2024年陕西省西安三中中考数学六模试卷(含答案)

2024年陕西省西安三中中考数学六模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）手机移动支付给生活带来便捷，若张阿姨微信收入5元表示为+5元，则张阿姨微信支出3元应表示为（　　）
A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元
2．（3分）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（　　）
A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．正方体
3．（3分）化简（﹣3x3）2 2x所得的结果等于（　　）
A．﹣6x6 B．6x6 C．﹣18x7 D．18x7
4．（3分）一个角的度数是42°46′，则它的余角的度数为（　　）
A．47°14′ B．47°54′ C．57°14′ D．37°54′
5．（3分）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　）
A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．2 B．1 C．4 D．
7．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（　　）
A．100° B．115° C．120° D．135°
8．（3分）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m＝，n＝ B．m＝，n＝
C．m＝0，n＝3 D．m＝3，n＝0
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）方程x2﹣4x＝0的解为 　 　．
10．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、CF，则∠ACF的度数为　 　．
11．（3分）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即“杨辉三角”，这是数学史上一个伟大成就．如图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10…，那么a9的值是 　 　．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的点C坐标为（﹣3，0），点D坐标为（0，4），点E为菱形的对称中心，若反比例函数恰好经过点E，则k的值为 　 　．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O为矩形ABCD的对角线的交点，以D为圆心，半径为1作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为 　 　．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣|﹣1|．
15．（5分）求不等式的最大整数解．
16．（5分）解分式方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法在边BC上求作一点D，使得S△ABD＝S△ACD．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若BC＝EF，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°．求证：AC＝DF．
19．（5分）某学校用33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，免费发放给全校师生，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒，求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
20．（5分）中华文化，源远流长，在古典文学方面，明代许仲琳著的《封神演义》、清代李汝珍著的《镜花缘》、清代郭小亭著的《济公传》、清代无垢道人著的《八仙传》（分别记作A，B，C，D）是我国古代四大神话小说．小明准备利用课余时间阅读这四部小说．
（1）若小明随机选择其中一部进行阅读，则他选择《封神演义》的概率是 　 　；
（2）若小明随机选择其中两部进行阅读，请你用列表或画树状图的方法，求出小明选择《镜花缘》和《八仙传》的概率．
21．（6分）阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑AB的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑AB的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆DC，经测量标杆的影子CE长为1米，接下来他们沿着BE方向从E点出发走了9米到达点F处，利用无人机测得GF为12米，并用无人机在G处测得观测B点的俯角约为37°，求古建筑AB的高．（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，cos53°≈）
22．（7分）某店商计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共30台，两种型号的平板电脑每台进价和销售价格如表所示：
型号 甲 乙
每台进价/元 1600 2500
每台售价/元 2000 3000
设采购甲型平板电脑x台，全部售出后获利y元．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若要求采购甲型平板电脑数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？
23．（7分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）所调查学生测试成绩的平均数为　 　，中位数为　 　．众数为　 　；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？
24．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，过点B作⊙O的切线BE，交CD于点E．
（1）证明：BE＝DE；
（2）若⊙O的半径为5，AM＝4，求CD的长．
25．（8分）如图，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处踢球，踢球点A距离地面的高度AB＝0.3米．在足球运动时，球的运动路线可以看成是抛物线的一部分，设足球运动的水平距离为x（米），足球与地面的竖直高度为y（米），建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据：
x（米） 0 1 2 3 4 5 6
y（米） 0.3 1.7 2.7 3.3 3.5 3.3 2.7
（1）根据数据，球踢出后 　 　米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的函数表达式；
（2）如图，当球员第二次踢球时，后退1米到点B′，踢球点为A′，A′B′＝AB，且踢球后球的运动路线所在抛物线形状大小与第一次相同，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，他跳起后手距离地面的最大距离为2.3米，则守门员是否可以阻挡住球？请说明理由．
26．（10分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，AB＝6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为2，点O到AB的距离为5，则△ABC面积的最大值为 　 　．
