课件23张PPT。湘教版九年级下册第一章1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一次函数、正比例函数的定义是什么？ 请用适当的函数关系式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系：（1）圆的面积y( )与圆的半径x(cm);（2）某商店1月的利润是2万元，2、3月利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y;合作学习 探索新知 （3）一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为12Om，室内通道的尺寸如图,设一条边长为x（m）, 种植面积为y（m2）.1113x合作学习 探索新知 1.y =πx22.y = 2(1+x)23.y= (60-x-4)(x-2)=2x2+4x+2=-x2+58x-112思考：上述三个问题中的函数关系式具有哪些共同的特征?经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式，(a，b，c是常数，且 ).a≠0合作学习 探索新知定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是 。整式；a≠0；2任意实数二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax200242－158－112130说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： 试一试:二次函数y＝ax2+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.例 下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)2+1 (2) y=x+
(3) s=3-2t2 (4) y=(x+3)2-x2
(5)y= -x (6) v=10π r2
解:y=3(x-1)2+1
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1
即y=3x2-6x+4是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:3-64不是二次函数.(3) s=3-2t2是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:-203(4) y=(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2
即y=6x+9不是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:10π00不是二次函数.(6) v=10π r2是二次函数.
用20米长的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边长为x m,矩形的面积为y m2。求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?(2)当x=3时(o ３.下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)
做一做
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（ ）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米，则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数? 练一练2.请举一个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子. 练一练（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值。（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。
3. 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
【注意】二次函数的二次项系数不能为0. 练一练 4. 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数？
（1）写出正方体的表面积S（ ）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系式；
（2）写出圆的面积y（ ）与它的周长x（cm）之间的函数关系式；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系式． 练一练5.已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时,函数值为4，当x=2时，函数值为 -5 ，求这个二次函数的关系式. 练一练6.已知二次函数 ，
（1）你能说出此函数的最小值吗？ （2）你能说出这里自变量能取哪些值？ 练一练 【注意】当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
其中自变量x能取哪些值呢？问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？ 1.若函数 为二次函数，求m的值。2.m取何值时，函数y= (m+1) +(m-3)x+m是二次函数？ 3.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试
(1)写出y关与x的函数关系式.
(2)当x=3时,距形的面积为多少? 练一练课件26张PPT。第一章 二次函数知识回顾1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)正比例函数，反比例函数，一次函数的图象是怎么样的？二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？
列表描点连线情景导入二次函数的图像画函数y=x2的图像解:(1)列表(2) 描点(3) 连线y=x2A′AB′B 我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象．如右图y=x2新知探究我猜测 y=x2 的图象关于y轴对称．从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B′，……，它们有什么关系？点A和点A ′关于y轴对称，点B和点B ′也是……由此你能作出什么猜测？从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时， 纵坐标怎样变化？纵坐标随着增大的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗？我猜想都有这一性质．可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．y=x2我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出 y=x2 的其他一些性质（除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外）：图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称为“左降”；对称轴与图象的交点是____________；图象的开口向_____________；O(0,0)上减小当 x =______时，函数值最_______．0小类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质，于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）．画二次函数 的图象．解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。例1：描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如右图连线：A′AB′B 根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象．如图（1）抛物线y=6x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=6x2在x轴的 方(除顶点外).
