2023-2024学年江苏省连云港市灌云一中高一（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港市灌云一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数，设事件“为”，“为”，“为奇数”，则下列结论正确是( )
A. 与为互斥事件 B. 与为对立事件 C. 与为对立事件 D. 与为互斥事件
3.已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
4.某学校有学生人，教师人，后勤职工人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取人，则学生甲被抽到的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.在正四面体中，点为棱的中点，，分别为棱，靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的第百分位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.设，为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 存在点，使，，，四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过，，，四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.给定数，，，，，，，，，，则这组数据的中位数是______．
13.已知直三棱柱的侧棱长为，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形如图，斜边长，则该直三棱柱的侧面积为______．
14.已知事件与相互独立，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若向量，的夹角为锐角，求的取值范围；；
若，求．
16.本小题分
为打造精品赛事，某市举办“南粵古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育文化旅游”全方位融合发展．本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：
组数 速度千米小时 参赛人数单位：人
少年组
成年组
专业组
求，的值；
估计本次大赛所有选手的平均速度同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到；
通过分层抽样从成年组和专业组中抽取人，再从这人中随机抽取人接受采访，求接受采访的人都来自“成年组”的概率．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求边上中线的长．
18.本小题分
如图，三棱柱中，，，，．
证明：；
求三棱柱的体积；
求二面角的平面角余弦值大小．
19.本小题分
已知函数．
当，且的最大值为，求的值；
方程在上的两解分别为，，求的值．
答案解析
1.
【解析】解：．
故选：．
2.
【解析】解：设事件“为”，“为”，“为奇数”，
与是互斥事件，
与是互斥事件，
这里没有对立事件，
事件包含在事件里，
故选：．
3.
【解析】解：，，
，，
，
的共轭复数的虚部为．
故选：．
4.
【解析】解：根据分层抽样的特点可知，抽取的学生为人，
则学生甲被抽到的概率，
故选：．
5.
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，高为，则，
所以，高为，
所以该圆锥的体积为．
故选：．
6.
【解析】解：连接，设正四面体的棱长为，
因为， 分别为， 的中点，则，
所以异面直线， 所成角为 或其补角，
在 中，则 ，
由余弦定理可得，
所以异面直线， 所成角的余弦值为．
故选：．
7.
【解析】解：因为
，
所以．
故选：．
8.
【解析】解：作出图形，如图所示：
，，
由正弦定理得，故，
，
，
则
，
，
，则，
故．
故选：．
9.
【解析】解：对于选项A，个体被抽到的概率是，故正确；
对于选项B，，，
故，
故错误；
对于选项C，，
数据，，，，，，，的第百分位数是从小到大排序的第个数，即为，
故正确；
对于选项D，样本数据，，，的标准差为，
数据，，，的标准差为，
故错误；
故选：．
10.
【解析】解：若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故A错误；
若，，由直线与平面垂直的性质可得，故B正确；
若，，则或与异面，故C错误；
若，则垂直于所有与平行的直线，又，则，故D正确．
故选：．
11.
【解析】解：对选项，如图，在正方体中，连接，，
，分别是，的中点，，
又，，
，，，四点共面，
即当与点重合时，，，，四点共面，选项正确；
对选项，连接，，当是的中点时，
，，，
又平面，平面，
平面，选项正确；
对选项，连接，，，，
，选项错误；
对选项，分别取，的中点，，构造长方体，
则经过，，，四点的球即为长方体的外接球，
设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，
，
经过，，，四点的球的表面积为，选项正确．
故选：．
12.
【解析】解：根据题意，将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，
则数据的中位数为．
故答案为：．
13.
【解析】解：根据题意，直观图中，，
则在原图中，的对应边长为，对应边长为，且对应边长不变，
故直三棱柱底面三角形的周长为，
而直三棱柱的侧棱长为，故其侧面积为．
故答案为：．
14.
【解析】解：因为事件与相互独立，
所以，
所以．
故答案为：．
15.解：向量，的夹角为锐角，
且与不共线，
则，解得且，
故的取值范围是；
由，，
得，
若，则，
即，解得，
，
．
【解析】由两向量夹角为锐角可得数量积大于，但要排除同向共线的情况；
由，求出的值，进而找到的坐标，求模即可．
16.解：由频率分布直方图得：
，
解得．
少年组人数为人，频率，
总人数人，
，
，．
平均速度为：
．
估计本次大赛的平均速度为千米小时．
成年组和专业组的参赛人数分别为人，人，
设在成年组和专业组抽取的人数分别为，，
则，
解得，，
由分层抽样在成年组中抽取人，专业组中抽取人，
设成年组中的人分别用，，，表示，专业组中的人分别用，表示，
从中抽取人均来自成年组的所有结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，共种，
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
，，，，，，共种，
接受采访的人都来自成年组的概率为．
【解析】由频率分布直方图列方程，求出，利用少年组人数为人，频率为，能求出总人数，由此能求出．
由频率分布直方图能估计本次大赛的平均速度．
成年组和专业组的参赛人数分别为人，人，设在成年组和专业组抽取的人数分别为，，利用分层抽样的性质列方程能求出由分层抽样在成年组中抽取人，专业组中抽取人，设成年组中的人分别用，，，表示，专业组中的人分别用，表示，从中抽取人，利用列举法能求出接受采访的人都来自成年组的概率．
17.解：因为，
由正弦定理可得：，化简可得：，
由余弦定理可得：，
因为是三角形内角，则；
由，则，
则或，所以或，
当时，三角形为等边三角形，则；
当时，，则三角形为直角三角形，如图所示：
因为，时，所以，又，
所以，
综上，或．
【解析】利用正余弦定理化简即可求解；利用正弦定理求出或，由此即可求出，，然后分三角形为等边三角形和直角三角形，分别求解即可．
18.解：证明：取中点，连结，，，
，，
是正三角形，
，
，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
；
由题设知与都是边长为的等边三角形，
所以，
又，，
故，
因为，平面，平面，
所以平面，
即为三棱柱的高，
又的面积，
故三棱柱的体积；
过作于点，连结，
因为，，，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
则，，
则即为二面角的平面角，
在中：，
所以，
则．
【解析】取中点，通过证明，，可得平面，再由线面垂直的性质即可得证；
先证明为三棱柱的高，再由棱柱的体积公式求解即可；
过作于点，连结，可得为二面角的平面角，然后再解即可得到答案．
19.解：，
当时，令，则，
，
令，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，二次函数在上单调递减，
则，不合题意；
当时，二次函数在上单调递增，在上单调递减，
则，解得负值舍去；
当时，二次函数在上单调递增，
则，解得舍去；
综上，实数；
设，
，
，
由于正弦函数在单调递增，在单调递减，
由，得，
方程在上的两解分别为，，
，则必有，
，同理，
，
由于，故，则，
又，故．
【解析】利用三角恒等变换思想化简函数得，令，可得，再令，可将问题转化为二次函数在上的最大值为，利用二次函数的性质可得的值；
设，由题意可得，，，由两角差的余弦公式可得，求出的范围，进而利用二倍角余弦公式得解．
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