2023-2024学年贵州省贵阳市部分学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年贵州省贵阳市部分学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某同学测得连续天的最低气温单位：分别为，，，，，，，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.设等比数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
6.在正方体中，为的中点，为的中点，则下列直线与不垂直的是( )
A. B. C. D.
7.已知点在抛物线：上，过点作圆：的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为( )
A. B. C. D.
8.若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数满足，则( )
A. 为纯虚数
B.
C. 的实部不存在
D. 复数在复平面内对应的点在第二象限
10.已知函数的定义域为，对所有的，，都有，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 在上可能单调递增 D. 在上可能单调递减
11.已知椭圆：的离心率为，焦点为，，则( )
A. 的短轴长为
B. 上存在点，使得
C. 上存在点，使得
D. 与曲线重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量若，，三点共线，则 ______．
13.设是等差数列的前项和，且为常数，则 ______．
14.甲、乙、丙等名学生准备利用暑假时间从，，三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
已知，求面积的最大值．
16.本小题分
某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为元已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
求甲获得资格证书所花费用不超过元的概率；
记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别为棱，的中点，．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
若动直线与双曲线恰有个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
19.本小题分
若定义在区间上的函数满足对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”．
若是上的“好函数”，求的取值范围．
证明：是上的“好函数”．
设，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为集合，，
所以集合，
所以．
故选：．
根据集合交集的运算求解即可．
本题考查了集合交集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：连续天的最低气温从小到大排列：，，，，，，，
因为，
所以第百分位数为第个数，即为．
故选：．
利用百分位数的求解公式即可求解．
本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：依题意，，又，
，所以．
故选：．
根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小即得．
本题考查了对数值的大小比较，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
，，
，，
联立解得：，，
则．
故选：．
利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题可知，当或时，取得最值，
对于选项对应的函数，，，符合题意，
验证可知，，选项对应的函数均不符合题意．
故选：．
利用正弦函数的图象的对称性进行验证即可求解，
本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，画出图形，如图所示：
在正方体中，平面，
又平面，
所以，故A不合题意；
对于，在正方体中，平面，
又平面，所以，故B不合题意；
对于，在正方体中，平面，
又平面，所以，故C不合题意；
在平面内的一条直线，若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直，
如图，取中点，连接，，易知平面，
所以为在平面内的射影，又与不垂直，
所以与不垂直，所以满足题意．
故选：．
结合正方体中常见的线面垂直，即可判断、、，利用三垂直定理可以判断．
本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系的判断，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为切线长为，圆的半径为，
依题意可得，
设，则，
解得，因为，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离为．
故选：．
由已知结合直线与圆相切的性质及抛物线的定义即可求解．
本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，还考查了抛物线定义的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，直线与的切点坐标为，，直线与的切点坐标为，
，，则，，
又，即，
由可得，解得，
，，
直线的方程为．
故选：．
利用即可求解．
本题考查导数的几何意义以及公切线问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，解得，故为纯虚数，故A正确；
，故B正确；
的实部为，故C错误；
当时，，复数在复平面内对应的点在第二象限，
当时，，复数在复平面内对应的点在第三象限，故D错误．
故选：．
先求出复数，再结合复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，，则，
若，则，
即，
所以为常数，
则，
又因为，
所以，
所以为奇函数，故A正确，B错误；
，当时，在上单调递增，故C正确．
因为，不可能恒成立，故D错误．
故选：．
令，，可得，若，则，从而得，由，可得，即可判断函数的奇偶性，从而判断，；求导得，从而即可判断，．
本题考查了判断抽象函数的奇偶性、单调性，考查了导数的综合运用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：椭圆：的离心率为，
可得，可得，所以，，，
椭圆的短轴长为，所以不正确；
以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点，所以上存在点，使得所以B正确．
点在椭圆上，，
，
所以上存在点，使得，所以C正确．
曲线，满足椭圆的定义，曲线与曲线重合，所以D正确．
故选：．
利用已知条件求解，求解焦距，长轴长，结合选项判断即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，向量的数量积的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由条件知：，，由于，，三点共线，故，解得．
故答案为：．
直接利用共线向量基本定理求出的值．
本题考查的知识点：共线向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：当时，
，即，即，
为常数，
当时，，
两式相减可得，，
则，两式相减可得，，
故等差数列的公差为，
则，
故，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合通项公式，依次求出关于的等式，再通过作差，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意，甲、乙、丙恰好去三个不同的社区有种方法，
除甲、乙、丙外的余下人，每个选择一个社区的方法有种，人去社区的方法种数为，
所以所有不同的选择种数为．
故答案为：．
先安排甲、乙、丙去三个社区，再让余下人选择所去社区，然后利用分步乘法计数原理列式计算即得．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15.【答案】解：因为，所以由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即因为，所以，
所以，即，又，所以；
由余弦定理可知，即，
因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，
则的面积为，即面积的最大值为．
【解析】先根据正弦定理可得；根据余弦定理，基本不等式即可求最值．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
16.【答案】解：甲三个项目全部通过，所花费用为，概率，
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过元的概率为；
由知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
的可能取，，，，显然，
则，，
，，
所以的分布列为：
期望．
【解析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得．
由中信息，求出的可能值，利用二项分布求出分布列及期望．
本题考查了互斥事件的概率及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17.【答案】解：证明：取为的中点，连接，，
因为为棱的中点，所以，且，
又为棱的中点，所以，
因为且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
取为的中点，为的中点，连接，，
因为为正三棱柱，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
可得，
又是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】构造平行四边形证明线线平行，然后用线面平行的判定定理即可得证；
建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，然后利用向量坐标法求夹角的余弦值即可得解．
本题考查线面平行的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
18.【答案】解：双曲线中，设一个焦点，一条渐近线方程为．
焦点到渐近线的距离为．
实轴长是虚轴长的倍，所以，
双曲线的标准方程为；
证明：当直线的斜率不存在时，直线与双曲线恰有个公共点，
则的方程为，，．
当直线的斜率存在时，设直线：，且．
由得，
，可得．
由得．
设与的交点为，则，同理，
，
．
原点到直线的距离，．
，，故的面积为定值，且定值为．
【解析】根据双曲线的性质可得方程；
利用弦长公式，可将三角形面积表示出来即可证明．
本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题可知任意，，且，，
即，解得，
因为，所以，即的取值范围为．
证明：设，，
则，
令，且，，，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”．
证明：由可知，当时，，
令，，，则，即，
故，
化简可得．
【解析】由“好函数”的定义可得，分离参数可得，从而可得的取值范围；
利用作差法，结合“好函数”的定义即可证明；
由可知当时，，令，，，可得，再利用累加法即可证明不等式成立．
本题主要考查函数的新定义，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
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