第一章走进数学世界

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第一章: 走进数学世界
教学目的：
1、 学生初步认识到数学与现实世界的密切关系，懂得数学的价值，形成用数学的意识。
2、 学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程。
3、 使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的信心。
4、 使学生学会与他人合作，养成独立思考与合作交流的习惯。
5、 使学生在数学活动中获得对数学良好的感性认识，初步体验到什么是“做数学”。
教学重点与难点
重点：结合趣味数学，复习小学数学知识。难点：如何培养学生学习数学的兴趣。
教学计划：4节。
辅助设备：多媒体
教学过程：1节（直观数学发展————数学是很美的、数学是有用的）
一、速算找规律（数学美学）
1、 11=1
1111=121，
111111=12321，
11111111=1234321
1111111111=123454321，
111111111111=12345654321…….
2、55=25，1515=225，2525=625，3535=1225，4545=2025，
5555=3025……
二、简单奇偶分析：
引入:小学我们学了自然数,知道了什么是奇数、偶数下面介绍一些它的奇妙应用.
例1：房间里有3盏灯，全部关着。现在每次拉两盏灯的开关，这样做几次后，问有没有可能使3盏灯全部是亮的？
　　解法一：直接用试探的方法去做。为此需要用简单明白的符号表示开着的灯和关着的灯。当然，这可以用许多种不同的方法去做。例如，以下两种图示法都很简单明了：
　　
　　　 图 8.1
　　我们采用有阴影及空白圆圈表示关着及开着的灯。一开始3盏灯全关着(见图8.2的(1))，然后随便打开两盏灯，比如打开第一、二两盏灯(见图8.2的(2))。
　　　　 　　　
　　 (1)三盏灯全关着 　　(2)打开两盏灯
　　　　　　　　　　图 8.2
　　下面要再拉两盏灯的开关。如果拉第一、二盏灯的开关，则3盏灯全变成关着的，我们不希望倒退到开始的情况，因而只能拉第一、三盏灯或拉第二、三盏灯的开关，这样仍得到图8.2(2)所表示的结果：两盏灯开着，一盏灯关着。
　　做到这里我们已经可以肯定，这样下去无论拉多少次，都不可能使3盏灯全开着。
　　在这个例子里，由于灯的总数很少，所以采用尝试法用不了几步就可以得到正确的结果。但如果灯有许多盏，用这样的方法做，由于不同可能的拉线方法太多，很容易被弄糊涂。此外，这种方法没能告诉我们“不可能”的原因在什么地方。下面的解法二是更好的证法。
　　解法二：我们先假设经过有限次后可以把3盏灯都打开。
　　现在来考虑总共拉开关的次数。我们规定：把一盏灯的开关拉一次称为拉了一个盏次。由于题目规定每拉一次是拉了其中两盏灯的开关。因而按我们的规定就是拉了两个盏次。由此可知，不管按题目的规定把开关拉了多少次，所拉的总盏数必定都是偶数。
　　另一方面，一开始时每盏灯都是关着的，对于每盏灯来说，要想从关着变为开着，必须要对它的开关拉奇数次。由于总共有3盏灯，故只有总共拉的盏次是奇数时，3盏灯才可能全是亮的。
　　把上面的讨论合起来，就证明了按题目规定的方法拉开关，无论拉多少次，也不可能使3盏灯全是亮着的。
　　这种解法不但也得出了正确的结论，而且从解题过程中你可以清楚地看到题目中的两个数字(“房间里有3盏灯”这句话中的“3”以及“每次拉两盏灯的开关”这句话中的“2”)对结论会有什么影响，这个问题留给读者考虑。
例2、桌上有15只杯子，7个开口朝上，8个朝下，每次改变2个杯子的开口朝向，问能否将所有的杯子开口均朝下？
难：（开放题）例3、某学校为了奖励学生，买了一批纯金钢笔，但由于工作失误，把一只外型相同但重量不同的普通钢笔混在一起了，怎么把普通钢笔找出来，条件是只有一架精确的天平？（希望称的次数越少越好）
猜年龄游戏您一定和朋友玩过猜数字游戏吧，如：猜对方年龄，猜对方心理想的数等等。一个经典的猜年龄游戏玩法如下：甲：请你用６７乘以你的年龄，然后告诉我结果的最后两位数。乙：5.甲：15岁，甲立刻说到。奥妙何在？很简单：甲把乙说的结果乘以三，所得之数的最后一位或两位就是答案。（2班的同学找出原因）
动手题： 做莫比乌斯带（在老师的指导下）
四色猜想：不论一张地图上的行政区划多么复杂，使用四种颜色着色，一般都能保证有公共边界的地区使用不同的颜色。人们在实践中得到的结论是：在每张地图上，最多使用四种颜色，就能给所有公共边界的地区着上不同的颜色。
实践中有这样的结果，要在理论上予以证明却不那么容易。这是数学史上的一个困扰人们多年的著名难题。为了圆满地解决图着色问题，人们已经奋斗了一百多年。
1840年，德国几何学家莫比乌斯以假说的形式向他的学生提出过这一问题。
（课后作业） 动手测量 黄金分割