（2）在同一坐标系中画出二次函数 及 的图象．并比较它们的共同点和不同点。描点连线列表描 点连 线列 表我们已经画出了 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？xOy24－2－424－2－4PQ1.在 的图象上任取
一点P（ ），它
关于x轴的对称点Q的坐
标是（ ）2.点Q的坐标是否在
的图象上？ 3.由此可知， 的图象与 的图象关于 对称xOy24－2－424－2－4PQx轴4.你怎样得到 的图象？因此只要把 的图象沿着x轴翻折将图象“复制”出来，就得到 的图象，1.对称轴是__________，对称轴与图象的交点是____________;图象的开口向___________；
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而____________，简称为右______________;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而____________，简称为左______________;
4.当x=__________时，函数值最_____________.我们已经正确地画出了 的图象，因此现在可以从图象看出 的性质：y轴下O（0，0）减小降增大升0大当a<0时， 的图象也具有上述性质，于是今后在画 的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了. 【总结】例2.画二次函数 的图象.描点和连线：画出图象在y
轴右边的部分.利用对称性
画出y轴左边的部分.这样我们得到了
的图象，如图【解析】列表xOy－2－424－2－4讲例:观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y 轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述概念：二次函数 的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线 的顶点是原点.1、画出二次函数 的图象.xOy－2－424－2－4描点、连线画 图象左半部分.将右半部分翻折得到左半部分.随堂练习2、二次函数 的性质有：（3）抛物线在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ；
在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ；yO(0,0)下减小增大（1）对称轴是 轴 ，顶点是 ；（2）开口向 ， 描点法用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。抛物线y=ax2 (a>0)y=-ax2 (a<0)顶点坐标对称轴位置开口方向极值（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时， y最小值为0。当x=0时， y最大值为0。y=ax2与y=-ax2关于x轴对称类比 二次函数y=±ax2的图像和性质2.顶点坐标与对称轴3.位置与开口方向4.增减性与最值1.二次函数y=ax2的图象是什么？知识梳理人生不是受环境的支配，而是受自己习惯思想的恐吓.
——赫胥黎课件27张PPT。第一章 二次函数二次函数y=ax2的图象及其特点？1、顶点坐标？（0，0）2、对称轴？y轴（直线x=0）3、图象具有以下特点：一般地，二次函数y=ax2 （ a≠0 ）的图象是一条抛物线； 抛物线在x轴的下方（除顶点外）顶点是抛物线上的最高点。抛物线开口向下，当a<0 时， 抛物线在x轴的上方（除顶点外）。顶点是抛物线上的最低点；抛物线开口向上，当a>0 时，知识回顾把二次函数 的图象E向左平移1个单位，得到图形F，如图.EFO'新知探究由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向左平移1个单位后；图形F也是抛物线点O'（－1，0）是F的顶点直线l`（过点O'与y轴平行）是F的对称轴F也开口向上 在抛物线 上任取一点 ，它在向左平移1个单位后，P的象点Q的坐标是什么？把点P的横坐标A减去1，纵坐标 不变，即象点Q的坐标为抛物线F是哪个函数的图象呢？这样我们证明了：函数 的图象是抛物线F，它的开口向上，它的顶点是O'（1，0），它的对称轴是过点O'（1，0）且平行与y轴的直线l ' ，直线l'是有横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l '记做直线x =1，抛物线 的开口向上.记 从而点Q的坐标为 这表明：点Q在函数 的图象上，由此得出，抛物线F是函数 的图象， 证 明：类似地，我们可以证明下述结论： 二次函数 的图像是抛物线，它的对称轴是直线 它的顶点坐标是（h，0）抛物线的开口向上；当a>0时抛物线开口向上；当 时抛物线开口向下。由于我们已经知道了函数 的图象的性质，因此今后在画 的图象，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分，在画图象的右边部分时，只需要“列表，描点，连线”三个步骤.画函数 的图象.解 抛物线 的对称轴是 x=2，顶点坐标是（2，0）列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:这样我们得到了函数 的图象 . 1.说出下列二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；对称轴 x=5顶点坐标（5，0）对称轴 x=-2顶点坐标（－2，0）随堂练习2.画二次函数 的图象如何画二次函数 的图象？我们来探究二次函数 之间的关系.图象上的点横坐标纵坐标aa通过上表说明 与 之间的关系？从此表看出：对于每个给定x值函数 的值都要比函数 都要大3由此可见 函数 的图象向上平移3个单位，就得到函数 的图象.因此，二次函数 的图象也是抛物线，它的对称轴为直线 x=1 （与抛物线 的对称 轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物线 的顶点（1，0）向上平移3个单位得到），它的开口向上.函数 的图象是抛物线，它的对称轴是
开口向上；当a＜0时，开口向下。
.
