2023-2024学年广东省广州大学附中八年级（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省广州大学附中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
4.若点和都在一次函数的图象上，则与大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
5.下列命题，其中是真命题的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
6.如图， 的周长为，的周长为，则对角线的长为( )
A. B.
C. D.
7.某年人均可支收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，所走路程米与行驶时间分之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 甲每分钟走米
B. 甲比乙提前分钟到达地
C. 两分钟后乙每分钟走米
D. 当或时，甲乙两人相距米
9.已知两个关于的一元二次方程：，：，其中，下列结论错误的是( )
A. 若方程有两个相等的实数根，则方程也有两个相等的实数根
B. 若方程有一个正根和一个负根，则方程也有一个正根和一个负根
C. 若是方程的一个根，则是方程的一个根
D. 若方程和方程有一个相同的根，则这个根一定是
10.如图，在和中，交于点，，，，连接、、，延长交于点，下列四个命题或结论：
；
若，则；
在的条件下，则；
在的条件下，当时，，则的面积是．
其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数中自变量的取值范围是______．
12.计算： ______．
13.小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分若将三项得分依次按：：的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分
14.如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的长是______．
15.如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是______．
16.如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：．
18.本小题分
已知，如图，，是平行四边形的对角线上的两点，求证：四边形是平行四边形．
19.本小题分
某校九年级有名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ本次参加跳绳测试的学生人数为______，图中的值为______；
Ⅱ求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
Ⅲ根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得分的学生有多少人？
20.本小题分
如图，在中，，，．
尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点不写作法，保留作图痕迹；
在的基础上，连接，求的长度．
21.本小题分
已知关于的方程有实数根．
求的取值范围；
设方程的两根分别是、，且，试求的值．
22.本小题分
小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售两款玩偶的进货价和销售价如表：
款玩偶 款玩偶
进货价元个
销售价元个
第一次小冬用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个；
第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
23.本小题分
如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的横坐标为．
点的坐标是______，直线的解析式是______；
连接，求的面积．
点是直线上一点不与点重合，设点的横坐标为，的面积为，请直接写出与之间的关系式．
24.本小题分
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”例如图，图，图中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形称为“中垂三角形”设，，特例探索：
如图，，时， ______；
如图，当，时， ______， ______；
已知，请你观察中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你发现的关系式；
如图，在平行四边形中，点，，分别是，，的中点，，，求的长．
25.本小题分
在平面直角坐标系中，点，点，以为腰作等腰，如图所示．
若的值为平方单位，求的值；
交轴于点，轴于点，当轴平分时，求的值；
连接，当最小时，求点的坐标．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.解：，
即，
，
解得：．
18.证明：连接，与交于点，
四边形为平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
19.Ⅰ
Ⅱ平均数是：分，
众数是：分；中位数是：分；
Ⅲ该校九年级跳绳测试中得分的学生有人．
答：该校九年级跳绳测试中得分的学生有人．
20.解：如图所示：直线是的垂直平分线；
直线是的垂直平分线，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
．
21.解：原方程有实数根，
，
；
，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又，
，
，
，
解之，得：经检验，都符合原分式方程的根，
，
．
22.解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由题意得：
，
解得：，
个．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，由题意得：
，
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，
，
，
，
随的增大而增大．
时，元，
款玩偶为：个．
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
23.；；
如图：点的坐标为，，点的坐标为，
；
如图，点在之间：
；
点在点下方，如图：
；
点在点的上面
；
综上所述：．
24.
【解析】解：；
；；
猜想，，三者之间的关系是：．
证明：如图，连接，
，是的中线，
是的中位线．
，且．
．
设，，则，，
在中，；
在中，；
在中，；
由，得．
由，得．
．
设，交于点取的中点，连接，如图，
，分别是，的中点，是的中点，
．
又，
．
四边形是平行四边形，
，
，
，
是“中垂三角形”，
，
即，
．
25.解：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
点在轴的负半轴，
；
如图，延长，交于点，
轴平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，
；
如图，过点作轴于，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
点坐标为，
点在直线上运动，
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作的对称点，连接交直线于点，连接交于点，即点为所求点，
点，点，
，
点，点关于直线对称，
，，
点，
点，
直线解析式为：，
联立方程组，
解得，
点坐标为．
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