2.2 二次函数的图像及性质
第一课时
§2.2.1 二次函数的图像及性质
教学目标
【知识与技能】
能够利用描点法作出函数y=x2的图像.能够根据图像认识和理解二次函数y=x2的性质.
猜想并能作出y=-x2的图像，能比较它与y=x2的图像的异同.
【过程与方法】
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
【情感、态度与价值观要求】
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
学情分析
教学重点、难点
重点： 1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2．能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．
难点：经历探索二次函数y=x2的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程．
关键：利用描点法作正确出函数y=x2和y＝-x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y＝x2和y＝-x2的性质．
突破方法：通过学生自主动手列表、描点、连线等操作，正确作出函数图像，对图像进行观察、总结.最后得出的性质.
教法与学法导航
教学方法：采用“探索--总结--运 ( http: / / www.21cnjy.com )用法”为主线的教学方法.通过设置活动，引导学生动手、分析、类比，得出二次函数y=x2的图像和性质.
学习方法：由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论.
教学准备
教师准备：幻灯片4张 第一张：(记作§2．2 A)第二张：(记作§2．2 B)第三张：(记作§2．2 C)
第四张：(记作§2．2 D)．
学生准备：两张直角坐标纸．画图工具。
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]我们在学习了正比例函数，一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢 本节课我们将一起来研究有关问题．
二．新课讲解
（一）、作函数y＝x2的图象．
[师]一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢 让我们先看最简单的二次函数y＝x2．
大家还记得画函数图象的一般步骤吗
[生]记得，是列表，描点，连线．
[师]非常正确，下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象．
[生](1)列表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
(2)在直角坐标系中描点．
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．
[师]画的非常漂亮．
【设计意图】让学生通过自己动手操作，小组内进行对比，认识二次函数的图像，为探索二次函数图像和性质作准备.
（二）、议一议
投影片：(§2．2 A)
对于二次函数y＝x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流．
(2)图象与x轴有交点吗 如果有，交点坐标是什么
(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化 当x>0时呢
(4)当x取什么值时，y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的
(5)图象是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
[生](1)图象的形状是一条曲线．就像抛出的物体所行进的路线的倒影．
(2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0)．
(3)当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。
(4)观察图象可知，当x＝0时，y的值最小，最小值是0．
(5)由图可知，图 ( http: / / www.21cnjy.com )象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点(-1，1)和(1，1)；(-2，4)和(2，4)；(-3，9)和(3，9)．
[师]大家的分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下．
（三）、y=x2的图象的性质．
投影片：(§2．2 B)
( http: / / www.21cnjy.com )
[师]从图象来看抛物线的开口方向向上．
下面请大家讨论之后系统地总结出y＝x2的图象的所有性质．
[生](1)抛物线的开口方向是向上．
(2)它的图象有最低点，最低点坐标是(0，0)．
(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴．在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．
因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小=0．
要点注意：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
【设计意图】通过“议一议 ( http: / / www.21cnjy.com )”可以加强学生的注意力，培养学生“观察-分析-发现-总结”的数学学习理念，同时对二次函数图像的性质有一个更深入的理解和认识.
（四）、做一做.
投影片：(§2．2 C)
二次函数y=-x2的图象是什么形状 先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系 与同伴进行交流．
[师]请大家按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象．
[生]y=-x2的图象
如右图：
形状还是抛物线，只
是它的开口方向向下，它
与y=x2的图象形状相同，
方向相反，这两个图形可
以看成是关于x轴对称．
[师]下面我们试着讨论y=-x2的图象的性质．
[生](1)它的开口方向向下．
(2)它的图象有最高点，最高点坐标为(0，0)．
(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧x随x的增大而减小．
(4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最高点，所以函数有最大
值，当x-0时，y最大＝0．
[师]大家总结得非常棒．
【设计意图】给学生一个想象的空间，进一步熟练掌握用列表、描点、连线的方法作函数图像.通过教师引导学生归纳总结得出y=-x2的性质.