许多扑克牌、窗户、书的包皮、文件夹、古老的建筑和现代的摩天大楼都呈现黄金矩形，由于它美的感染力，许多艺术家，包括文艺复兴时期的达芬奇和现代的皮林蒙德里安，都把黄金矩形体现到他们的作品中去。一些研究者确认，古希腊的人体雕塑中存在一定的比例，人体的总高度与肚脐高度的比是黄金比。美国学者杰伊·汉布里奇确定，黄金比不仅见于古希腊的雕塑和寺庙建筑之中，也见于人体骨骼中的比例。人体的总高度和肚脐高度的比也很接近黄金比。另外一些研究者发现，人体的其它一些部位也存在黄金比，也就是说在我们的身体中的某些比例，非常接近古希腊人的观念。让我们看看我们每个人身体中某些部位的黄金比。4或5人小成小组。制作像下页中的表格。包括你的小组中每个人的姓名。让我们看看我们每个人身体中某些部位的黄金比。4或5人成小组。制作像本页底部的表格。包括你的小组中每个人。
步聚1：测量你的小组各个成员的身高（B）和肚脐的高度（N），计算比B/N，步聚2：测量你的小组各个成员的食指的长度（F）和食指尖到大指节的距离（K）。计算K/F，步聚3：测量你的小组每个成员一条腿的长度（L）和臀部到膝盖的长度（H），计算并记录L/H。步聚4：测量你的小组每个成员的臂的长度（A）和从手指尖到肘部的距离（E）。记算U并记录A/E.黄金比可借助于熟知的数的模型近似地表示。你能确定这个数模型中的下一个数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，-？-
旋转齿轮
如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E将以什么方向旋转？
　
（图4）
（实验班）例4、老师报出一个四位数，将这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新四位数，再将这两个四位数相加，甲的答案是9988；乙的答案是9898；丙的答案是9988；丁的答案是9888。已知其中只有一人结果是正确的，那么做对的同学是甲；最初的四位数可以是3995、5993、4994、2996、6992、1997、7991。
课堂练习：
1、 一个数加5，再乘以2，然后减去4，再除以2，最后得6，
问这个数是多少？
2、用剪刀将如图所示的长方形沿着一条直线剪成两部分，要
使这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形，
应该怎么剪？
2节人人都能学好数学————(学习在于勤奋)
华罗庚的故事
　　我国著名的数学家华罗庚说：“聪明在于学习，天才由于积累”。
1910年11月12日，华罗庚生于江苏省金坛县。他家境贫穷，决心努力学习。上中学时，在一次数学课上，老师给同学们出了一道著名的难题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”大家正在思考时，华罗庚站起来说：“23”他的回答使老师惊喜不已，并得到老师的表扬。从此，他喜欢上了数学。
　　华罗庚上完初中一年级后，因家境贫困而失学了，只好替父母站柜台，但他仍然坚持自学数学。经过自己不懈的努力，他的《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由》论文，被清华大学数学系主任熊庆来教授发现，邀请他来清华大学；华罗庚被聘为大学教师，这在清华大学的历史上是破天荒的事情。
　　1936年夏，已经是杰出数学家的华罗庚，作为访问学者在英国剑桥大学工作两年。而此时抗日的消息传遍英国，他怀着强烈的爱国热忱，风尘仆仆地回到祖国，为西南联合大学讲课。
　　华罗庚十分注意数学方法在工农业生产中的直接应用。他经常深入工厂进行指导，进行数学应用普及工作，并编写了科普读物。
　　华罗庚也为青年树立了自学成才的光辉榜样，他是一位自学成才、没有大学毕业文凭的数学家。他说：“不怕困难，刻苦学习，是我学好数学最主要的经验”，“所谓天才就是靠坚持不断的努力。”
　　华罗庚还是一位数学教育家，他培养了像王元、陈景润、陆启铿、杨乐、张广厚等一大批卓越数学家。为了培养青年一代，他为中学生编写了一些课外读物。
数学家陈景润
陈景润（1933~1996）， 中国数学家、中国科学院院士。福建闽候人。 陈景润出生在一个小职员的家庭，上有哥姐、下有弟妹，排行第三。因为家里孩子多，父亲收入微薄，家庭生活非常拮据。因此，陈景润一出生便似乎成为父母的累赘，一个自认为是不爱欢迎的人。上学后，由于瘦小体弱，常受人欺负。这种特殊的生活境况，把他塑造成了一个极为内向、不善言谈的人，加上对数学的痴恋，更使他养成了独来独往、独自闭门思考的习惯，因此竟被别人认为是一个 “怪人”。陈景润毕生后选择研究数学这条异常艰辛的人生道路，与沈元教授有关。在他那里，陈景润第一次知道了哥德巴赫猜想，也就是从那里，陈景润第一刻起，他就立志去摘取那颗数学皇冠上的明珠。
1953年，他毕业于厦门大学，留校在图书馆工作，但始终没有忘记哥德巴赫猜想，他把数学论文寄给华罗庚教授，华罗庚阅后非常赏识他的才华，把他调到中国科学院数学研究所当实习研究员，从此便有幸在华罗庚的指导下，向哥德巴赫猜想进军。