问题解决
（2）如图②是一个矩形花园，AB＝2千米，BD＝4千米，聪聪给花园设计一种花卉种植方案：BCD内的点M处建一座凉亭，小路BD，BM，CM，DM将花园分成四个区域，用来种植不同，其中△CDM区域种植郁金香，小路CM改为一条玻璃观赏栈道．若∠CDM＝∠DBM，是否点M，使得玻璃观赏栈道CM的值最小？若存在，请求出CM 的最小值及此时CDM的面不存在，请说明理由．
2024年陕西省西安三中中考数学六模试卷
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）手机移动支付给生活带来便捷，若张阿姨微信收入5元表示为+5元，则张阿姨微信支出3元应表示为（　　）
A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元
选：A．
2．（3分）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（　　）
A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．正方体
选：B．
3．（3分）化简（﹣3x3）2 2x所得的结果等于（　　）
A．﹣6x6 B．6x6 C．﹣18x7 D．18x7
选：D．
4．（3分）一个角的度数是42°46′，则它的余角的度数为（　　）
A．47°14′ B．47°54′ C．57°14′ D．37°54′
选：A．
5．（3分）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　）
A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）
选：C．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．2 B．1 C．4 D．
选：A．
7．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（　　）
A．100° B．115° C．120° D．135°
选：A．
8．（3分）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m＝，n＝ B．m＝，n＝
C．m＝0，n＝3 D．m＝3，n＝0
选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）方程x2﹣4x＝0的解为 　x1＝0，x2＝4　．
10．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、CF，则∠ACF的度数为　30　．
11．（3分）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即“杨辉三角”，这是数学史上一个伟大成就．如图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10…，那么a9的值是 　45　．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的点C坐标为（﹣3，0），点D坐标为（0，4），点E为菱形的对称中心，若反比例函数恰好经过点E，则k的值为 　﹣8　．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O为矩形ABCD的对角线的交点，以D为圆心，半径为1作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为 　14.5　．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣|﹣1|．
【解答】解：原式＝﹣6×﹣（﹣1）
＝﹣3﹣+1
＝4﹣3﹣+1
＝2﹣．
15．（5分）求不等式的最大整数解．
【解答】解：去分母，得：24﹣3（x﹣2）＞2x，
去括号，得：24﹣3x+6＞2x，
移项、合并同类项得：﹣5x＞﹣30．
解得x＜6，
则最大的整数解是：5．
16．（5分）解分式方程：﹣1＝．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣x2+4＝1，
解得：x＝﹣1.5，
经检验x＝﹣1.5是分式方程的解．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法在边BC上求作一点D，使得S△ABD＝S△ACD．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点D即为所求．
18．（5分）如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若BC＝EF，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°．求证：AC＝DF．
【解答】证明：∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠E+∠CBE＝180°．
∴∠ABC＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
19．（5分）某学校用33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，免费发放给全校师生，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒，求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
【解答】解：设学校购进甲种口罩x盒，购进乙种口罩y盒，
依题意，得：，
解得：．
答：学校购进甲种口罩400盒，购进乙种口罩600盒．
20．（5分）中华文化，源远流长，在古典文学方面，明代许仲琳著的《封神演义》、清代李汝珍著的《镜花缘》、清代郭小亭著的《济公传》、清代无垢道人著的《八仙传》（分别记作A，B，C，D）是我国古代四大神话小说．小明准备利用课余时间阅读这四部小说．
（1）若小明随机选择其中一部进行阅读，则他选择《封神演义》的概率是 　　；
（2）若小明随机选择其中两部进行阅读，请你用列表或画树状图的方法，求出小明选择《镜花缘》和《八仙传》的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选择《封神演义》的结果有1种，
∴他选择《封神演义》的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中小明选择《镜花缘》和《八仙传》的结果有：（B，D），（D，B），共2种，
∴小明选择《镜花缘》和《八仙传》的概率为＝．
21．（6分）阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑AB的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑AB的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆DC，经测量标杆的影子CE长为1米，接下来他们沿着BE方向从E点出发走了9米到达点F处，利用无人机测得GF为12米，并用无人机在G处测得观测B点的俯角约为37°，求古建筑AB的高．（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，cos53°≈）
【解答】解：由题意，知∠BGF＝90°﹣37°＝53°，
在Rt△BGF中，
GF＝12，∠BGF＝53°，
∵tan∠BGF＝，
∴BF＝GFtan∠BGF＝12tan53°＝12×＝16，
∴BC＝BF﹣CE﹣EF＝16﹣1﹣9＝6，
∵太阳光线是平行光线，
∴AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠DCE＝90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴，