（五）、函数y=x2与y＝-x2的图象的比较．
我们分别作出函数y=x2与y=-x2的图象，并对图象的性质作系统的研究．现在我们再来比较一下它们图象的异同点．
投影片：(§2．2 D) ( http: / / www.21cnjy.com )
不同点：
1． 开口方向不同，y=x2开口向上，y=-x2开口向下．
2．函数值随自变量增大的变化趋势不同， ( http: / / www.21cnjy.com )在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y=-x2的图象中正好相反．
3．在y=x2中y有最小值，即x=0时．y最小＝0，在y=-x2中y有最大值．即当x＝0时，y最大＝0．
4．y=x2有最低点，y=-x2有最高点．
相同点：
1．图象都是抛物线．
2．图象都与x轴交于点(0，0)．
3．图象都关于y轴对称．
联系：
它们的图象关于x轴对称．
【设计意图】通过对函数y=x2与y＝- ( http: / / www.21cnjy.com )x2的图象的比较．加强对二次函数y＝ax2中a的符号与图像之间的关系，同时进一步领会类比思想在数学学习中的作用.
三．活动与探究
例1： 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解 （1）由题意，得， 解得k=2．
（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
例2．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解 （1）由题意，得．
列表：
C 2 4 6 8 …
1 4 …
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．
要点注意：
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
【设计意图】让学生更好地自主发现并 ( http: / / www.21cnjy.com )探索二次函数图像的特点，经历知识的形成、建构过程，及时巩固二次函数图像的性质，同时训练学生应用二次函数图像的性质解决数学问题.
四．课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1．画函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总结．
2．画函数y＝-x2的图象，并研究其性质．
3．比较y＝x2与y=-x2的图象的异同点及联系．
板书展示
§2．2 二次函数的图像和性质（1）
一、1．作函数y＝x2的图象
2．议一议(投影片§2．2 A)
3. y＝x2的图象的性质(投影片§2.2 B)
4．做一做(投影片§2．2 C)
5. 函数y＝x2与y=-x2的图象的比较
课堂练习
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） （2） （3）
2．（1）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
3．底面是边长为x的正方形，高为0．5c ( http: / / www.21cnjy.com )m的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．
4．二次函数与直线交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
参考答案：1.略2.（1）向上，y轴，（0,0）（2）向下，y轴，（0,0) 3.(1).(2)图像略.（3）当<0， y随x的增大而减小.
教学反思
本节课的设计理念遵循了三条原则：以学 ( http: / / www.21cnjy.com )生为主体，以活动为手段，以能力提高为目的.在教学前和教学中作了充分的准备.反思这节课，成功之处在于课题目标具体，准备时间充分，课本知识点掌握牢固，通过对教学知识的拓展，运用.深刻领会类比思想在数学上的作用。同时也培养了学生合作交流，动手操作的数学学习意识。
教后反思
§2．2 A2.2二次函数的图像和性质（第三课时）
§2.2.3二次函数的图像及性质
教学目标
知识与技能
能够作出函数和+的图像，并能理解它与y=ax2的图像的关系.理解a,h,k对二次函数图像的影响.
能正确说出+图像的开口方向、对称轴、顶点坐标.
过程与方法
通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
情感、态度与价值观
经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
学情分析
教学重点、难点
重点：1、经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程.
2、能够作出和+的图像，并能理解它与的图像的关系.理解,,对二次函数图像的影响.
3、能正确说出y=a(x-h)2+k图像的开口方向、对称轴、顶点坐标.
难点：能够作出函数和y=a(x-h)2+k的图像，并能理解它与的图像的关系.理解,,对二次函数图像的影响.
关键：正确作出和y=a(x-h)2+k的图像，通过教师引导提问理解它与2的图像的关系.理解,,对二次函数图像的影响.