直线x=h它的顶点坐标是(h, k)当a ＞0时，抛物线的
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接他们和顶点）第二步：列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；由于我们知道 的图像的性质
因此画 图像的步骤如下：解 对称轴是直线 x =－1，顶点坐标为（－1，－3）画二次函数 的图象列表：自变量x从顶点的横坐标－1开始取值.xOy24－2－424－2－4描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样我们得到了函数
的图象，如右图向右平移1个单位顶点坐标(0,0)(1,0)对称轴:直线x=0直线x=1向左平移1个单位顶点坐标(0,0)(-1,0)对称轴:直线x=0直线x=-1xyo-11当h>0时,向右平移当h<0时,向左平移a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点; a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 ____
顶点坐标是 __________。直线x=h(h,0)的图象请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.练习: 对于二次函数
请回答下列问题：1、把函数 的图象作怎样的平移
变换，就能得到函数 的图象。2、说出函数 的图象的顶点坐标
和对称轴。做一做:向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0) 已知某抛物线的顶点坐标为（-2,1）且与y轴相交于点（0,4）求这个抛物线所表示二次函数的表达式。 例5 解：由于点（-2,1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线的所表示的二次函数表达式为y=a（x+2）2+1.由函数图像过点（0,4），可得：4=a(x+2)2+1解得：a=因此，所求得的二次函数的表达式为y= （x+2）2+1= x2+3x+4 1、 如果抛物线 的顶点坐标
是（-1，5）则随堂练习它的对称轴是：直线x=-1 ２、 如果一条抛物线的形状与
的形状相同，且顶点坐标是（４，-２）则函数关系式是____________h=-1，k=5 3、指出下列二次函数的开口方向、对称顶点坐标：(1)(2)(3)(4)4、画出二次函数y=-2（x-2）2+3的图像。5、已知某抛物线的顶点坐标为（-3,2）且与y轴相交于点（-1,0）求这个抛物线所表示二次函数的表达式。讨论归纳:当h>0时,向右平移当h<0时,向左平移当k>０时向上平移当k<０时向下平移顶点坐标：(０,０)（h,0)(h,k)的图象：对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。直线x=h(h, k)h左加右减
k上加下减 一般地，平移二次函数 的图象就
可得到二次函数 。 的图象因此，二次函数h左加右减 k上加下减顶点坐标与 h 和 k的值有关，且是(h，k)对称轴与h的值有关，对称轴是直线x=h结束语 忍耐之草是苦的，但最终会结出甘甜而柔软的果实.
——辛姆洛克课件21张PPT。第一章 二次函数时，图象将发生怎样的变化？二次函数y=ax2y = a(x-h)2y = a(x-h)2 +k1、顶点坐标？（0，0）（h，0）（h，k ）2、对称轴？y轴（直线x=0）（直线x= h）（直线x=h ）3、平移问题？一般地，函数y=ax2的图象先向左（当h<0）或向右（当h>0）平移|h|个单位可得y = a(x-h)2的图象；若再向上（当k>0 ）或向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x-h)2 +k的图象。
知识回顾说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴做一做：直线直线直线直线(5)(6) 对于二次函数y=ax2+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？通过变形能否将y=ax2+bx+c转化为
y = a(x-h)2 +k的形式 ？新知探究一般地，对于二次函数配方：顶点坐标是因此，当时，函数达到最大值（当a<0）或最小值（当a>0）：如何画二次函数 的图象 我们会画y = a(x-h)2 +k的图象了。因此只需把 配方成 的形式就可以了。 配方：故对称轴是直线 ，顶点坐标是对称轴是直线 ，顶点坐标是列表：自变量x从顶点的横坐标 开始取值描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到函数 的图象，如图3－1xyo1234－1－2－3－43241－5－1描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴
左边的部分，这样就得到 函数 的图象，如图从图看出，当x等于多少时，函数 的值最大？这个最大值是多少？当x等于项点
的横坐标 时，函数值 最大。这个最大值等于顶点的纵坐标xyo1234－1－2－3－43241－5－1从图看出，二次函数 ，当x等于多少时，函数值最小?这个最小值等于多少？一般地，有下述结论：二次函数 当
x等于顶点的横坐标时，达到
最大值（当a<0）或最小值
（当a>0），这个最大（小）
值等于顶点的纵坐标.Oy24－2－424－2－4 求函数 的最大值解 配方：顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.一般地，对于二次函数配方：顶点坐标是因此，当时，函数达到最大值（当a<0）或最小值（当a>0）：1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴并画出它们的图像.开口方向:顶点坐标：对称轴:随堂练习2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：配方 得顶点坐标为顶点坐标为（－3，4）3.求下列各个二次函数的最大值或最小值．解：配方得配方得4.已知二次函数y= x2+4x–3,
请回答下列问题：画函数图象（1）、函数 的图象能否由函数
的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图；（2）、说出函数图象的开口方向、对称轴
和顶点坐标。抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 知识梳理请写出如图所示的抛物线的解析式： （0，1）（2，4）xyO课后练习 人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰 结束语课件9张PPT。第一章 二次函数y=kx (a≠0)y=kx+b (k≠0)系数 需待定找 个点确定 个方程解一元一次方程 两系数k,b需待定找 个点两个方程解二元一次方程组y=ax2+bx+c （a≠0） 个系数需待定找 个点
个方程解三元一次方程组 待定系数法k一一两三三三知识回顾例1、已知一个二次函数的图象经过点（1，3），（-1，﹣5），（3，﹣13）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标。