即，
解得AB＝12．
答：古建筑AB的高为12米．
22．（7分）某店商计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共30台，两种型号的平板电脑每台进价和销售价格如表所示：
型号 甲 乙
每台进价/元 1600 2500
每台售价/元 2000 3000
设采购甲型平板电脑x台，全部售出后获利y元．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若要求采购甲型平板电脑数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？
【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+15000；
（2）由题意得：x≥2（30﹣x），
解得：x≥20，
∴20≤x≤30，
∵y＝﹣100x+15000，且﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值＝﹣100×20+15000＝13000，
∴采购甲型电脑20台，乙型电脑10台时商店获得最大利润，最大利润是13000元．
23．（7分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）所调查学生测试成绩的平均数为　8.56　，中位数为　9　．众数为　10　；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？
【解答】解：（1）抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%，
所以本次抽样人数为：10÷20%＝50（人），
因为成绩9分的人数占抽样人数的24%，
所以抽样学生中成绩为9分的有：50×24%＝12（人）．
补全条形统计图如下：
（2）所调查学生测试成绩的平均数为：
＝8.56；
把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9，所以该组数据的中位数为：9；
该组数据中，10分出现的次数最多，所以众数为：10．
故答案为：8.56，9，10．
（3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占：20%+24%+32%＝76%，
所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：1500×76%＝1140（人）．
答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人．
24．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，过点B作⊙O的切线BE，交CD于点E．
（1）证明：BE＝DE；
（2）若⊙O的半径为5，AM＝4，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AC，
∴∠A+∠D＝90°，
∵BE与⊙O切于点B，
∴CB⊥BE，
∴∠CBA+∠EBD＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA，
∴∠EBD＝∠D，
∴BE＝DE；
（2）解：如图，连接MB，
∵BC是⊙O的直径，⊙O的半径为5，
∴BM⊥AC，BC＝AC＝2×5＝10，
∵AM＝4，
∴MC＝AC﹣AM＝10﹣4＝6，
∴MB＝＝＝8，
∵AC⊥CD，
∴MB∥DC，
∴∠MBC＝∠BCE，
∵∠BMC＝∠CBE＝90°，
∴△BMC∽△CBE，
∴，
∴，
∴BE＝，
∴DE＝BE＝，
∵过点B作⊙O的切线BE，
∴∠CBE＝90°，
∵CE＝＝，
∴．
25．（8分）如图，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处踢球，踢球点A距离地面的高度AB＝0.3米．在足球运动时，球的运动路线可以看成是抛物线的一部分，设足球运动的水平距离为x（米），足球与地面的竖直高度为y（米），建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据：
x（米） 0 1 2 3 4 5 6
y（米） 0.3 1.7 2.7 3.3 3.5 3.3 2.7
（1）根据数据，球踢出后 　4　米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的函数表达式；
（2）如图，当球员第二次踢球时，后退1米到点B′，踢球点为A′，A′B′＝AB，且踢球后球的运动路线所在抛物线形状大小与第一次相同，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，他跳起后手距离地面的最大距离为2.3米，则守门员是否可以阻挡住球？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝4，
∴顶点为（4，3.5）．
∴当球踢出后4米时，离地面距离最大为3.5米．
故答案为：4．
又由题意，可设抛物线为y＝a（x﹣4）2+3.5，
且抛物线过点（0，0.3），
∴0.3＝16a+3.5．
∴a＝﹣．
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+3.5．
（2）守门员可以阻挡住球．理由如下：
由题意可得，后退1米后的解析式为y＝﹣（x﹣4+1）2+3.5，即y＝﹣（x﹣3）2+3.5，
又守门员的位置是（6，0），
∴当x＝6时，y＝﹣（6﹣3）2+3.5＝﹣1.8+3.5＝1.7＜2.3．
∴守门员可以阻挡住球．
26．（10分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，AB＝6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为2，点O到AB的距离为5，则△ABC面积的最大值为 　21　．
问题解决
（2）如图②是一个矩形花园，AB＝2千米，BD＝4千米，聪聪给花园设计一种花卉种植方案：BCD内的点M处建一座凉亭，小路BD，BM，CM，DM将花园分成四个区域，用来种植不同，其中△CDM区域种植郁金香，小路CM改为一条玻璃观赏栈道．若∠CDM＝∠DBM，是否点M，使得玻璃观赏栈道CM的值最小？若存在，请求出CM 的最小值及此时CDM的面不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE，
当点C与点E重合时，△ABC的面积最大，
此时S△ABC＝．
故答案为：21．
（2）存在．
理由如下：在Rt△ABD 中，∠A＝90°，AB＝2，BD＝4，
∴∠ADB＝30°，，
∴∠CDB＝60°，
∴∠CDM+∠BDM＝60°，
∵∠CDM＝∠DBM，
∴∠BDM+∠DBM＝60°，
∴∠BMD＝120°，
由特殊角的三角函数值及边角关系得出∠BMD＝120°，
设点O是△BMD外接圆的圆心，由定边BD及定角∠BMD＝120°，作△BMD的外接圆，
连接OB，OC，OM，
则∠BOD＝120°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∴点O在AD上，∠ABO＝30°，在 Rt△ABO 中，AB＝2，∠ABO＝30°，
，
∴，
在Rt△OCD中，CD＝2，，
∴OC＝＝，
∵在△OCM中，CM+OM≥OC，
∴，
根据OM、OC的长，由三角形三边关系得出CM的最小值，
∴当O，C，M三点共线时，CM的值最小，
即CM的最小值为 ．
此时点M在OC与⊙O的交点M'处，
∴，
过点M'作M′N⊥CD于点N，
∴∠CNM'＝∠CDO＝90°，
∴△CM′N∽△COD，
∴，
解得 ，
S△CDM'＝＝，
∴存在点M，使得玻璃观赏栈道CM的值最小，最小值为 千米，
此时△CDM的面积为 平方千米．