突破方法： 根据设问层层深入逐个破解，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习，通过教师引导正确作出和y=a(x-h)2+k的图像，通过教师引导理解它与的图像的关系.理解,,对二次函数图像的影响.
三．教法与学法导航
教学方法：采用问题教学法和对比教学法 ( http: / / www.21cnjy.com )，用层层推进的提问启发学生深入思考，主动探究主动获取知识.组织学生参与“探究--讨论--交流--总结”的学习活动过程，同时在教学中，还充分利用多媒体教学，通过演示、操作、观察、练习等师生的共同活动来启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生的直观思维能力。
学习方法：本堂课立足于学生的“学”，要求学生多动手，多观察，从而可以帮助学生形成分析、对比、归纳的思想方法.在对比和讨论中让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获得新知识的能力.学生在课堂上主要采用“主动探索，合作交流”的方式进行学习.
四．教学准备
教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程，引导讨论，出示答案）．
学生准备：课前预习，两张坐标纸画图工具．
五.教学过程
创设问题情景，引入新课
知识回顾：提出问题
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗 这两个函数的图象之间有什么关系
讲授新课——分析问题，解决问题
问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题
(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)
问题2：你能在同一直角坐标系中，画出的图象吗
教学要点
1．让学生完成下表填空。
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝2x2
y＝2(x－1)2
2．让学生在直角坐标系中画出图来：
3．教师巡视、指导.
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗
教学要点
1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝2x2
y＝2(x－1)2
2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派 ( http: / / www.21cnjy.com )代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。
【设计意图】熟练作图技能，观察函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象的位置关系.
问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗
教学要点
1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；
2．让学生完成以下填空：
当x______时，函数值y随x的增大而 ( http: / / www.21cnjy.com )减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。
【设计意图】由函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象的位置关系，总结、归纳得出y＝2(x－1)2的性质.
做一做
问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗
教学要点：
1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
2．请两位同学上台板演，教师讲评；
3．让学生发表不同的意见，归结为：函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。
问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗
教学要点：
让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜ ( http: / / www.21cnjy.com )－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。
【设计意图】通过问题5，问题6 ( http: / / www.21cnjy.com )的讨论、探索，得出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2各个对应点之间的关系.（即纵坐标不变，横坐标向右移动1个单位.）
问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的图象有何关系
(函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2个单位得到的。)
问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y＝－(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。 ( http: / / www.21cnjy.com )
【设计意图】通过问题的解决，进一步理解与图像的开口方向的关系及与的位置关系.
想一想
问题9： 与y＝2(x－1)2的位置关系，再画图验证你的想法是否正确？ ( http: / / www.21cnjy.com )
教学要点：
让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜1时，的图像与y＝2(x－1)2的图像开口都向上，对称轴都是=1；＜1时，函数值y随工的增大而减小，当x＞1时，函数值y随工的增大而增大；y＝2(x－1)2的顶点坐标是（1,0），的顶点坐标是（1，1）；位置关系是 y＝2(x－1)2的图像向上平移一个单位.
小结：
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别
2．你能说出函数y＝a(x－h)2和图象的性质吗
3．谈谈本节课的收获和体会。
板书展示
§2．3 二次函数的图像和性质（3）
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 异同点
y＝2x2
y＝2(x－1)2
课堂练习
1．在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)y＝4x2与y＝4(x－3)2
(2)y＝(x＋1)2与y＝(x－1)2
2．已知函数y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2。
(1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数y＝－(x＋2)2和函数y＝－(x－2)2的图象
(4)分别说出各个函数的性质。
3．已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。
(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y＝4x2的图象得到函数y＝4(x＋1)2和函数y＝4(x－1)2的图象，
(4)分别说出各个函数的性质．
4．二次函数y＝a(x－h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系
参考答案：1.略2.（1）略.（2）y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2的图像开口都向上，y＝－x2的对称轴是y轴，y＝－(x＋2)2的对称轴是=-2，y＝－(x－2)2的对称轴是=2.