新知探究议 一议 小组讨论合作探究一般式的基本步骤？1.设2.找3.列4.解5. 写6.查（三元一次方程组）（三点）（一般形式）y=ax2+bx+c（消元）（回代) 选择合适的方法求二次函数解析式： 1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与
X轴的一个交点的横坐标是8。随堂练习区别巩固 顶点式
1.设y=a(x-h)2+k
2.找（一点）
3.列（一元一次方程）
4.解（消元）
5.写（一般形式）
6.查（回代）
一般式
1.设y=ax2+bx+c
2.找（三点）
3.列（三元一次方程组）
4.解（消元）
5. 写（一般形式）
6.查（回代）
知识梳理二、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法： 2、求二次函数解析式的 常用思想： 3、二次函数解析式的最终形式：一般式 转化思想 解方程或方程组
无论采用哪一种表达式求解，最后结 果都化为一般形式。顶点式
数形结合思想
2、是否有函数经过三点.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。
.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。
确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。1、求二次函数解析式的一般方法：三 宝剑锋从磨砺出，
梅花香自苦寒来。
结束语课件14张PPT。1.4 二次函数与一元二次方程的联系湘教版九年级下册第一章s表示离天台的距离;t表示行驶的时间.s= - 60t+120(0≤t ≤2) 已知函数值y=o，求对应自变量x. 请问这位同学的跳远成绩是多少？ 高度y(m)与水平距离x(m)之间具有的关系: 高度h(m)与时间t(s)之间具有的关系: 球从飞出到落地需要多少时间？ 已知函数值h=o，求对应自变量t.探究新知 (1)球的飞行高度能否达到15m? 若能,需要多少飞行时间? 已知函数值h=15，求对应自变量t. (2)球的飞行高度能否达到20m? 若能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?探究新知归纳总结以上关系反之也成立. 根据图象你能得出相应方程的解吗?思考无实数根归纳总结有两个交点有两个相异的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2-4ac > 0b2-4ac = 0b2-4ac < 0说明：a≠0练一练下列二次函数的图象与x轴有交点吗？有几个交点？若此抛物线与 x轴有两个交点,求k的取值范围.基础练习:1.不与x轴相交的抛物线是( )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 32.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点 D不能确定DC3.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交点 .4.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.11165.若函数y=-x2+2kx+2与坐标轴交点的个数有 个.3(1,0)6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c =0根的情况是( )
A 有两个不相等的实数根
B 有两个异号的实数根
C有两个相等的实数根
D 没有实数根
D-3例: 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根
(精确到0.1)解: 作y=x2-2x-2的图象(如图),它与x轴的公共点
的横坐标大约是 – 0.7 , 2.7
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7, x2≈-2.7.练习:根据下列表格的对应值:
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A 3C 3.24 坐标。3、请你选择其中一种建立方式，求出函数解析式。4、如何解决问题？ 河上有座抛物线拱桥，如图所示，拱顶离水面高2m时，测得水面宽4m，若想了解水面宽度变化时。拱顶离水面高度怎样变化？新知探究分析：
根据题意，要求CD宽，只要求出ED的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D的横坐标．又因为点D在桥洞所成的抛物线上，故应先求出抛物线所对应的函数关系式。 一座拱桥的纵截面是抛物线的异端，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米，如图．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？4.9m4m2m这是什么样的函数呢？你能想出办法来吗？我们来比较一下（0，0）（4，0）（2，2）（-2，-2）（2，-2）（0，0）（-2，0）（2，0）（0，2）（-4，0）（0，0）（-2，2）谁最合适yyyyooooxxxx怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为如何确定a是多少？因此， 其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽变化时，拱顶离水面高度怎样变化．由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：水面宽3m时 从而
因此拱顶离水面高1.125m你是否体会到：从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？1.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示。
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？（1）卡车可以通过.提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.（2）卡车可以通过.提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.随堂练习
2. 如图，一单杠高2.2米，两立柱
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地
面的距离。
解 ：如图，所以，绳子最低点到地面的距离为 0.2米. 以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建立
， 直角坐标系 则 B（0.8, 2.2），F（- 0.4, 0.7）设 y = ax2 + k ,从而有
0.64a + k = 2.2
0.16a + k = 0.7解得：a =
K = 0.2所以，y = x2 + 0.2
顶点 E（0, 0.2） 3. 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形
状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路
线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为____________