1966年5月，一颗耀眼的新星闪烁于全球数学界的上空------陈景润宣布证明了哥德巴赫猜想中的"1+2"；1972年2月，他完成了对"1+2"证明的修改。令人难以置信的是，外国数学家在证明"1+3"时用了大型高速计算机，而陈景润却完全靠纸、笔和头颅。如果这令人费解的话，那么他单为简化"1+2"这一证明就用去的6麻袋稿纸，则足以说明问题了。
1973年，他发表的著名的"陈氏定理"，被誉为筛法的光辉顶点。
对于陈景润的成就，一位著名的外国数学家曾敬佩和感慨地誉：他移动了群山！
课外题：纪念活动中的数学题
　　1976年，在美国举行了建国200周年纪念活动。在某小学的黑板上写着一个有趣的题目：《一日一题》请您想一想！
　　1776的200次方的最后两位数字是什么？
　　黑板前面围着一大群孩子，大家议论纷纷。小约翰看了看题目，伸出了舌头；“噢！1776“这个数，不就是
　　1776的200次方吗？1776年，美国第一任总统华盛顿宣布建立北美合众国，确实是值得纪念的。但是要把1776连乘200次，才能得出最后的答数来！我就是不吃饭，不睡觉，也得算上好几天，用掉的草稿纸恐怕也要不计其数哩！”
　　但是，请大家能否研究一下1776这个数的特点，不用小约翰的那种死办法，而立即把答案正确地说出来。
答案:纪念活动中的数学题
“76”是一个很特殊的数。任何两个自然数,只要它在的最后两位数字是76的话，那末其乘积的最后两位数字也必然是76。例如： 176×276＝48576这样的例子真是举不胜举。
我们还可以通过代数来验证一下：
　（100a＋76）（100b＋76）
＝10000ab＋7600a＋7600b＋5776
＝100（100ab＋76a＋76b＋57）十76
这里a、b是任何自然数。前面一项括弧里的数字乘上100以后，其影响只能及到答数的第三位。可见最后两位数字仍然是76。所以1776的200次方，这个数的最后两位数肯定毫无
疑问地也是76。
丢番图的墓志铭
在《希腊诗文选》中收录着一位古希腊的数学家丢番图的墓志铭。它为后人提出了一个有趣的问题。诗文写道：
坟中安放着丢番图，
多么令人惊讶，
它忠实地记录了所经历的道路。
上帝所给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长须，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，
享年仅其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途。
聪明的读者，如果假设丢番图活了X岁，你能计算出丢番图高寿吗 对啦!他活了84岁。
1. 2让我们来做数学
例1、在右下图所示的33的方格图案中有多少个正方形呢？
解：不妨设图中最小的方格的边长为1
则有边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，所以一共有正方形14个。
实验班：此题推广如果是44的方格图案55的.......nn的
.nn 对应1+
课堂练习:
1、找规律,在( )内填上适当的数。
（1）1、2、4、7、（ ）
（2）1、3、7、13、（ ）
（3）1、1、2、3、5、8、（ ）
（4）1、4、9、16、（ ）
2、看看前面的数，在后面的 处可以填上什么数？
3
20
5
34
8
55
12
83
例2．“九宫图”将1~9这9个数字分别填在下图的方格中，使每行、每列及对角线上各
数的和都为15.
解：注意到图形的中心与中间数的特点，则5放在中间，1、9；2、8；3、7；4、6；分
别配对结果如图
2 9 4
7 5 3
6 1 8
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
思考题：如下图，已经填入了1~16这16个数中的一些数，请将剩下的数填入空格中，使每行、每列及对角线上各数的和都为34
例3、红旗小学学生张勇和他的爸爸、妈妈准备在国庆节外出旅游。春光旅行社的收费标准为：大人全价，小孩半价；而华夏旅行社不管大人小孩，一律八折。这两家旅行社的基本价一样，你认为应该去哪一家旅行社较合算？
解：以每人基本价100元计算：
春光旅行社总收费为1002+100=250（元）
华夏旅行社为1003=240（元）
答：应去华夏旅行社。
提高：若张勇还有一个妹妹，他们一家四人去，结果是否一样呢？
春光旅行社总收费为1002+1002=300（元）
华夏旅行社为1004=320（元）
答：应去春光旅行社。
思考：多于四人怎么办？
例4、下面的汉字各代表什么数字？
巧 解 数 字 迷
巧 解 数 字 迷
* * * * * 巧
* * * * 解
* * * * 数
* * * * 字
* * * * 谜
* * * * * * * * *
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