（3）把的图像向左平移2个单位得y＝－(x＋2)2，向右平移2个单位得y＝－(x－2)2.（4）略4. 二次函数y＝a(x－h)2的最大值或最小值就是二次函数图象的顶点坐标的纵坐标的值.
教学反思
，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的.通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图像的性质，借助直观图像的性质而得出二次函数y＝a(x－h)2和图象的性质。所以，在以后的教学设计中要设计适合学生探究的素材。教材对二次函数的性质是从增减性来描述的，我认为这种是对性质的教条化的，学生不易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最重要的。如果牵强的引出来，不一定是好事。我觉得要想提高自己的教学水平，就要及时反思自己教学中存在的不足，在每一节课前充分想到课堂的每一个细节，想好对应的措施，不断提高自己的教学水平。
的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时小结，也遵循了从开发到封闭的原则，达到了良好的效果
教后反思2.2二次函数的图像和性质（第二课时）
§2.2.2 二次函数的图像及性质
教学目标
知识与技能
能作出和的图像，并研究它们的性质.
比较和的图像与的异同.理解与对二次函数图像的影响.
过程与方法
经历探索二次函数和的图像的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.
通过比较, 与的图像和性质的比较，培养学生的比较、鉴别能力.
情感、态度与价值观
让学生积极投身于数学 ( http: / / www.21cnjy.com )学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.
学情分析
教学重点、难点
教学重点：描点法画出二次函数的图象，理解二次函数的性质，理解函数与函数的相互关系是教学重点会用描。
教学难点：正确理解二次函数的性质，理解抛物线与抛物线的关系是教学的难点。
关键：掌握和的图像与的异同.理解与对二次函数图像的影响.
突破方法： 根据设问层层深入逐个破解，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习，最后得出和的图像与的异同及与对二次函数图像的影响
三．教法与学法导航
教学方法：采用问题教学法和对比教学法， ( http: / / www.21cnjy.com )用层层推进的提问启发学生深入思考，主动探究主动获取知识.同时注意与学生已有知识的联系，减少学生对新概念接受的困难，给学生充分的自主探索时间.让学生在课堂上多活动，多观察，组织学生参与“探究--讨论--交流--总结”的学习活动过程，同时在教学中，还充分利用多媒体教学，通过演示、操作、观察、练习等师生的共同活动来启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生的直观思维能力。
学习方法：本堂课立足于学生的“学”，要求学生多动手，多观察，从而可以帮助学生形成分析、对比、归纳的思想方法.在对比和讨论中让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获得新知识的能力.学生在课堂上主要采用“主动探索，合作交流”的方式进行学习，使学生真正成为教学的主体，体会参与的乐趣、成功的喜悦，感知数学的奇妙.
四．教学准备
教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程，引导讨论，出示答案）．
学生准备：课前预习，两张坐标纸画图工具．
五.教学过程
创设问题情景，引入新课
知识回顾：
1．二次函数的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数与＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数1的图象与二次函数的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同
【设计意图】加强学生对的认识，为探究和的图像和性质作准备.同时以提问的方式切入，增强学生的探索激情与求知欲.
讲授新课——分析问题，解决问题
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究 （小组合作交流，教师指导的目的看看学生是否会利用图像解决问题）
(画出函数的图象，并加以比较)
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数与的图象吗
教学要点
1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数的图象。
2．说明为什么两个函数自变量可以取同一数值，为什么不必单独列出函数的对应值表，并让学生画出函数的图象．（小组合作完成，教师巡视的目的看看学生是否会列表在同一表格中完成数据的填写，节省课堂时间，画图时是否会用平滑的曲线）
3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。
解：(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
y＝x2＋1 … 19 9 3 l 3 9 19 …
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数和的图象。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系
教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让小组归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数的函数值都比函数的函数值大1。
教师引导学生观察函数和的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数的图象上的点都是由函数的图象上的相应点向上移动了一个单位。
【设计意图】让学生观察、发现、总结和的图象的位置关系.
