作于，过于，则，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过作于，过于，
则，
与△的相似比为，
，
，
△，
，
点，点，
，，，
，
，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是位似变换和坐标与图形性质，掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
一十二．作图-位似变换
36．（2024 天长市一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点，，，均为网格线的交点．
（1）以为位似中心，在网格中画出的位似图形△，使原图形与新图形的位似比为；
（2）把向上平移3个单位长度得△，请画出△；
（3）若的面积为，用表示出△的面积，直接写出结果．
【分析】（1）延长到使，延长到使，延长到使，则可得到△；
（2）利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点即可；
（3）根据位似的性质得到△，相似比为，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）如图，△为所作；
（2）如图，△为所作；
（3）由（1）知和△是位似图形，且位似比为，
△，相似比为，
，
．
【点评】本题考查了作图位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，④确定能代表所作的位似图形的关键点；⑤顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）是解决问题的关键．也考查了平移变换．
37．（2024 潘集区模拟）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）请画出关于轴的对称图形△；
（2）以为位似中心，在第三象限内画出的位似图形△，且位似比为1；
（3）借助网格，利用无刻度直尺画出线段，使平分的面积．（保留确定点的痕迹）
【分析】（1）直接利用关于轴对称图形的性质得出各对应点位置即可得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置，即可得出答案；
（3）直接利用矩形对角线的关系，结合三角形中线平分面积即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△即为所求；
（2）如图所示：△即为所求；
（3）如图所示：即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换、三角形的中线等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
一十三．射影定理
38．（颍上县期末）在中，，是边上的高，则下列结论不正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．
【解答】解：如图，，是边上的高，
由射影定理得：，，
；
；
，
，，正确，不正确．
故选：．
【点评】该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．
39．（2022秋 庐阳区校级期中）如图，在中，，于．若，，则 ．
【分析】证，可得到关于、、的比例关系式，由此得解．
【解答】解：中，，则有：；
又，
，
，
即．
【点评】此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质．
40．（2023秋 宣城期末）如图，在中，，是斜边上的高．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用相似三角形的性质证明，可得结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
，
．
（2）解：，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．中小学教育资源及组卷应用平台
第22章 相似形 章末复习
知识点合集
知识点1．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
知识点2．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
知识点3．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
知识点4．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
知识点5．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
知识点6．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点7．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
知识点8．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
知识点9．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
知识点10．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
知识点11．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
知识点12．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
知识点13．射影定理
（1）射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
（2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD DC；
②AB2＝BD BC；AC2＝CD BC．
试题练习
一．比例的性质
1．（2022秋 临泉县校级期中）已知，下列变形正确的是
A． B． C． D．
2．（2020秋 合肥期末）如果，那么 ．
3．（2023 安徽模拟）已知，求的值．
二．比例线段
4．（2021秋 蜀山区校级期中）已知线段，，则，的比例中项是 ．
5．（2024 鸠江区一模）已知四个数，，，成比例，且，，，那么的值为
A．2 B．3 C． D．
6．（2023秋 全椒县期中）已知线段、、，且．
（1）求的值；
（2）若线段、、满足，求、、的值．
三．黄金分割
7．（2023秋 蚌埠期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少 处．，结果精确到
8．（2023秋 利辛县期末）如图，已知点是线段的黄金分割点（其中，，则线段的大小是
A． B． C． D．
9．（2023秋 金安区校级期中）已知顶角为的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比）．如图，，，都是黄金三角形，已知，求的长度．
四．平行线分线段成比例
10．（2023 芜湖模拟）如图，在中，，且，则的值为
A． B． C． D．
11．（2023秋 庐阳区校级期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，且，，，求的长．
12．（2023秋 蒙城县期末）如图，已知是的中点，是的中点．求的值．
13．（2023秋 蜀山区校级期中）已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则 ．
五．相似图形
14．（2021秋 金寨县期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
15．（禹会区校级期中）若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的面积扩大为原来的 倍．
16．（安徽月考）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，，，，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，求的面积．
六．相似三角形的性质
17．（2023秋 金安区期末）如图，，，，则 ．
18．（2023秋 安庆期末）如图，，，那么与的相似比为 ．
19．（2023秋 淮北期末）已知△，若的三边长分别为1，，，△的其中两边长分别为和．则△的第三边长为
A． B．2 C． D．
20．（2020秋 蜀山区校级月考）如图，在，，分别是，上的点，，相似比为，的角平分线交于点，交于点，求与的比．
七．相似三角形的判定
21．（包河区校级期中）如图，是的边上的一点，，，
（1）与相似吗？请说明理由．
（2）若，求的长．
22．（2022秋 蚌山区校级期中）如图，给出下列条件：①；②；③；④，其中不能判定的条件为
A．① B．② C．③ D．④
23．（2020秋 潜山市期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是
A． B．
C． D．
24．（2022秋 凤阳县期末）如图，，直角边上有一动点（不与点、重合），过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线至少有 条．
八．相似三角形的判定与性质
25．（2024 合肥二模）已知，点是的中点，平分，，若，，则长为
A． B． C． D．
26．（2022秋 定远县期末）如图，在平行四边形中，点是中点，与相交于点，如果的面积是1，那么的面积是 ．
27．（2023秋 临泉县期末）如图，已知，，若，，三点共线，线段与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
九．相似三角形的应用
28．（2023秋 包河区期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度为
A． B． C． D．
29．（2022秋 迎江区期中）如图，小明在时测得垂直于地面的树的影长为4米，时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．
30．（2023秋 泗县期中）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量水平地面上树的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，垂直于地面，测得，边离地面的距离为，求树高．
一十．作图-相似变换
31．（2022秋 庐阳区校级期中）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点△，使△，且相似比为；
（2）在图2中画一个格点△，使△，且相似比为．
32．（2022秋 固镇县校级期中）如图1，在方格纸中，的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上．
（1）请在图2中画一个三角形，使它与相似，且相似比为；
（2）请在图3中画一个三角形，使它与相似，且相似比为．
一十一．位似变换
33．（2023秋 亳州期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为
A． B． C． D．
34．（2022秋 蒙城县月考）如图，，相交于点，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）直接回答与是不是位似图形？
（3）若，，，求的长．
35．（2023秋 怀宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，与△的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）
一十二．作图-位似变换
36．（2024 天长市一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点，，，均为网格线的交点．
（1）以为位似中心，在网格中画出的位似图形△，使原图形与新图形的位似比为；
（2）把向上平移3个单位长度得△，请画出△；
（3）若的面积为，用表示出△的面积，直接写出结果．
37．（2024 潘集区模拟）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）请画出关于轴的对称图形△；
（2）以为位似中心，在第三象限内画出的位似图形△，且位似比为1；
（3）借助网格，利用无刻度直尺画出线段，使平分的面积．（保留确定点的痕迹）
一十三．射影定理
38．（颍上县期末）在中，，是边上的高，则下列结论不正确的是
A． B． C． D．
39．（2022秋 庐阳区校级期中）如图，在中，，于．若，，则 ．
40．（2023秋 宣城期末）如图，在中，，是斜边上的高．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