如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要____米，才能使
喷出的水流不致落到池外。y= －(x-1)2 +2.252.5抽象转化数学问题运用数学知识问题的解决解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.实际问题知识梳理学而有思：解题步骤：
建立适当的直角坐标系，根据题意找出点的坐标，求出抛物线解析式，分析图象，并注意变量的取值范围。 人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰 结束语课件18张PPT。1.5 二次函数的应用（2）第一章 二次函数
用8m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是 多少？解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，新知探究变式:图中窗户边框的上半部分是由四个全等
扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作
一个窗户边框的材料总长为6米，那么如何
设计这个窗户边框的尺寸，
使透光面积最大(结果精确到0.01m2)?
x1、.已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长分别为多少？2、探究活动:
已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？随堂练习 运用二次函数求实际问题中的最大值或
最小值解题的一般步骤是怎样的？
首先应当求出函数解析式和自变更量的取值范围。
然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。注意：有此求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内。 某网络玩具引进一批进价为20元/件的玩具如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件，根据销售经验提高销售单价会导致销售量下降，即销售单价每上涨1元，月销售量终相应减少10件当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？当x=4时，即销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润为1960元。解：设每件商品的单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元；每月减少的销售量为10x件，实际销售量为（180-10x）件，单价利润为（30+x-20）元则：
y=（10+x）（180-10x）
即y=-10x2+80x+1800（x 18）
将上式进行配方得：y=-10（x-4）2+1960例3答：归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。解这类题目的一般步骤 有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.
⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.
⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。
⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？思考解：①由题意知:P=30+x.
②由题意知：死蟹的销售额为200x元，活蟹的销售额为（30+x）（1000-10x)元。
∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x= - -10x2+900x+30000③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x =-10(x-25)2+6250
∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（6分） （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分） 1. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：链接中考（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元。则 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元。则解得：k=－1，b＝40。1分5分6分7分10分12分 （1）设此一次函数解析式为 。所以一次函数解析为 。2．（包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．3.某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?x+10500?10x
如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,
此时篮球的售价应定为多少元?8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.4.（荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.
（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）,
y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
（2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
配方得y=－100（x－3）2+6400
当x=3时，y的最大值是6400元.
即降价为3元时，利润最大.
所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.5. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表： （1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且
能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之
间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本） 试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天
y取得最大值，最大值是多少？ 解：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg； （2）由题意，得 （3）∵-2＜0，y=-2x2+40x+14250=-2（x-10）2+14450， 又∵1≤x≤20且x为整数， ∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大； 当10≤x≤20时，y随x的增大而减小； 当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450． 业精于勤，荒于嬉。结束语