问题4：函数和的图象有什么联系
由问题3的探索，可以得到结论：函数的图象可以看成是将函数的图象向上平移一个单位得到的。
问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗
让小组学生观察两个函数图象，说出函数与的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数的图象的顶点坐标是(0，1)。
问题6：你能由函数的性质，得到函数的一些性质吗
完成填空：
当______时，函数值随x的增大而减小；当______时，函数值随的增大而增大，当______时，函数取得最______值，最______值＝______．
以上就是函数的性质。
三、做一做
问题7：先在同一直角坐标系中画出函数与函数的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别
【设计意图】加深学生对与的图形性质的理解及的函数图形的影响.
教学要点
1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；
2．让学生发表意见，归纳为：函数与函数的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。
问题8：你能说出函数的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗
教学要点
1．让学生口答，函数的图象的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标是(0，－2)；
2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当＜0时，函数
值随x的增大而减小；当＞0时，函数值随的增大而增大，当＝0时，函数取得
最小值，最小值＝－2。
问题9：在同一直角坐标系中。函数图象与函数的图象有什么关系
要求学生能够画出函数与函数的草图，由草图观察得出结论：函数的图象与函数的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数的图象可以看成将函数的图象向上平移两个单位得到的。
问题10：你能说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
[函数的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]
问题11：这个函数图象有哪些性质
让学生观察函数的图象得出性质：当＜0时，函数值随x的增大而增大；当＞0时，函数值随的增大而减小；当＝0时，函数取得最大值，最大值＝2。
【设计意图】全面掌握的图形及性质.了解在二次函数中，、对图像的影响.
归纳小结
1．在同一直角坐标系中，函数的图象与函数的图象具有什么关系
2．你能说出函数具有哪些性质
板书展示
二次函数的图像和性质（2）
二次函数表达式 图像 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最大（小）值 异同点
（＞0） ( http: / / www.21cnjy.com ) 向上 轴 （0，） ＞0时，随的增大而增大，＜0时，随的增大而减小. =0, 最小值=c 开口方向相反，图像形状相同，顶的相同，对称轴都是轴
(＜0） ( http: / / www.21cnjy.com ) 向下 轴 （0，） ＞0时，随的增大而减小，＜0时，随的增大而增大. X=0, 最大值=c
课堂作业
1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)与－2；
(2)y＝与。
2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，
，＋2，－2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。
你能说出抛物线＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗
3．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛
物线＋2和－2
4．试说出函数，＋2，－2的图象所具有的共同性质。
参考答案：1.略2.略3. ＋2的图像是由的图像向上平移2个单位得到的，
－2是由的图像向下平移2个单位得到的.4.共同性质：图像形状相同，对称轴都是y轴，增减性相同.
教学反思
在学生从事小组交流等活动过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中，教师的主要作用随时了解掌握学生对知识理解、掌握以及应用的情况，以便出现问题随时点评指导。提前做好学生的分工工作，了解学生的动态，及时引导学生进入状态。教师要参入到小组合作学习中去，教师要启发、引导学生积极参与小组学习，为保证小组活动顺利进行，当讨论中的学生冷场了、跑题了，教师可通过提问、插话等方式对学生加以提示，同时还应适时参与到小组讨论中去。这不仅能活跃课堂气氛，而且能促进师生之间的关系。例如在探究y＝2x2＋1和y＝2x2的图象教师巡视的目的看看学生是否会列表在同一表格中完成数据的填写，画图时是否会用平滑的曲线以节省课堂时间，便于学生观察比较。分组讨论这个函数的性质时教师参入可及时掌握学生对本节课掌握的情况。2.5用三种方式表示二次函
教学目标
1..能够分析和表示变量之间的二次函数,并解决用二次函数所表示的问题
2.通过解决用二次函数所表示的问题,培养学生的运用能力
3.通过对二次函数的三种方式的特点进行研究,训练大家的求同求异思维
1.二次函数解决实际问题,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,激发学生学
习数学的兴趣
重点
1.能够分析和表示变量之间的二次函数,并解决用二次函数所表示的问题
2.能够根据二次函数的不同表示方式,从不同侧面对函数性质进行研究
难点:能够分析和表示变量之间的二次函数,并解决用二次函数所表示的问题
创设问题情景,引入新课
函数的表示方法有那些
某商店的广告牌上这样写着:一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下
是用表格来表示函数.这节课我们不仅要掌握三种表示方式而且要体会三种方式之间的联系与各自不同
的特点,在什么情况下用哪一种方式更好
讲解新课
长为20cm,设它的一边长为xcm,面积为ycm.y随x变化而变化的规律是什么 你能分别
用函数表达式、表格和图象表示出来吗
(1)用函数表达式表示:y
(2)用表格表示
10
(3)用图象表示:
学生独立完成,然后交流
讨论:函数的图象为什么只画出第一象限的部分
2.议一议
(1)在上述问题中,自变量x的取值范围是什么
(2)当取何值时,长方形的面积最大 它的最大面积是多少 你是怎样得到的 请你描述一下y随x的变
七而变化的情况.
学生讨论交流)
(1)m10-x>0
2)可由两种方法求出顶点坐标(5,25),所以当x由1至5逐渐增大时,y的值逐渐増大,当x由5至
10逐渐增大时,y的值逐渐减小,当x=5时,y有最大值,即长方形的最大面积是25cm
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的 用你能分别用
函数表达式、表格和图象表示这种变化吗
(1)用函数表达式表示:y
(2)用表格表示
(3)用图象表示:
根据三种表示方式回答
自变量x的取值范围是什么 图象的对称轴和顶点坐标分别是什么 如描述y随x的变化而变化的情况
你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的
1.议一议
二次函数的三种表示方式有什么特点 它们之间有什么联系 与同伴交流
表示方法优点
点
解析法
比较全面、完整简洁表示变量比较抽象
之间的关系
表格法
清楚,直接地表示变量间的数不全面
值对应关系
图像法
直观地表示函数的变化过程准确性差
和变化趋势
三者关系每一种方式都可以转化为另外两种方式
四、课时小结
木节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程,体会三种方式之间的联系与各自不
同的特点,根据二次函数的不同表示方式,从不同侧面对函数性质进行了研究
五、课后作业
习题2.6用三种方式表示二次函数
本节课学习用三种方式表示二次函数，即表格、表达式、图象表示法．其实这三种方式我们都不陌生，在前面的几节课中已经学过．在本节课中不仅要求会用表格、表达式、图象等多种方法表示二次函数，还要使学生体会函数的各种表示方法之间的联系和特点．同时发展有条理地思考和语言表达能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．
在教学中，教师要真正起到引导的作用．在教师的引导下，让学生独立完成，然后经过
互相交流，总结得出结果，使学生在轻松的环境中完成本节内容的学习．
教学目标
(一)教学知识点
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．
(二)能力训练要求
1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．
2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．
(三)情感与价值观要求
1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史
发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣．
2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．
教学重点
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
教学难点
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
教学方法
讨论式学习法．
教具准备
投影片四张
第一张：(记作§2．5 A)
第二张：(记作§2．5 B)
第三张：(记作§2．5 C)
第四张：(记作§2．5 D)
教学过程
Ⅰ. 创设问题情境，引入新课
[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广
告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：
x(千克) 0 0．5 1 1．5 2 2．5 3
y(元) 0 1 2 3 4 5 6
这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好
Ⅱ．新课讲解
一、试一试
投影片；(§2．5 A)
长方形的周长为20 cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．y随x变化而变化的规律是什么 你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗
(1)用函数表达式表示：y= .
(2)用表格表示：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x
y
(3)用图象表示：
[师]请大家互相交流．
[生](1)一边长为x cm，则另一边长为(10-x)cm，所以面积为：
y＝x(10-x)=-x2+10x
(2)表中第二行从左至
右依次填9、8、7、6、5、
4、3、2、1；第三行从左至
右依次填9、16、21、24、25、
24、21、16、9.
(3)图象如右图．
[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限．可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢
[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．
[师]大家同意这种说法吗
[生]不同意．不是 ( http: / / www.21cnjy.com )因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x2+10x的图象，就不是在第一象限作图象了．
[师]非常棒．
二、议一议
投影片：(§2．5 B)
(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么
(2)当x取何值时，长方形的面积最大 它的最大面积是多少 你是怎样得到的 请你描述一下y随x的变化而变化的情况．
[师]自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流．
[生](1)因为x是边长 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以x应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是0(2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝-x2+10x化成顶点式．当x＝-时，函数y有最大值.
∴y=-x2+10x=-x2+10x=-(x2-10x)
=-(x2-10x+25-25)
=-(x-5)2+25．
∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm2．
可以通过观察图象得知．
也可以代入顶点坐标公式中求得．
当x=-=5时，
y最大==25cm2.
当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小。
[师]回答得棒极了．
这是一个实际问题，面积y为边长x的二次函数，求当x取何值时，长方形的面积最大．实际上就是求二次函数的最值，描述y随x的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y随x的增大而减小，另一边是y随x的增大而增大．
三、做一做
投影片：(§2．5 C)
两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的 你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗
1．用函数表达式表示：y＝ .
2．用表格表示：
x
y
3．用图象表示：
4．根据以上三种表示方式问答下列问题：
(1)白变量x的取值范围是什么
(2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么
(3)如何描述y随x的变化而变化的情况
(4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的
[师]请大家互相交流．
[生]解：1．因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x-2)，则积y=x(x-2)＝x2-2x所以函数的表达式为y＝x2-2x．
2.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 15 8 3 0 -1 0 3 8 15
3．图象如右图．
4．(1)因为数可以
是正数、负数和零，所
以x的取值范围为任何
实数．
(2)y=x2-2x=(x2-2x
+1)-1＝(x-1)2-1．
因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)．
(3)因为开口向上，对称轴 ( http: / / www.21cnjy.com )x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大．
(4)通过观察图象可知．
四、议一议
二次函数的三种表示方式有什么特点 它们之间有什么联系 与同伴进行交流．
[生]表格可以直观地找到对应点，图象就是把一对一对的对应点连接起来的，表达式反映出函数与自变量之间的关系．
它们之间的联系是：根据表达式可以求得一对一对的对应点，用光滑的曲线把对应点连接起来即为图象．
[师]很好．下面我们来更系统地学习它们各自的特点及联系．
投影片：(§2．5 D)
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出 ( http: / / www.21cnjy.com )变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要．
它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表示．
Ⅲ：课堂练习
1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗 第6个图形中应该有多少个小圆圈 为什么
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
小圆圈的总数
(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么
解：(1)观察前5个图形可 ( http: / / www.21cnjy.com )知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈．
(2)从左至右应填1，3，6．10，15．
(3)m=.
Ⅳ．课时小结
本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点．根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究．如最值问题和y随x的变化而变化等问题．
Ⅴ．课后作业
习题2．6
Ⅵ. 活动与探究
2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么
(2)完成下表；
( http: / / www.21cnjy.com )
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
小圆圈的总数
(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么
解：(1)第1个图形中有1个小圆圈．
第2个图形中有1+6=7个小圆圈．
第3个图形中有7+2×6=19个小圆圈．
第4个图形中有19+3×6＝37个小圆圈．
(2)从左至右填1．7，19，37，61．
(3)m＝6×+1＝3n2-3n+1．
板书设计
2．5 用三种方式表示二次函数
一、1.试一试(投影片§2．5 A)
2．议一议(投影片§2．5 B)
3．做一做(投影片§2．5 C)
4．议一议(投影片§2．5 D)
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
